Что такое составное число правило

Простые и составные числа, определения, примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена.

В этой статье мы изучим простые и составные числа. Сначала дадим определения простых и составных чисел, а также приведем примеры. После этого докажем, что простых чисел бесконечно много. Далее запишем таблицу простых чисел, и рассмотрим методы составления таблицы простых чисел, особо тщательно остановимся на способе, получившем название решето Эратосфена. В заключение осветим основные моменты, которые нужно учитывать при доказательстве того, что данное число является простым или составным.

Навигация по странице.

Простые и составные числа – определения и примеры

Понятия простые числа и составные числа относятся к целым положительным числам, которые больше единицы. Такие целые числа, в зависимости от количества их положительных делителей, подразделяются на простые и составные числа. Таким образом, чтобы понять определения простых и составных чисел, нужно хорошо представлять себе, что такое делители и кратные.

Составные числа – это целые числа, большие единицы, которое имеют, по крайней мере, три положительных делителя.

Учитывая, что целые положительные числа – это натуральные числа, и что единица имеет только один положительный делитель, можно привести другие формулировки озвученных определений простых и составных чисел.

Простыми числами называют натуральные числа, которые имеют только два положительных делителя.

Составными числами называют натуральные числа, имеющие более двух положительных делителей.

Исходя из информации предыдущего абзаца, можно дать следующее определение составных чисел.

Натуральные числа, которые не являются простыми, называются составными.

Приведем примеры простых и составных чисел.

В заключение этого пункта хочется еще обратить внимание на то, что простые числа и взаимно простые числа – это далеко ни одно и то же.

Таблица простых чисел

Теперь разберемся с возможностью (а точнее с невозможностью) составления таблицы всех существующих простых чисел. Мы не можем составить таблицу всех простых чисел, потому что простых чисел бесконечно много. Последнее утверждение представляет собой теорему, которую мы докажем после следующей вспомогательной теоремы.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Теперь мы можем доказать, что простых чисел бесконечно много.

Простых чисел бесконечно много.

Так доказано, что всегда может быть найдено новое простое число, не заключающееся среди любого количества наперед заданных простых чисел. Следовательно, простых чисел бесконечно много.

Решето Эратосфена

Опишем несколько первых шагов.

Такой подход к составлению таблицы простых чисел является далеко не идеальным. Так или иначе, он имеет право на существование. Отметим, что при этом способе построения таблицы целых чисел можно использовать признаки делимости, которые немного ускорят процесс поиска делителей.

Существует более удобный способ для составления таблицы простых чисел, называемый решето Эратосфена. Присутствующее в названии слово «решето» не случайно, так как действия этого метода помогают как бы «просеять» сквозь решето Эратосфена целые числа, большие единицы, чтобы отделить простые от составных.

Первое записанное число 2 является простым. Теперь от числа 2 последовательно перемещаемся вправо на два числа и зачеркиваем эти числа, пока не доберемся до конца составляемой таблицы чисел. Так будут вычеркнуты все числа, кратные двум.

Давайте еще сформулируем и докажем теорему, которая позволит ускорить процесс составления таблицы простых чисел при помощи решета Эратосфена.

Что же нам дает доказанная теорема, касательно решета Эратосфена?

Данное число простое или составное?

Некоторые задания требуют выяснения, является ли данное число простым или составным. В общем случае эта задача далеко не проста, особенно для чисел, запись которых состоит из значительного количества знаков. В большинстве случаев приходится искать какой-либо специфический способ ее решения. Однако мы попробуем дать направление ходу мыслей для несложных случаев.

Несомненно, можно попробовать воспользоваться признаками делимости для доказательства того, что данное число является составным. Если, к примеру, некоторый признак делимости показывает, что данное число делится на некоторое целое положительное число большее единицы, то исходное число является составным.

Докажите, что число 898 989 898 989 898 989 составное.

Существенный недостаток такого подхода заключается в том, что признаки делимости не позволяют доказать простоту числа. Поэтому при проверке числа на то, является ли оно простым или составным, нужно действовать иначе.

Число 11 723 простое или составное?

