Что такое сопоставить множество
Разнообразие бесконечностей
Бесконечные множества содержат неограниченную последовательность элементов, объединенных общим признаком. Самые часто используемые из них в математике:
Все они бесконечны, вовсе не означает, что они равномощны.
Сравнение и отображение
Числа в математике можно сравнивать друг с другом и выяснять, какое из них больше. С множествами можно производить аналогичные действия. Это будет называться их отображение друг в друга. Оно может быть дизъюнктивно, конъюнктивно и биективно. Это аналог числовых понятий «больше», «меньше» и «равно». Для того чтобы разобраться, как происходит это сравнение, нужно понятие подмножества.
Подмножеством некоторого набора компонентов называется любая часть компонентов этого набора. То есть, совокупность состоящее из чисел 1 и 3 является подмножеством множества чисел 1, 3 и 5. А они оба, в свою очередь, являются подмножествами совокупности нечётных чисел и т. д.
Если каждому компоненту множества A можно сопоставить какой-то элемент подмножества совокупности В, то отображение А в В конъюнктивно или А меньше, чем В. Если при этом нельзя найти в наборе А подмножество, которое можно сопоставить с совокупностью В, то отображение В в А дизъюнктивно. Если же каждому компоненту из комплекса А можно сопоставить элемент из совокупности В и каждому компоненту из набора В можно сопоставить элемент из совокупности А, то эти множества отображаются друг в друге биективно. В таком случае говорят, что они эквивалентны.
Для сравнения совокупностей можно использовать их мощность. Если мощность А меньше мощности В, то и множество А меньше, чем В. Если мощности равны, то сами наборы элементов эквивалентны.
Сопоставление наборов элементов
Казалось бы, используя свойства сравнения наборов элементов, можно найти соотношение мощностей бесконечных совокупностей. Ведь очевидно, что множество N является подмножеством совокупности Z, они оба являются подмножеством Q, а множества Q и I вместе составляют R. И отсюда, по определению, следует, что мощности соотносятся так: |N| |I|, и загадкой остается только соотношение совокупностей Q и I. Но всё не так просто.
Выяснение размера бесконечного комплекса компонентов — такая же задача, как определение размера конечной совокупности — пересчёт компонентов. Возможность посчитать и пронумеровать элементы бесконечной совокупности называется счётностью. Совокупность натуральных чисел — счётная. Элементам в этом случае легко присвоить порядковые номера. И все множества, которые эквивалентны N, тоже будут счётными. Его размер |N| = a.
Но если взять R, то его элементы пронумеровать не получится. Ведь между любыми двумя точками, а прямой всегда можно поставить ещё одну. То есть, совокупность R «бесконечна вглубь»: каждый промежуток между бесконечным количеством точек содержит в себе бесконечное количество точек. Значит, свойство R — несчётность. Такие «бесконечные вглубь» множества называют континуальными. И их мощность обозначается как |R| = c.
Ещё одно важное свойство бесконечных множеств заключается в том, что если из бесконечной совокупности удалить (или добавить к ней) подмножество меньшей мощности, то размер исходной совокупности сохранится. Если из N убрать все числа от 1 до 10, то его мощность не уменьшится на 10, а останется прежней. Множество останется бесконечным и счётным: a — 10 = a.
Бесконечная мощность счётных и несчётных множеств может быть описана тремя формулами. Это два равенства и одно неравенство:
Совокупность всех точек интервала или отрезка на прямой тоже будет континуальна, так как на неё можно спроецировать всю совокупность точек действительной прямой R.
Соотношение мощностей
Континуальное множество больше счётного. Но какова их разница? Чтобы это вычислить, потребуется понятие булеан.
Что такое булеан
Есть некий набор компонентов V. Булеаном V будет называться комплекс всех его подмножеств. Как будут соотноситься размер булеана и самого V? Если V состоит из одного элемента, то его булеан будет состоять из двух элементов: пустого набора компонентов и самого V. Если V состоит из двух элементов, то булеан содержит 4 элемента: пустое множество, V и каждый из двух элементов. Если V содержит 3 элемента, то булеан содержит 8: пустое, само V, каждый из трёх его элементов в отдельности и каждую пару элементов (которых тоже три).
