Что такое сопряженный множитель

√ 4 n + 2 + √ n + √ n + 1

(√ 4 n + 2 + √ n + √ n + 1 )(2 n + 1 + 2√ n ( n + 1) )

(2√ n + √ n + √ n )(2 n + 2 n )

Заметим, что и эта оценка очень точная. Но убедиться в этом (и вообще исследовать поведение функции с многими радикалами) лучше уже не с помощью алгебраических преобразований, а средствами анализа — заменить переменную n на и воспользоваться формулой Тейлора

Мы уже говорили о пользе симметрии в геометрических задачах. Своего рода симметрией в алгебре является замена плюса на минус.

Так, если какое-либо выражение от равно и мы всюду в этом выражении заменим на то естественно ожидать, что новое выражение окажется равным сопряженному числу Мы будем пользоваться таким очевидным частным случаем этого свойства ( a и b — рациональны, — нет):

5. Доказать, что уравнение

не имеет решений в рациональных числах x, y, z, t.

Можно, конечно, найти отдельно сумму членов левой части, не содержащих (она должна быть равна 2), и отдельно — коэффициент при (он должен равняться 1). Но что делать с полученной громоздкой системой неясно. Вместо этого воспользуемся (4) и заменим плюс перед на минус!

Слева стоит неотрицательное число, справа — отрицательное.

6. Доказать, что существует бесконечно много пар натуральных чисел, для которых x 2 отличается от 2 y 2

Несколько таких пар с небольшими легко найти подбором: это (1; 1), (3; 2), (7; 5), (рис. 1). Как продолжить этот набор? Можно ли записать общую формулу для этих решений?

Рис. 1. Проходят ли эти гиперболы через бесконечное число узлов клетчатой бумаги?

Найти ответы на эти вопросы нам поможет число Закономерность, позволяющая получать всё новые и новые решения указана в таблице:

будут давать нужную пару. Доказать это поможет колонка таблицы из сопряжённых чисел (мы снова

Перемножив два последних равенства, получим

и интересующее нас выражение попеременно равно то 1, то Складывая и вычитая эти же два равенства, мы получим явное выражение для x n и y n :

Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

Источник

Интегральное исчисление/Некоторые часто используемые формулы

В этой главе под буквами подразумеваются, если это не указано явно, не только действительные числа, но и другие математические объекты, для которых указанные операции имеют смысл, например, это могут быть многочлены и т. п.

Содержание

Основные законы алгебры [ править ]

Справедливы следующие тождества:

Дроби [ править ]

Здесь предполагается, что знаменатели дробей не обращаются в 0.

Пропорции [ править ]

Из отношения, называемого пропорцией,

(Для правой и левой частей берутся либо только верхние знаки, либо только нижние.)

(Знаки в знаменателе должны повторять соответствующие знаки в числителе.)

Правила обращения со степенями [ править ]

Предполагается, что операции допустимы.

Тождества сокращённого умножения [ править ]

Для степени разности будем иметь:

Числа C n m <\displaystyle C_^> образуют, так называемый треугольник Паскаля. Как видно из рисунка Д1.1, каждая последующая строка образуется при добавлении по краям единиц и суммированием двух последовательных членов предыдущего ряда.

Частные случаи формул (Д1.28) и (Д1.29):

( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 <\displaystyle (a+b)^<2>=a^<2>+2ab+b^<2>> — квадрат суммы; (Д1.30) ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 <\displaystyle (a-b)^<2>=a^<2>-2ab+b^<2>> — квадрат разности; (Д1.31) ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 <\displaystyle (a+b)^<3>=a^<3>+3a^<2>b+3ab^<2>+b^<3>> — куб суммы; (Д1.32) ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 <\displaystyle (a-b)^<3>=a^<3>-3a^<2>b+3ab^<2>-b^<3>> — куб разности; (Д1.33) ( a + b ) 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 a b 3 + b 4 <\displaystyle (a+b)^<4>=a^<4>+4a^<3>b+6a^<2>b^<2>+4ab^<3>+b^<4>> — биквадрат суммы; (Д1.34) ( a − b ) 4 = a 4 − 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 − 4 a b 3 + b 4 <\displaystyle (a-b)^<4>=a^<4>-4a^<3>b+6a^<2>b^<2>-4ab^<3>+b^<4>> — биквадрат разности. (Д1.35)

Формулу бинома можно обобщить на случай, так называемых мультиномов:

