Или, алгебраическое сопряжение используется для определения модуля числа алгебры.
Для того, чтобы получить действительное число в случае произвольной гиперкомплексной алгебры, следует придумать процедуру, с помощью которой можно отбросить все мнимые единицы. Наиболее простой операцией сопряжения, при этом похожей на определенное выше сопряжение, является операция смены знаков сразу у всех мнимых единиц числа, безотносительно способа их получения и их свойств:
.
Сменив знаки при всех мнимых единицах, получим:
.
,
,
в случае, если a и b коммутируют по умножению.
Таким образом, для получения числа, алгебраически сопряженного заданному, нужно найти его логарифм, сменить знаки у всех мнимых единиц и потенцировать.
Любое число любой гиперкомплексной алгебры естественным образом коммутирует как само с собой, так и с действительным числом, поэтому
.
, то .
Среди свойств алгебраического сопряжения отметим весьма важные:
— сопряженное произведения равно обратному произведению сопряженных:
,
,
— в некоторых алгебрах алгебраическое сопряжение совпадает по результату с сопряжением по действительных чисел, все виды сопряжения в ней совпадают. Сопряжение по мнимой единице:
.
a) Алгебраическое сопряжение:
;
,
то есть смена знаков мнимых единиц после логарифмирования эквивалентна смене знака у мнимой единицы самого числа:
.
Здесь одинаково обозначены сопряжение по мнимой единице и алгебраическое. Полагаю, пока нет совмещения сопряжений в одной формуле, разночтений возникнуть не должно.
Кватернионы имеют строение:
и получены некоммутативным удвоением алгебры комплексных чисел:
.
Мнимая единица удвоения j не коммутирует с единицей i, поэтому сопряжение по ней требует сопряжения также и по i и по k:
.
Алгебраическое сопряжение в кватернионах, также как в комплексных числах, просто меняет знак у компонент при мнимых единицах:
.
То есть в кватернионах сопряжение по мнимой единице и алгебраическое сопряжение так же совпадают.
Приведем основные тождества, применимые к октавам. Тождества базируются на понятии ассоциатора, коммутатора и йорданова произведения.
()=— ассоциатор;
— коммутатор;
— йорданово произведение.
Линеаризуя тождества, несложно получить, что
& .
Таким образом, ассоциатор есть кососимметрическая функция от x, y, z. В частности:.
.
Алгебры, удовлетворяющие этому условию, называются эластичными. Таким образом, алгебра октав эластична. Покажем на основе эластичности тождество:
,
.
В силу того, что для октав всегда есть действительное число, а в силу эластичности, получаем:
.
Таким образом, для эластичной алгебры справедливо:
.
.
Лемма1. — кососимметрическая, для любой пары равных аргументов
.
В силу правой альтернативности
.
Во всякой алгебре справедливо тождество:
.
Достаточно раскрыть все ассоциаторы. Обозначив левую часть этого равенства через , получим:
Поменяв местами: получим: .
Используя , получим, что при любых одинаковых аргументах. Из этого следуют тождества:
Сопряженное число: Если комплексное число , то число является сопряженным (либо комплексно сопряженным) к (часто обозначается как ).
На комплексной плоскости сопряженные числа находят зеркально отражая их относительно вещественной оси. Модуль сопряженного числа равен модулю исходного числа, а аргументы сопряженных чисел имеют противоположные знаки.
Мнимая единица i из определения умножения имеет свойство того, что квадрат ее равняется –1, то есть она является квадратным корнем из –1.
Комплексное число –i обладает этим же свойством:
(–i) 2 = ((–1)i) 2 = (–1) 2i 2 = –1,
что естественно. Можно сказать, что некоторый 1-н квадратный корень из –1 обозначаем через i, тогда 2-й корень запишем как (–i). Замена i на (–i) приводит к понятию комплексного сопряжения.
Переход к сопряженному числу рассматривают еще как одноместную операцию. Перечислим ее свойства.
Свойства сопряженных чисел.
Еще некоторые соотношения:
Доказательство :
=a1a2 – b1b2 – (a1b2 + a2b1)i.
= (a1 – b1i)(a2 – b2i) =
что и требовалось доказать.
Обобщим: , где — произвольно взятый многочлен с вещественными коэффициентами. Отсюда видно, что у многочлена с вещественными коэффициентами есть или лишь действительные корни, или, если он имеет корни с не равной нулю мнимой частью, то они разбиваются на пары комплексно-сопряженных.
Умножение числителя и знаменателя комплексной дроби при комплексном знаменателе на сопряженное к знаменателю выражению используют для того, что бы избавиться от комплексности знаменателя. Это дает возможность выразить выражение в канонической форме комплексного числа или функции.