То есть мощность булеана — это 2 в степени размера самого V. Булеан так и записывается 2^|V|. Размер булеана всегда будет больше, чем мощность самой совокупности.
Результат сопоставления
Размер булеана любой счётной совокупности будет 2^a. Если рассматривать N, то его булеан будет состоять из пустоты, бесконечного числа элементов N, бесконечного числа пар элементов, бессчётного числа сочетаний элементов по 3, 4, 5 и так до бесконечности. Какому известному множеству можно сопоставить этот булеан?
Так как это N — натуральные числа, то каждый элемент булеана — это последовательность чисел. Если представить каждую такую последовательность в виде знаков после запятой в десятичной дроби, то получатся координаты точек в интервале от 0 до 1, который эквивалентен R. Так как булеан N содержит бесконечное количество комбинации бесконечных десятичных дробей, то он покрывает все точки в этом интервале. Это нестрогое доказательство уравнения c = 2^a.
Обозначения мощностей а и c происходят от слов account и continum, но именно такая последовательность букв порождает вопрос: а есть ли бесконечное множество мощностью b, которое меньше c, но больше a. Если и есть, то пока они неизвестны. А вот комплекс больший по мощности, чем c, есть. Это булеан континуального множества с мощностью 2^c. А у этого булеана тоже есть булеан с ещё большей мощностью.
Бесконечные множества бывают счётными и несчётными. Счётными называют те, элементы в которых можно пересчитать, то есть эквивалентные совокупности натуральных чисел. К ним относятся само множество натуральных, а также целых и рациональных чисел. Среди несчётных выделяют континуальные множества, эквивалентные совокупности всех точек на прямой. К ним относятся действительные и иррациональные числа. Континуальность является булеаном счётного набора.
Теория множеств: основы и базовые операции над множествами
Мы знаем довольно много о структурах данных, понимаем их устройство, разбираемся, какие структуры работают быстро и помогают решать конкретные задачи. Но эти знания бесполезны, если мы не понимаем, как это использовать в реальной жизни. Это похоже на изучение геометрии в школе. Вы долго считаете предмет бесполезным, пока однажды не появляется необходимость рассчитать площадь пола, чтобы заказать новое ковровое покрытие. Впрочем, пользу геометрии можно почувствовать, даже если вы никогда не считали площадь пола в комнате самостоятельно.
Сегодня поговорим о структуре данных, которая в теории очень догматична, а на практике очень популярна. На самом деле вы так или иначе уже сталкивались с этой структурой, а также слышали о ней на уроках математики в школе. Вы уже догадались, что речь идёт о множествах.
Теория множеств без страха
Прежде чем разбирать устройство множеств, давайте поймём, откуда они появляются. То есть давайте сразу погрузимся в теорию — да-да, в теорию множеств! Не бойтесь сложностей — высока вероятность того, что вы уже так или иначе использовали эту теорию. Возможно, вы сталкивались с теорией множеств, когда проходили в школе диаграмму Венна. Диаграмму Венна включили в программу изучения множеств, так как она хорошо иллюстрирует отношения подмножеств.
Мы выяснили, что теория множеств не должна никого пугать. Теперь пришло время разобраться, что это за теория на самом деле. Множество — математическая концепция. Теорией множеств описывают отношения множеств.
Множество — ни что иное, как неупорядоченная коллекция, в которой нет дублирующихся элементов.
В этом определении есть три важных слова: «неупорядоченная», «дублирующихся» и «элементов». Эти слова точно передают суть и устройство множества. Если мы это запомним, то будем знать основную информацию о том, как работает эта структура данных.
Нужно понять, почему это важно. Для начала давайте посмотрим на множества в действии. Как сказано выше, отношения множеств удачно иллюстрирует диаграмма Венна. Давайте взглянем на два множества: книги, которые есть у человека дома, и книги, которые этот человек прочитал.
Если вы знакомы с диаграммой Венна, то понимаете, что в центре в зелёном круге находятся книги, которыми человек владеет, и которые он прочитал. Здесь множества пересекаются. Также вы понимаете, что два множества — прочитанные человеком книги и книги, которые есть у человека — существуют внутри другого множества. Это все существующие в мире книги.