Источник

Составное число

Составно́е число́ — натуральное число, бо́льшее 1, не являющееся простым. Каждое составное число является произведением двух натуральных чисел, бо́льших 1.

Последовательность составных чисел начинается так:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, … (последовательность A002808 в OEIS)

Содержание

Свойства

Основная теорема арифметики утверждает, что любое составное число может быть разложено в произведение простых множителей, причём единственным способом (с точностью до порядка множителей).

Покажем, что в натуральном ряду можно найти последовательности составных чисел любой длины. Обозначим, например:

Тогда миллион последовательных чисел содержит только составные числа: делится на 2, делится на 3 и т. д.

См. также

Источники

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Составное число» в других словарях:

СОСТАВНОЕ ЧИСЛО — натуральное число, не являющееся простым числом. Напр., 4; 18; 105 составное число … Большой Энциклопедический словарь

составное число — натуральное число, не являющееся простым числом. Например, 4; 18; 105 составное число. * * * СОСТАВНОЕ ЧИСЛО СОСТАВНОЕ ЧИСЛО, натуральное число, не являющееся простым числом. Напр., 4; 18; 105 составное число … Энциклопедический словарь

Составное число — натуральное число, не являющееся простым, т. е. имеющее делители, отличные от единицы и самого себя; например, 4; 18; 105 суть С. ч. Всякое С. ч. можно единственным способом представить в виде произведения простых множителей. См.… … Большая советская энциклопедия

СОСТАВНОЕ ЧИСЛО — натуральное число, не являющееся простым числом. Напр., 4; 18; 105 С. ч … Естествознание. Энциклопедический словарь

разлагать составное число на множители — — [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23] Тематики защита информации EN factor a composite number … Справочник технического переводчика

Число Смита — такое составное число, сумма цифр которого (в данной системе счисления) равняется сумме цифр всех его простых сомножителей. Так, примером числа Смита может служить 202, поскольку 2 + 0 + 2 = 4, и 2 + 1 + 0 + 1 = 4 (202 = 2 * 101). Понятие чисел… … Википедия

Число Кармайкла — В теории чисел числом Кармайкла (кармайкловым числом) называется всякое составное число n, которое удовлетворяют сравнению для всех целых b, взаимно простых с n. Другими словами, числом Кармайкла называется составное число n, которое… … Википедия

Число — Число. Для того, чтобы описать совокупность однородных предметов,надо указать, какие предметы и сколько их. Напр. на этом столе лежатпять карандашей, в этой комнате семь стульев, в этом шкафу двеститридцать шесть книг. Слова: пять, семь, двести … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

Составное звено — Группа атомов, с помощью которой можно описать строение полимера. Составное звено, которое многократно повторяется, называют повторяющимся составным звеном. Если при получении полимера мономер полностью входит в его состав, то повторяющееся… … Википедия

Источник

Урок 4 Бесплатно Простые и составные числа

На этом уроке мы познакомимся с двумя видами чисел. Они будут различаться количеством делителей.

Также узнаем, как можно разложить составное число на простые числа, изучим основную теорему арифметики и увидим решето Эратосфена.

Простые и составные числа

Если мы попытаемся разделить число 11 на какие-нибудь числа без остатка, то у нас получится это сделать, только если мы будем делить на 1 или на 11.

Получается, что число 11 имеет только два делителя: 1 и 11.

Если мы поступим так же с числами 9 и 18, то узнаем, что у числа 9 три делителя: 1, 3 и 9, а число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9 и 18

Натуральное число простое, если оно имеет делителями только единицу и само себя.

Если натуральное число имеет больше двух делителей, то оно называется составным.

Таким образом, числа, которые мы используем при счете, в итоге можно разделить на три разные группы по количеству делителей:

Пример 1

Даны числа: 1, 7, 10, 12, 13, 24. Найдите все делители для каждого из чисел. Выпишите числа, имеющие:

В) больше двух делителей

Решение:

Число 1 имеет один делитель: 1

Число 7 имеет два делителя: 1, 7

Число 10 имеет четыре делителя: 1, 2, 5, 10

Число 12 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Число 13 имеет два делителя: 1, 13

Число 24 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Ответ:

А) один делитель- 1

Б) два делителя- 7, 13

В) больше двух делителей- 10, 12, 24

Таким образом, числа 7 и 13 являются простыми, потому что имеют по два делителя.