Значимость сопряжения объясняют тем, что оно есть образующей группы Галуа .
Читателю, вероятно, известны на первый взгляд трудные геометрические задачи, которые мгновенно решаются, если заменить одну данную точку другой, симметричной ей относительно прямой. Соображения симметрии очень важны и в алгебре.
В этой статье мы рассмотрим ряд ситуаций, в которых число вида полезно заменить сопряжённым Мы увидим, как этот простой приём замена знака перед радикалом помогает в решении разнообразных задач алгебры и анализа от нехитрых оценок и преобразований до трудных олимпиадных задач и замысловатых придумок составителей конкурсных экзаменов.
Большинство наших примеров может служить первым знакомством с глубокими математическими теориями мы указываем статьи и книги для продолжения знакомства). Среди задач, включённых в статью, две из Задачника «Кванта» и несколько из писем читателей, уже испытавших удовольствие от трюков с радикалами и желающих поделиться им с другими.
Пары сопряжённых чисел появляются вполне естественным образом, когда мы решаем квадратное уравнение, а корень из дискриминанта не извлекается: скажем, уравнение имеет пару «сопряжённых» корней:
К этому мы ещё вернёмся, а начнём с примеров другого рода: займёмся «перебросками».
Если в книжке указан ответ к задаче а у вас получилось не спешите искать ошибку в решении: ответ правильный эти числа равны, потому что
Вот несколько характерных примеров, где полезно перенести «иррациональность» из числителя в знаменатель или наоборот.
Эта сумма мгновенно «сворачивается», если переписать её так:
По выражению из статьи [1] «остаются крайние» (см. также [5]).
2. Доказать, что для любых натуральных m и n
Подобный факт мы использовали недавно при решении трудной задачи
В самом деле, всегда
поскольку число целое и отлично от 0 (равенство невозможно подумайте, почему!). Если бы выполнялось неравенство, противоположное (1), то должно было бы быть и
n ( m + n √ 2 ) n
(
2 n √ 2 +
1
Но из (2) и (3) следует (1). Значит, наше предположение неверно, то есть (1) выполнено.
Оно лишь немного сильнее, чем неравенство (1), поскольку
π
= 0,3183. > 0,3178. =
1
зато выглядит гораздо эффектнее.
Помню как в мою бытность студентом на лекциях по алгебре наш профессор говорил: «Корень из это, примерно, 1,73; корень из 1,41. Поэтому их сумма равна. (следовала пауза, необходимая для сложения этих чисел 3,14. (он поворачивался к аудитории и сразу несколько человек с удовлетворением заключал профессор, выписывая окончательное «равенство»: 🙂 ]
3. Найдите предел последовательности
Преобразуем a n так:
Теперь ясно, что a n возрастает и стремится к
В противоположность предыдущему примеру здесь мы имеем дело с хорошим приближением:
4 (M532). Даны две последовательности и Докажите, что
В разности появляется «тройная иррациональность»; к таким иррациональностям мы ещё вернёмся (см. задачу 8), но пока мы будем рассматривать как одно целое. Заметим, что величина очевидно, заключена между и поскольку Итак, мы уже получили левое неравенство Кроме того, число дающее при делении на 4 в остатке 2, не может быть полным квадратом (проверьте!), поэтому квадрат целого числа не больше из неравенств Теперь осталось оценить разность сверху. Посмотрите, как здесь дважды работает переброска «сопряжённого» числа в знаменатель:
√ 4 n +2 √ n √ n +1 =
2 n + 1 2√ n ( n + 1)
√ 4 n + 2 + √ n + √ n + 1
=
=
1
(√ 4 n + 2 + √ n + √ n + 1 )(2 n + 1 + 2√ n ( n + 1) )
≤
≤
1
(2√ n + √ n + √ n )(2 n + 2 n )
=
1
Заметим, что и эта оценка очень точная. Но убедиться в этом (и вообще исследовать поведение функции с многими радикалами) лучше уже не с помощью алгебраических преобразований, а средствами анализа заменить переменную n на и воспользоваться формулой Тейлора
Мы уже говорили о пользе симметрии в геометрических задачах. Своего рода симметрией в алгебре является замена плюса на минус.
Так, если какое-либо выражение от равно и мы всюду в этом выражении заменим на то естественно ожидать, что новое выражение окажется равным сопряженному числу Мы будем пользоваться таким очевидным частным случаем этого свойства ( a и b рациональны, нет):
5. Доказать, что уравнение
не имеет решений в рациональных числах x, y, z, t.