Диаграмма Венна — хорошая база для понимания теории множеств, так как с её помощью легче понять более сложные вещи. Допустим, вы хотите представить два множества книг в какой-то структуре данных. Вы уже знаете, что книги надо разделить на два множества: которые человек прочитал и которые есть у него дома. Для удобства назовём первое множество Set X, а второе Set Y. Эти множества после реконфигурации в структуры данных можно представить с помощью диаграммы Венна.
Можно заметить, что множества Set X и Set Y стали похожи на объекты или хэши: элементы внутри них не имеют индексов или других элементов, позволяющих их упорядочить. В них также нет повторяющихся элементов, что делает эти структуры данных множествами. Как вы уже знаете, множество — это коллекция неупорядоченных элементов, которые не повторяются.
Начните изучать разработку с бесплатного курса «Основы современной вёрстки». Вы научитесь создавать статические веб-страницы, стилизовать элементы, использовать редакторы кода с полезными расширениями. В конце курса вы опубликуете свой первый сайт на GitHub Pages.
Об операциях с множествами без боли
Какие возможности открывает представление множеств в формате структур данных? С ними теперь можно выполнять разные операции. Две самые важные операции, которые выполняются над множествами — это пересечение и объединение.
Пересечение множеств часто записывается с помощью такой нотации: X ∩ Y. Пересечение определяет, где два множества пересекаются. Другими словами, эта операция возвращает все элементы, которые входят в два множества. В нашем примере пересечение Set X и Set Y возвращает все книги, которые человек читал и которые есть у него дома. Хороший ключ к пониманию пересечения — ключевое слово «и». Мы получаем книги, которые человек читал и которые есть у него дома. Несмотря на то, что полученные с помощью пересечения книги существуют в двух множествах, мы не повторяем их, так как в множестве могут быть только уникальные элементы.
Объединение двух множеств обозначается так: X ∪ Y. Объединение возвращает общность двух множеств или объединённое множество. Иными словами, с помощью объединения множеств можно получить новое множество элементов, которые существуют хотя бы в одном исходном множестве. В нашем случае объединение вернёт все книги, которые человек читал, а также все книги, которые есть у него дома. Обратите внимание, если книга входит одновременно в Set X и Set Y, она не может дублироваться в новом множестве после объединения, так как в множества входят только уникальные элементы.
С помощью диаграммы Венна пересечение и объединение можно представить так:
Теперь давайте рассмотрим более сложные вещи. Объединение и пересечение — важные операции над множествами, но это только азы теории. Нам надо познакомиться с другими операциями, чтобы решать более серьёзные задачи. Важно понимать разность множеств и относительные дополнения множеств. Ниже мы разберём, почему это важные операции, но сначала нужно понять, как они работают.
Как понятно из названия, разность множеств определяет разницу между множествами. Иными словами, мы определяем, какие элементы останутся в множестве X, если удалить из него все элементы, которые содержатся в множестве Y. Это действие можно обозначить так: X — Y. В примере на иллюстрации ниже разница между множеством X и множеством Y — это элементы, которые существуют в Set X, но не существуют в Set Y. Они обозначены буквами C, Z и W.
Относительное дополнение — противоположность разности множеств. Например, относительное дополнение Y по сравнению с X возвращает все элементы множества Y, которые не входят в множество X. Относительное дополнение можно обозначить так: X \ Y. Относительное дополнение X \ Y фактически возвращает такой же набор элементов, как разность Y — X. В нашем примере множество Y меньше множества X. Единственный элемент, который входит в Set Y, но не входит в Set X — число 2.
По сути, мы просто вычитаем множество X из множества Y и отвечаем на вопрос: что существует в Y, чего нет в X?
Вы могли заметить, что в части примеров мы имеем дело со строками, в другой части в качестве элементов выступают буквы и числа. Здесь надо подчеркнуть важный момент: множество может включать любой тип элементов или объектов. Вы можете рассматривать множества как хэши: они включают любые сущности, если те встречаются во множестве только один раз.
Теперь давайте рассмотрим ещё одну операцию, она самая сложная из всех. Но не пугайтесь, с ней тоже можно разобраться.
В некоторых случаях требуется найти противоположность пересечению множеств. Иными словами, речь идёт о книгах, которые есть у человека, и книгах, которые он прочитал, но которые не входят одновременно в оба множества. Как назвать это подмножество? И как найти его?