Числа 10, 12, 24 являются составными, потому что имеют больше двух делителей.

Пример 2

Даны числа: 2, 4, 17, 21, 28, 30, 42, 55, 127. Какие из них простые, а какие составные?

Найдите все делители для составных чисел.

Решение:

Простые: 2, 17, 127

Составные: 4, 21, 28, 30, 42, 55

Число 4 имеет три делителя: 1, 2, 4

Число 21 имеет четыре делителя: 1, 3, 7, 21

Число 28 имеет шесть делителей: 1, 2, 4, 7, 14, 28

Число 30 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Число 42 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

Число 55 имеет четыре делителя: 1, 5, 11, 55

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Простые и составные числа с древнейших времён интересовали разных учёных. Например, древнегреческий учёный Эратосфен (276- 194 гг. до н.э.) занимался вопросом таких чисел.

Он был главой Александрийской библиотеки и в его работах появились первые факты математической географии, вычисления величины земного шара с достаточно для того времени хорошей точностью.

Для своих вычислений он создал довольно простой способ, который использовался для исследования простых чисел и дошел до нашего времени без изменений. Этот способ назвали «Решето Эратосфена».

Пусть перед нами стоит задача нахождения простых чисел от 1 до 100 включительно.

Распишем все эти числа в квадрате 10 на 10.

После этого начинаем зачеркивать те, которые делятся на 2, потом на 3, потом на 5 (на 4 не берем, ведь они уже будут зачёркнуты, когда мы будем зачеркивать делящиеся на 2), потом на 7 и… всё!

Больше зачеркивать ничего не нужно, так как дальше работает доказанное правило: оставшиеся числа в таблице будут простыми.

Почему вдруг такую таблицу назвали решетом?

Получается вот что: мы убираем числа, потом повторяем с оставшимися числами, и то, что будет не зачёркнуто, как бы напоминает то, что ОСТАЕТСЯ В РЕШЕТЕ.

Если внимательно посмотреть на табличку, то можно увидеть что все вычеркнутые стоят на прямых линиях. А, кто видел решето, тот знает, что оно состоит из нитей, натянутых в виде прямых. Значит, можно построить такое решето, просто проводя прямую в тех местах, где число нужно вычеркнуть – вот и все. Поэтому мы и получаем подобие решета.

Решето Эратосфена работает по подобию простой вычислительной машины. И значит, еще очень давно, была изобретена СЧЕТНАЯ МАШИНА.

На сегодняшний день не существует формулы получения любого простого числа, зато еще с древности известно решето Эратосфена. Всё гениальное просто, как говорится в известном афоризме.

На числовой прямой простые числа не имеют никакой закономерности, стоят в хаотичном порядке. Но если мы соберем числовую прямую в решето Эратосфена большого размера, мы их все просеем через него и соберем без исключения и потерь.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Составные числа

Любое натуральное число больше единицы является либо простым либо составным. Простым называют число, которое делится без остатка только на само себя или на единицу (2, 3, 5, 7 и т.д.). Составным называется число, которое имеет больше двух делителей (4, 6, 8 и т.д.).

Таблица составных чисел до 100

Самое маленькое составное число

Исходя из определения и пользуясь таблицей составных чисел, видно, что наименьшее натуральное составное число — 4.

Важно! Единица — не является ни простым, ни составным числом

Как определить составное ли число?

Возвращаясь к определению, получаем, что если число делиться без остатка на любое число, кроме самого себя и единицы — значит оно составное. Проверить это можно путем перебора делителей (к примеру, начать делить на 2, затем на 3 и т.д.), либо зная признаки делимости.

Источник

Простые и составные числа, определения, примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена

В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.

Простые и составные числа – определения и примеры

Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.

Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.

Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.

Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.

Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.

Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.

Таблица простых чисел

Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:

Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Простых чисел бесконечно много.

Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.

Решето Эратосфена

Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.

Перейдем к формулировке теоремы.

Данное число простое или составное?

Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.

Доказать что число 898989898989898989 является составным.

Ответ: 11723 является составным числом.

Источник