Что такое совершенное число в математике
Совершенное число
Совершенное число́ (др.-греч. ἀριθμὸς τέλειος) — натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, отличных от самого́ числа). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже.
Совершенные числа образуют последовательность: 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, …
Примеры
1-е совершенное число — 6 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3 ; их сумма 1 + 2 + 3 равна 6.
История изучения
Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида. Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.
Первые четыре совершенных числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского. Пятое совершенное число 33 550 336 обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). В XVI веке немецкий ученый Шейбель нашел ещё два совершенных числа:
8 589 869 056 и 137 438 691 328.
В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа. В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческие возможности.
Известно 47 чётных совершенных чисел, поиском новых чисел занимается проект распределённых вычислений GIMPS.
Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел.
Совершенные числа и их подобия
Среди мириад чисел редко встретишь совершенное число. Древние много внимания уделяли такому понятию, как делимость чисел, и их поразила особенность крайне редко встречающегося случая, когда сумма делителей совпадает с самим числом. Очень долго ученый мир цивилизации знал всего лишь четыре таких числа: 6; 28; 496; 8128. Совершенные – дали им название.
Оперирует ими раздел математики «теория чисел», но вот беда, стоит вчерашнему школьнику овладеть четырьмя арифметическими действиями, как эти самые числа перестают выходить из под его пера. Вместо них уважающий себя математик будет писать «a, b, c, d» и прочие знаки мало похожие на числа. И это в теории чисел!
Крайне неправильное поведение. Здесь читатель такого не встретит. Числа конкретны, красивы в своем истинном обличье и давайте вернемся к ним.
Вот с незапамятных времен известные совершенные числа со своими удивительными делителями.
6;1+2+3=6
28;1+2+4+7+14=28
496;1+2+4+8+16+31+62+124+248=496
8128;1+2+4+8+16+32+64+127+256+508+1016+2032+4064=8128
Если эти делители подать попарно, когда их перемножение дает искомое число, то структура совершенного числа становится прозрачной.
Итак, верхняя часть пар удваивается начиная с единицы, а нижняя тоже удваивается в обратном порядке, но за исход удвоения берется всегда простое число.
Важное значение в структуре делителей совершенного числа играет геометрическая прогрессия постоянно удваиваемых чисел: 1,2,4,8,16,32 и т.д. Дело в том, что сумма делителей абсолютно всех членов этой прогрессии имеет замечательное свойство – она все время меньше самого числа на единицу:
1х2=2 делитель 1
2х2=4 делители её:1+2=3 Совершенное число 6
4х2=8 делители её:1+2+4=7 Совершенное число 28
8х2=16 делители её:1+2+4+8=15
16х2=32 делители её:1+2+4+8+16=31 Совершенное число 496
С такой структурой делителей можно найти много чисел, но далеко не все будут совершенными. Обратим внимание на ряд удвоенных чисел. Сразу заметно, что после 8 поворота нет; казалось бы между 28 и 496 должно быть еще одно совершенное число. Попробуем его здесь найти. Удваиваем 8. Меньше на единицу этого удвоения будет число 15, но оно число не простое, а составное и потому не годится.
Почему не годится? Давайте проверим. Расставляем делители прежним порядком.
8//15+4//30+2//60=120
Увы, это далеко не все имеющиеся у числа делители. Коль 15 число составное, появляются дополнительные делители. Само 15 добавляет делители 3 и 5; 30 добавляет делители 6 и 10. Словом, много и еще раз много. Вот полная картина:
Сумма делителей 120;1+2//60+3//40+4//30+5//24+6//20+8//15+10//12=240
То есть 120 далека от совершенства на те же 120 единиц.
Находим середину между числами 104 и 136. (104+136):2=120. Характерно, что и через «поворотное число» 15, выходит тоже оно: 15х8=120. Выше мы определили, что сумма делителей 120=240. Это не просто число избыточное, а сверх избыточное. Сообразно месту появления следует признать 120 ложным совершенным числом.
При удвоении 16 около 32 есть простое число меньшее на единицу – 31. В этом случае все складывается чудесно и мы получаем совершенное число 496.