Правильное название для этого кейса — симметрическая разность множеств. Также употребляют термины «дизъюнктивное объединение» и «несвязное объединение». Симметрическая разность возвращает все элементы, которые входят в одно из множеств, но не входят в пересечение этих множеств. Пример на иллюстрации поможет разобраться с дизъюнктивным объединением.
В примере выше симметрическая разность похожа на поиск относительного дополнения множества X и множества Y. Если подходить к этому с позиции математики, поиск симметричной разницы — то же самое, что и объединение относительных дополнений множества X и множества Y. Эту операцию можно записать так: X △ Y= (X ∖ Y) ∪ (Y ∖ X).
Но не дайте сбить себя с толку!
Всё, что нужно для поиска симметрической разности — найти элементы, которые есть в множестве X, но отсутствуют в множестве Y, и какие элементы есть в множестве Y, но отсутствуют в множестве X. Иными словами, надо найти уникальные элементы в каждом множестве.
В примере выше числа 1, 2 и 3 входят в множества X и Y одновременно. А буквы A, B, C, X, Y, Z входят только в множества X или Y. Поэтому они представляют симметрическую разность множеств X и Y.
Мы рассмотрели теоретические вопросы. Теперь можно посмотреть, как теория множеств работает на практике.
Множества вокруг нас
К этому моменту вы наверняка задумались, зачем надо изучать теорию множеств. Это хороший вопрос, и пришло время ответить на него.
Уже догадались? Множества повсюду. Это структуры данных, которые мы можем использовать при работе с разными языками программирования, например, Python, Java, Ruby, JavaScript и так далее. Если вы знакомы с этими или другими языками программирования, то уже вспомнили методы, которые позволяют работать с множествами.
Вот пример на JavaScript.
Очевидно, что имена методов могут меняться в зависимости от языка. Например, метод has из примера выше в Ruby называется include?, но эти методы работают практически одинаково. А в Python при работе с множествами можно использовать методы intersection, union и symmetric_difference.
Но в чём именно польза множеств? Понятно, что с ними можно работать в разных языках программирования, но зачем это нужно на практике?
Один из моментов — множества могут сэкономить вам много времени. Помните все эти сложные операции — intersection, union, difference? Уже догадались? Продолжительность выполнения этих операций зависит от размера множеств. Это связано с тем, что для выполнения операций нам надо обойти все элементы множества. Обычно даже гигантские множества можно обойти достаточно быстро.
Но как насчёт основных операций? Как насчёт добавления элементов в одно из множеств, удаления элементов, поиска конкретного элемента в множестве? Все эти операции выполняются за константное время или 0(1). Это очень мощный инструмент, и это значит, что множества могут быть даже более удобной структурой данных, чем словарь или хэш.
Но подождите, почему все операции с множествами выполняются так быстро? Как это возможно? Как оказалось, под капотом множества представляют собой хэши. Теперь вся информация собирается воедино. С хэш-таблицами знакомо большинство программистов, но почему с их помощью так удобно реализовывать множества?
Это возможно благодаря нескольким факторам. Первый: в хэш-таблицах каждый элемент всегда имеет уникальный индекс. Это очень хорошо с точки зрения реализации множеств, так как множества могут включать только уникальные элементы. Второй фактор: в хэш-таблицах порядок элементов не имеет значения. В множествах порядок элементов тоже не имеет значения. Наконец, хэш-таблицы обеспечивют константное время доступа 0(1). Это идеально для выполнения базовых операций с множествами.
Заключение
Теория множеств используется в разных областях computer science. Это важная для программистов концепция, понимание которой помогает разработчикам эффективно работать с данными.
Адаптированный перевод статьи Set Theory: the Method To Database Madness by Vaidehi Joshi.
Никогда не останавливайтесь: В программировании говорят, что нужно постоянно учиться даже для того, чтобы просто находиться на месте. Развивайтесь с нами — на Хекслете есть сотни курсов по разработке на разных языках и технологиях.
С нуля до разработчика. Возвращаем деньги, если не удалось найти работу.