Можно, конечно, найти отдельно сумму членов левой части, не содержащих (она должна быть равна 2), и отдельно коэффициент при (он должен равняться 1). Но что делать с полученной громоздкой системой неясно. Вместо этого воспользуемся (4) и заменим плюс перед на минус!
Слева стоит неотрицательное число, справа отрицательное.
6. Доказать, что существует бесконечно много пар натуральных чисел, для которых x 2 отличается от 2 y 2
Несколько таких пар с небольшими легко найти подбором: это (1; 1), (3; 2), (7; 5), (рис. 1). Как продолжить этот набор? Можно ли записать общую формулу для этих решений?
Рис. 1. Проходят ли эти гиперболы через бесконечное число узлов клетчатой бумаги?
Найти ответы на эти вопросы нам поможет число Закономерность, позволяющая получать всё новые и новые решения указана в таблице:
n
(1 + √ 2 ) n
x n
y n
x n 2 2 y n 2
(1 √ 2 ) n
1
1 + √ 2
1
1
1 2 = 1
1 √ 2
2
3 + 2√ 2
3
2
9 8 = 1
3 2√ 2
3
7 + 5√ 2
7
5
49 50 = 1
7 5√ 2
4
17 + 12√ 2
17
12
289 288 = 1
17 12√ 2
5
41 + 29√ 2
41
29
1681 1682 = 1
41 29√ 2
.
.
.
.
.
.
Какой будет шестая строчка?
будут давать нужную пару. Доказать это поможет колонка таблицы из сопряжённых чисел (мы снова
Перемножив два последних равенства, получим
и интересующее нас выражение попеременно равно то 1, то Складывая и вычитая эти же два равенства, мы получим явное выражение для x n и y n :
x n =
(1 + √ 2 ) n + (1 √ 2 ) n
2
,
y n =
(1 + √ 2 ) n (1 √ 2 ) n
Можно ли в решении этой задачи про целые числа обойтись без иррациональных чисел и Теперь, зная ответ, мы можем легко выразить через предыдущую пару из ( x n + y n √ 2 )(1 + √ 2 ) вытекает
До этого рекуррентного соотношения можно было, видимо, догадаться по нескольким первым решениям, а потом проверить, что
Рекуррентные соотношения типа (6) возникают не только в теории чисел, но и в разных задачах анализа, теории вероятностей. Вот характерный пример комбинаторной задачи такого типа (она предлагалась на последней международной олимпиаде в Лондоне):
7 (М595). В вершине A правильного восьмиугольника сидит лягушка. Из любой вершины восьмиугольника, кроме вершины E, противоположной A, она может прыгнуть в любую из двух соседних вершин. Попав в E, лягушка останавливается и остаётся там. Найти количество e m различных способов, которыми лягушка может попасть из вершины A в E ровно за m прыжков.
А интересующее нас число e 2 n равно, очевидно,
а) c 1 = 1
б) a 1 = 2
в) a n +1 = 2 a n + 2 c n
г) c n +1 = a n + 2 c n
д) e 2 n = 2 c n 1
Рис. 2. а)
Из A в C за два прыжка можно попасть только одним способом:
б)
Из A в A за два прыжка можно попасть двумя способами:
в)
В A можно попасть из C двумя способами и из A двумя способами:
г)
В C можно попасть из A одним способом и из C двумя:
д)
В E можно попасть из C двумя способами:
a n +1 + c n +1 √ 2 = ( a n + c n √ 2 )(2 + √ 2 )
(8)
и как вы уже, конечно, догадались ещё так:
a n +1 c n +1 √ 2 = ( a n c n √ 2 )(2 √ 2 ).
(9)
Отсюда по индукции, пользуясь (7), получаем:
c n =
(2 + √ 2 ) n (2 √ 2 ) n
а так как получаем окончательно
e 2 n =
(2 + √ 2 ) n 1 (2 √ 2 ) n 1
Задача решена. Неясно только, как в этой задаче (и в предыдущей задаче 6) можно было додуматься до формул, содержащих ведь в задаче речь идёт о целых числах! (Для участников олимпиады и читателей «Кванта» задача 7 была облегчена тем, что в формулировке указывался ответ «Квант», 1979, № 11, М595 ).
Однако «сопряжённые числа» возникли бы совершенно автоматически, если бы мы владели началами линейной алгебры (см. [12]), и применили стандартные правила этой науки к решению уравнений (7). Эти правила предлагают сначала выяснить, какие геометрические прогрессии удовлетворяют данному рекуррентному соотношению. Значения, для которых такие прогрессии существуют, они называются характеристическими значениями или собственными числами определяются из некоторого уравнения (оно тоже называется характеристическим ). Для (7) характеристическое уравнение имеет вид его корни как раз и Зная эти корни, любое решение рекуррентного соотношения мы можем получить как «линейную комбинацию» соответствующих геометрических прогрессий ([11]). «Начальное условие» (в нашем случае определяет нужное нам решение однозначно.