Давайте теперь попробуем в этом месте сделать поворот с другими простыми числами. Сначала пойдем в сторону уменьшения, чтобы найти предел в этой формуле (простые числа, которые удваиваются в нижней части пар делителей, где-то в районе 1,2,3 должны дать сбой в общей структуре построения таких пар).
Первое простое число меньшее 31, это 29 и далее подставляем простые «поворотные числа» по нисходящей.
Число:16х29=464 Сумма делителей:16//29+8//58+4//116+2//232+1=466+2
Число:16х23=368 Сумма делителей:16//23+8//46+4//92+2//184+1=376+8
Число:16х19=304 Сумма делителей:16//19+8//38+4//76+2//152+1=316+12
Число:16х17=272 Сумма делителей:16//17+8//34+4//68+2//136+1=286+14
Число:16х13=208 Сумма делителей:16//13+8//26+4//52+2//104+1=226+18
Число:16х11=176 Сумма делителей:16//11+8//22+4//44+2//88+1=196+20
Число:16х7=112 Сумма делителей:16//7+8//14+4//28+2//56+1=136+24
Число:16х5=80 Сумма делителей:16//5+8//10+4//20+2//40+1=106+26
Число:16х3=48 Сумма делителей:16//3+8//6+4//12+2//24+1=76+28
Ну, и чтобы до конца пройти этот путь подставляем единицу: 16х1=16. Сумма его делителей:16//1+8//2+4//4+2//8. Отбросим дубли и сумма делителей 16 будет: 1+2+4+8+16=31. Да, да, снова 31, поскольку делитель 16, появившийся от деления 16 на единицу, стал делителем равным самому числу, чего ранее не встречалось. Этот случай поможет нам в дальнейшем.
Теперь будем подставлять простые числа, которые больше 31.
Число:16х37=592 Сумма делителей:16//37+8//74+4//148+2//296+1=586-6
Число:16х41=656 Сумма делителей:16//41+8//82+4//164+2//328+1=646-10
Число:16х43=688 Сумма делителей: 16//43+8//86+4//172+2//344+1=676-12
Число:16х47=752 Сумма делителей:16//47+8//94+4//188+2//376+1=736-16
Число:16х53=848 Сумма делителей:16//53+8//106+4//212+2//424+1=826-22
Число:16х59=944 Сумма делителей:16//59+8//118+4//236+2//472+1=916-28
Как видим, чтобы дойти до разрыва между основным числом и суммой его делителей в 28 единиц, в сторону минуса потребовалось меньшее число подстановок в поворот простых чисел.
Вернемся к структуре делителей совершенных чисел и им подобным. Ряд все время удваивающихся чисел, а именно таковые содержит верхний ряд пар делителей совершенных чисел, таит в себе уникальную особенность. Именно здесь собраны все числа, сумма делителей которых меньше самого числа на единицу. С первыми числами в таком удвоении все понятно и неясно одновременно (об этом позже): 1; 2; 4. Четверка, первое составное число сумма делителей которого дает число предыдущее – 3. Эта тройка далее тоже играет важную роль. Впрочем, единственный делитель у двойки тоже показывает число предыдущее – 1.
Сначала представим появление самого ряда постоянного удвоения с исчислением суммы делителей чисел его составляющих:
1
1х2=2 делитель:1
2х2=4 делители:1+2=3
4х2=8 делители:1+2+4=7
8х2=16 делители:1+2+4+8=15
16х2=32 делители:1+2+4+8+16=31
32х2=64 делители: 1+2+4+8+16+32=63
64х2=128 делители:1+2+4+8+16+32+64=127
128х2=256 делители:1+2+4+8+16+32+64+128=255
На первый взгляд они все готовы породить число совершенное, поскольку суммы делителей их меньше на 1 самого числа. Однако есть еще одно важное условие. Эта сумма делителей, меньшая на 1, сама должна быть числом простым.
Представляем столбиком два ряда. Первый ряд составляют числа удваивающиеся с каждым разом. Напротив указаны суммы их делителей с примечаниями характера такого числа.