1. Множества. Определение. Способы задания. Операции над множествами. Сравнение множеств. Мощность. Счетные множества. Булеан.
koralexand.ru > 1. Множества. Определение. Способы задания. Операции над множествами. Сравнение множеств. Мощность. Счетные множества. Булеан.
Математическим анализом называется раздел математики, занимающийся исследованием функций на основе идеи бесконечно малой функции.
Основными понятиями математического анализа являются величина, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, производная, интеграл.
Величиной называется все что может быть измерено и выражено числом.
Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.
Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.
Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).
Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.
Например, перечислением заданы следующие множества:
Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой, а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а.
Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называетсяточной верхней (нижней) гранью этого множества.
Основные числовые множества
| N | <1,2,3,…,n>Множество всех натуральных чисел |
| Z | <0, ±1, ±2, ±3,…>Множество целых чисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных. |
| Q | Множество рациональных чисел. |
Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечно или бесконечной периодической.
Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся:
Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел.
Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø.
Элементы логической символики
Запись ∀x: |x| 2 2 Квантор
При записи математических выражений часто используются кванторы.
Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении.
Операции над множествами
Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А=<1,2,3,4>, B= <3,1,4,2>то А=В.
Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А=<1,2,4>, B=<3,4,5,6>, то А ∪ B =
Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А=<1,2,4>, B=<3,4,5,2>, то А ∩ В =
Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А=<1,2,3,4>, B=<3,4,5>, то АВ =
Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А=<1,2,3,4>, B=<3,4,5,6>, то А Δ В = <1,2>∪ <5,6>=
Свойства операций над множествами
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Счетные и несчетные множества
Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие.
Если это соответствие взаимооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А 
В или В А.
Множество точек катета ВС и гипотенузы АС треугольника АВС являются равномощными.
Мощность множества
Мощность множества — это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные. Существуют бо́льшие, есть ме́ньшие бесконечные множества, среди них счётное множествоявляется самым маленьким.
Мощность множества, как и другие основные конструкции традиционной теоретико-множественной математики, может достаточно плодотворно рассматриваться и под углом зрения, отличным от широко известной интуиционистской критики в рамках альтернативной теории множеств.
Определение Править
Пусть даны два множества 
и 
Тогда они называются равномощными, если между ними существует биекция 
. Из свойств биекции следует, что равномощность является отношением эквивалентности. Мощностью или кардинальным числом множества называется соответствующий ему класс эквивалентности. Мощность множества обозначается 
. Тот факт, что два множества равномощны, записывается: 
Связанные определения Править
Свойства Править
Упорядочение кардинальных чисел Править
Будем предполагать, что выполнена аксиома выбора. Будем писать, что 
если существует инъекция 
Введённое таким образом бинарное отношение на мощностях множеств не зависит от выбора представителей обоих классов эквивалентности и обладает следующими свойствами:
Таким образом введённое отношение 
является полным порядком на семействе мощностей. Следуя общей практике, будем также использовать строгое неравенство:
Теорема Кантора Править
Пусть — произвольное множество, а 
— его булеан. Тогда
В частности множество вещественных чисел, будучи равномощным множеству подмножеств натуральных чисел, является несчётным.
Континуум-гипотеза Править
Обобщённая континуум-гипотеза утверждает, что неравенство в теореме Кантора плотное, то есть для любого бесконечного множества не существует множества 
такого, что
.
Это означает, что мощности множеств могут быть выписаны в виде возрастающей последовательности
Счётное множество
В теории множеств счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно занумеровать натуральными числами.
Определения Править
Замечание Править
Таким образом множество счётно, если его элементы можно занумеровать в виде последовательности неповторяющихся элементов 
такой, что
Свойства Править
Примеры Править
Булеан
Пусть 
— множество. Множество всех подмножеств множества называется булеаном (также степенью множества,показательным множеством или множеством частей) и обозначается 
или 
. Ясно, что 
и 
.
Справедливо следующее утверждение:
элементов равно 
. Булеан/рамка
, т. е. множество пусто, то у него только одно подмножество – оно само, и интересующее нас число равно 
.
– множество с кардинальным числом 
. Зафиксировав некоторый элемент 
, разделим подмножества множества 
и, следовательно, из каждого подмножества типа (2) получается этим способом одно и только одно подмножество типа (1).