Исходя из правил деления многочленов, можно получить следующие формулы для алгебраической суммы степеней:

a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) <\displaystyle a^<2>-b^<2>=(a-b)(a+b)> — разность квадратов; (Д1.41) a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) <\displaystyle a^<3>-b^<3>=(a-b)(a^<2>+ab+b^<2>)> — разность кубов; (Д1.42) a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) <\displaystyle a^<3>+b^<3>=(a+b)(a^<2>-ab+b^<2>)> — сумма кубов; (Д1.43) a 4 − b 4 = ( a + b ) ( a 3 − a 2 b + a b 2 − b 3 ) = ( a + b ) ( a − b ) ( a 2 + b 2 ) <\displaystyle a^<4>-b^<4>=(a+b)(a^<3>-a^<2>b+ab^<2>-b^<3>)=(a+b)(a-b)(a^<2>+b^<2>)> — разность биквадратов. (Д1.44)

Средние величины [ править ]

где a 1 + a 2 + … + a n ≠ 0 <\displaystyle a_<1>+a_<2>+\ldots +a_\neq 0> .

Среднее арифметическое является частным случаем среднего взвешенного при a 1 = a 2 = … = a n = 1 <\displaystyle a_<1>=a_<2>=\ldots =a_=1> .

Среднее геометрическое является частным случаем среднего взвешенного геометричесокго при a 1 = a 2 = … = a n = 1 <\displaystyle a_<1>=a_<2>=\ldots =a_=1> .

Имеет место следующее неравенство (неравенство Коши):

Абсолютная величина [ править ]

Свойства [ править ]

Методы уничтожения иррациональности [ править ]

Основным методом уничтожения иррациональности является метод умножения на сопряжённый множитель.

сопряжённый множитель находится, исходя из формул (Д1.38)—(Д1.40).

S = X 2 k + 1 + Y 2 k + 1 <\displaystyle S=<\sqrt[<2k+1>]>+<\sqrt[<2k+1>]>> (Д1.71)

В частности, для выражения

сопряжённый множитель равен:

Сопряжённый множитель для выражений вида

Также для преобразований бывает полезна формула сложного радикала:

При преобразовании радикалов важно помнить, что:

Источник

• ← Что такое основы цветоведения
• Что такое базовая станция →

x n =	(1 + √ 2 ) n + (1 – √ 2 ) n 2	,
y n =	(1 + √ 2 ) n – (1 – √ 2 ) n Можно ли в решении этой задачи про целые числа обойтись без иррациональных чисел и Теперь, зная ответ, мы можем легко выразить через предыдущую пару из ( x n + y n √ 2 )(1 + √ 2 ) вытекает До этого рекуррентного соотношения можно было, видимо, догадаться по нескольким первым решениям, а потом проверить, что Рекуррентные соотношения типа (6) возникают не только в теории чисел, но и в разных задачах анализа, теории вероятностей. Вот характерный пример комбинаторной задачи такого типа (она предлагалась на последней международной олимпиаде в Лондоне): 7 (М595). В вершине A правильного восьмиугольника сидит лягушка. Из любой вершины восьмиугольника, кроме вершины E, противоположной A, она может прыгнуть в любую из двух соседних вершин. Попав в E, лягушка останавливается и остаётся там. Найти количество e m различных способов, которыми лягушка может попасть из вершины A в E ровно за m прыжков. А интересующее нас число e 2 n равно, очевидно, а) c 1 = 1 б) a 1 = 2 в) a n +1 = 2 a n + 2 c n г) c n +1 = a n + 2 c n д) e 2 n = 2 c n –1 Из A в C за два прыжка можно попасть только одним способом: Из A в A за два прыжка можно попасть двумя способами: В A можно попасть из C двумя способами и из A двумя способами: В C можно попасть из A одним способом и из C — двумя: В E можно попасть из C двумя способами: Рис. 2. а) б) в) г) д) a n +1 + c n +1 √ 2 = ( a n + c n √ 2 )(2 + √ 2 ) (8) и — как вы уже, конечно, догадались — ещё так: a n +1 – c n +1 √ 2 = ( a n – c n √ 2 )(2 – √ 2 ). (9) Отсюда по индукции, пользуясь (7), получаем: Докажите, что последовательность содержит бесконечно много квадратов целых чисел. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого Составьте уравнение 4-й степени с корнями и решите его, как биквадратное уравнение. Сравнивая ответ с данными корнями, докажите популярные формулы для двойных радикалов: c n = (2 + √ 2 ) n – (2 – √ 2 ) n а так как получаем окончательно Докажите, что функция — нечётная, и постройте её график. а) Докажите, что для любого натурального n б) Докажите, что последовательность убывает и стремится к пределу. а) Докажите, что последовательность сходится, и найдите её предел. б) Каковы первые 100 десятичных знаков после запятой в записи числа 2 + √ 2 + p e 2 n = (2 + √ 2 ) n –1 – (2 – √ 2 ) n –1 Задача решена. Неясно только, как в этой задаче (и в предыдущей задаче 6) можно было додуматься до формул, содержащих — ведь в задаче речь идёт о целых числах! (Для участников олимпиады и читателей «Кванта» задача 7 была облегчена тем, что в формулировке указывался ответ — «Квант», 1979, № 11, М595 ). Однако «сопряжённые числа» возникли бы совершенно автоматически, если бы мы владели началами линейной алгебры (см. [12]), и применили стандартные правила этой науки к решению уравнений (7). Эти правила предлагают сначала выяснить, какие геометрические прогрессии удовлетворяют данному рекуррентному соотношению. Значения, для которых такие прогрессии существуют, — они называются характеристическими значениями или собственными числами — определяются из некоторого уравнения (оно тоже называется характеристическим ). Для (7) характеристическое уравнение имеет вид его корни — как раз и Зная эти корни, любое решение рекуррентного соотношения мы можем получить как «линейную комбинацию» соответствующих геометрических прогрессий ([11]). «Начальное условие» (в нашем случае определяет нужное нам решение однозначно. Неудивительно, что даже самые простые рекуррентные целочисленные последовательности, для которых характеристическое уравнение — квадратное с целыми коэффициентами (примеры — те же (6) и (7) или последовательность Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, см. [9], [10]), выражаются, как функции номера, с помощью «сопряжённых» квадратичных иррациональностей. Интересное продолжение этого факта мы увидим в следующей задаче с бо́льшим числом «сопряжённых» иррациональностей. Конечно, мы здесь можем выразить через ( q n ; r n ; s n ; t n ), пользуясь тем, что Нетрудно сообразить, каковы будут другие. Рассмотрим вместе с данным числом ещё три «сопряжённых»: Докажите, что при всех положительных x Постройте график функции и докажите, что при q n = λ 1 n + λ 2 n + λ 3 n + λ 4 n 4 , s n = λ 1 n + λ 2 n – λ 3 n – λ 4 n 4√ 3 , r n = λ 1 n – λ 2 n + λ 3 n – λ 4 n 4√ 2 , t n = λ 1 n – λ 2 n – λ 3 n + λ 4 n Теперь заметим, что Поэтому 1 + (λ 2 /λ 1 ) n + (λ 3 /λ 1 ) n + (λ 4 /λ 1 ) n · 1 Аналогично найдём, что Мы говорили выше, что сопряжённые числа возникают часто как корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами. В связи с последней задачей возникает такое желание: 9. Написать уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого равен после преобразований получаем Именно такое уравнение получилось бы в качестве характеристического, если бы мы применили упомянутую мелким шрифтом в конце предыдущего раздела общую теорию к исследованию линейного преобразования в предыдущей задаче. Заметим, кроме того, что мы на самом деле получили уравнение наименьшей степени (с целыми коэффициентами) с корнем Попробуйте это доказать! Мы разобрали несколько примеров, в которых затрагивались пограничные вопросы алгебры, математического анализа и теории чисел. (Каждому направлению, которое мы наметили, можно было бы посвятить более подробную статью в «Кванте»!) В заключение покажем ещё, как можно смотреть на основных героев статьи — «сопряжённые числа» — с чисто алгебраической точки зрения. и их «взаимодействие» устроено так же, как во множестве самосовмещений прямоугольника. Мы закончим эту статью набором задач, в основном продолжающих уже затронутые темы, но требующих иногда и новых соображений, и обещанным списком литературы. Что больше: или 2. √ 2 = 1 + 1 . 2 + 1 √ 2 + 1 Докажите, что уравнения имеют бесконечное множество решений в целых числах. 6. 7. 8. 9. = β 1/2 n + β –1/2 n . 12. 13. 14. 2 √ ( A 2 > B > 0, A > 0).
15.