1
2;1 простое
4;3 простое
8;7 простое
16;15 составное, делится на 3 (есть и другие делители, но этого достаточно)
32;31 простое
64;63 составное – делится на 3 (эта тройка часто встречается в этом случае)
128;127 простое
256;255 составное – делится на 3
512;511 составное – делится на 73
1024;1023 составное – делится на 3
2048;2047 составное – делится на 23
4096;4095 составное – делится на 3
8192;8191 простое
Простое число из ряда суммы делителей перемноженное на число из предыдущей пары из ряда чисел удваивающихся всегда дает совершенное число.
8191х4096=33550336
127х64=8128
31х16=496
7х4=28
3х2=6
1х1=1
Общепринятым в математике является утверждение, что первое совершенное число 6, второе – 28, третье – 496, четвертое – 8128, пятое (найденное только в 15 веке) – 33550336.
Приведенное выше доказательство переворачивает эти представления. Первым совершенным числом является единица.
Это тем очевиднее, что все известные совершенные числа (кроме 6) при сложении их цифр и сведения их к числу однозначному, всегда дают 1.
Все совершенные числа пронизаны двоичностью: удваиваются делители верхнего ряда пар, удваиваются в обратном направлении делители нижнего ряда пар. Если складывать суммы обратных величин делителей и самого совершенного числа (здесь появляются дроби), то в результате всегда будет двойка.
1/1+1/2+1/3+1/6=2
1/1+1/2+1/4+1/7+1/28=2
Казалось бы, что единица никак не сможет вместить в себя эту двоичность. Однако, если рассматривать единицу, как число совершенное, то она удовлетворяет представленному выше требованию и сложение дробей 1/1+1/1 тоже дает 2.
Значит, единица есть число совершенное.
Любая группа чисел, которая может быть представлена в виде последовательности подчиняющейся какому-то правилу называется рядом. Иногда ряд конечен, иногда бесконечен, но начало есть всегда. Общеизвестный факт, что совершенные числа представляются такой последовательностью. Показывать будто этот ряд начинается с 6 не очень естественно. Единица часто выступает отправной точкой для многих рядов и в этом случае несомненно принадлежит этому ряду. Если толковать, что все совершенные числа являются числами треугольными, (это тоже признанный факт), то уместно напомнить, ряд треугольных чисел начинается с единицы.
Разумеется, главным барьером, лежащим веками на пути признания единицы совершенным числом, является условие, что у всех рассматриваемых чисел не берется в качестве делителя само число, хотя аналогичный делитель, присутствующий, как делитель абсолютно в каждом числе – единица, допускается.
Однако, допуская единицу, как делитель в единице, мы не рассматриваем ее в качестве самого числа. Для нас, этот есть сумма делителей следующего числа геометрической прогрессии простого числа 2, (это, как появление делителя 3 для следующего совершенного числа – он есть сумма делителей числа 4 в геометрической прогрессии удваиваемых чисел), а уж то, что он совпал с самим числом, так это частный случай.
Такой частный случай появляется всякий раз, когда мы в структуру делителей тех или иных совершенных чисел подставляем в качестве «числа поворота» самое малое простое число 1.
Для примера возьмем два совершенных числа 28 и 496 и будем в структуру их делителей подставлять самые малые простые числа 1,2,3.
Вот структура делителей 28;4//7+2//14+1=28 На место 7 (число поворота) подставляем последовательно 3,2,1 (в обратном порядке будет нагляднее).
4х3=12 12;4//3+2//6+1=16(+4)
4х2=8 8;4//2+2//4+1=7(-1)
4х1=4 4;4//1+2//2+1=7(-1)
Тоже проделываем с более обширной структурой делителей совершенного числа 496;16//31+8//62+4//124+2//248+1=496
16х3=48 48;16//3+8//6+4//12+2//24+1=76(+28)
16х2=32 32;16//2+8//4+4//8+2//16+1=31(-1)
16х1=16 16;16//1+8//2+4//4+2//8+1=31(-1)
Как видим в обоих случаях при подстановке в поворот 1 сумма делителей не уменьшалась по сравнению с подстановкой 2, хотя сами числа уменьшились наполовину. Это произошло оттого, что крупнейший делитель в структуре делителей сравнялся с самим числом, но не потому, что мы его априори взяли равным, а оттого что в подстановке простое число один меньше вдвое простого числа два и при перемножении уменьшило вдвое исследуемое число. То есть, изначально мы не берем делитель равный самому числу, но таковой у нас получается.