Неудивительно, что даже самые простые рекуррентные целочисленные последовательности, для которых характеристическое уравнение квадратное с целыми коэффициентами (примеры те же (6) и (7) или последовательность Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, см. [9], [10]), выражаются, как функции номера, с помощью «сопряжённых» квадратичных иррациональностей.
Интересное продолжение этого факта мы увидим в следующей задаче с бо́льшим числом «сопряжённых» иррациональностей.
Конечно, мы здесь можем выразить через ( q n ; r n ; s n ; t n ), пользуясь тем, что
Нетрудно сообразить, каковы будут другие. Рассмотрим вместе с данным числом
ещё три «сопряжённых»:
q n =
λ 1 n + λ 2 n + λ 3 n + λ 4 n
4
,
s n =
λ 1 n + λ 2 n λ 3 n λ 4 n
4√ 3
,
r n =
λ 1 n λ 2 n + λ 3 n λ 4 n
4√ 2
,
t n =
λ 1 n λ 2 n λ 3 n + λ 4 n
Теперь заметим, что Поэтому
1 + (λ 2 /λ 1 ) n + (λ 3 /λ 1 ) n + (λ 4 /λ 1 ) n
·
1
Аналогично найдём, что
Мы говорили выше, что сопряжённые числа возникают часто как корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами. В связи с последней задачей возникает такое желание:
9. Написать уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого равен
после преобразований получаем
Именно такое уравнение получилось бы в качестве характеристического, если бы мы применили упомянутую мелким шрифтом в конце предыдущего раздела общую теорию к исследованию линейного преобразования
в предыдущей задаче. Заметим, кроме того, что мы на самом деле получили уравнение наименьшей степени (с целыми коэффициентами) с корнем Попробуйте это доказать!
Мы разобрали несколько примеров, в которых затрагивались пограничные вопросы алгебры, математического анализа и теории чисел. (Каждому направлению, которое мы наметили, можно было бы посвятить более подробную статью в «Кванте»!) В заключение покажем ещё, как можно смотреть на основных героев статьи «сопряжённые числа» с чисто алгебраической точки зрения.
и их «взаимодействие» устроено так же, как во множестве самосовмещений прямоугольника.
Мы закончим эту статью набором задач, в основном продолжающих уже затронутые темы, но требующих иногда и новых соображений, и обещанным списком литературы.
Что больше: или
2.
Докажите, что при всех положительных x
Постройте график функции и докажите, что при
√ 2 = 1 +
1
.
2 +
1
√ 2 + 1
Докажите, что уравнения имеют бесконечное множество решений в целых числах.
6.
Докажите, что функция нечётная, и постройте её график.
7.
а) Докажите, что для любого натурального n
б) Докажите, что последовательность
убывает и стремится к пределу.
8.
а) Докажите, что последовательность сходится, и найдите её предел.
б) Каковы первые 100 десятичных знаков после запятой в записи числа
9.
2 + √ 2 + p
= β
1/2 n
+ β
1/2 n
.
12.
Докажите, что последовательность содержит бесконечно много квадратов целых чисел.
13.
Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого
14.
Составьте уравнение 4-й степени с корнями и решите его, как биквадратное уравнение. Сравнивая ответ с данными корнями, докажите популярные формулы для двойных радикалов:
.
.
.
,
,
.
, то 
.
,
,
.
;
,
.
.
)=
— ассоциатор;
— коммутатор;
— йорданово произведение.
& 
.
.
.
,
.
для октав всегда есть действительное число, а в силу эластичности, 
получаем:
.
.
.
— кососимметрическая, для любой пары равных аргументов
.
.
.
, получим:
получим: 
.
;
;
;
.
;
;
.
, то число 
является сопряженным (либо комплексно сопряженным) к 
(часто обозначается как 
).
i) 2 = (–1) 2 
i 2 = –1,
:
=a1a2 – b1b2 – (a1b2 + a2b1)i.
= (a1 – b1i)(a2 – b2i) =
, где 
— произвольно взятый многочлен с вещественными коэффициентами. Отсюда видно, что у многочлена с вещественными коэффициентами есть или лишь действительные корни, или, если он имеет корни с не равной нулю мнимой частью, то они разбиваются на пары комплексно-сопряженных.
.