Следовательно рассматривать 1=1х1 и 2=1/1+1/1 корректно и единица есть совершенное число.
В погоне за совершенными числами, рассматривая массив чисел порождаемых «поворотными числами», все «следопыты математики» отлавливали из этого массива драгоценные совершенные числа, забывая обозреть массив целиком. А ведь каждое число получаемое через «поворотные числа» обладает замечательными свойствами. «Ложные совершенные» отличаются сверх избыточностью, подавляя этим качеством все ближайшие числа.
120;сумма делителей 240(+120) коэффициент 2
Только через 60 единиц появляется число сопоставимое по избыточности.
168;сумма делителей 312(+144) коэффициент 1,86
180;сумма делителей 366(+186) коэффициент 2,03
Теперь приведем таблицу «поворотных чисел» и результат от их подстановки в поворот сумм делителей. Первая колонка – геометрическая прогрессия постоянного удвоения. Вторая колонка – сумма делителей конкретного числа из геометрической прогрессии и одновременно «число поворота» в структуре сумм делителей при поиске совершенного числа. Третья колонка – результат перемножения «числа поворота» на число из первой колонки, но предшествующей строки (перемножение по диагонали таблицы), как результат поиска числа совершенного, а далее указан результат.
1
2;1;1 (1х1) Совершенное число 1
4;3;6 (3х2) Совершенное число 6
8;7;28 (7х4) Совершенное число 28
16;15;120 (15х8) Ложное совершенное 120 (+120)
32;31;496 (31х16) Совершенное число 496
64;63;2016 (63х32) Ложное совершенное 2016 (+2520)
128;127;8128 (127х64) Совершенное число 8128
Совершенные числа
Совершенную красоту чисел впервые заметили пифагорейцы. Именно они были первооткрывателями совершенных натуральных чисел. С тех далеких времен совершенные числа представляют особый интерес для математических исследований.
Совершенное число — это число, равное сумме всех своих делителей, в том числе единица, но исключая само себя. Первое и наименьшее из совершенных чисел — 6. Совершенное число шесть равно сумме трех своих делителей 1, 2 и 3. Следующее совершенное число 28=1+2+4+7+14. Далее по мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Третье совершенное число — 496, четвёртое — 8128, пятое — 2 096 128, шестое — 33 550 336, седьмое — 8 589 869 056 (согласно последовательности A000396 в OEIS).
Интересно узнать, что Мартин Гарднер в своей книге «Математические новеллы» впервые усмотрел в совершенстве чисел 6 и 28 особый смысл. Вспомните, ведь Бог сотворил мир за 6 дней. А Луна обновляется каждые 28 суток.
Первое крупное достижение в области теории совершенных чисел была теорема Евклида о том, что число 2n-1(2n-1) — четное и совершенное, в том случае, если число 2n-1 простое.
Спустя много веков, Леонардо Эйлер доказал справедливость теории Евклида. Таким образом, в формуле Евклида содержатся все четные совершенные числа. За все время изучения совершенных чисел не было найдено ни одного нечетного совершенного числа. В связи с этим ученые говорят лишь о существовании четных совершенных чисел. Однако это не исключает возможности их существования. Неизвестна также достоверность предположения о бесконечности множества всех совершенных чисел.
С помощью формулы Евклида можно доказать огромное количество свойств совершенных чисел. К примеру: все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 13+33+53+. Не менее интересным свойством совершенных чисел является то, что сумма величин, обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2:
1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2.
Интересно представление совершенных чисел в двоичной форме и многое другое. Следует отметить, что все чётные совершенные числа (кроме 6) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96.
Совершенные числа
Всего получено оценок: 264.
Всего получено оценок: 264.
Математика – это не только куча уже известных формул, типовых решений и задач. Помимо школьного курса есть математические загадки, которые пока никому не удалось разгадать. Одной из таких загадок являются совершенные числа.
Что такое совершенное число?
Совершенное число – это числа, сумма делителей которого равняется этому числу. Имеются в виду только те числители, что меньше самого числа. Наименьшим совершенным числом является число 6.
Простые делители 6: 1,2,3 – если их сложить то получится все тоже число 6.
Немного истории
Совершенными числами впервые заинтересовались древнегреческие математики. Они были увлечены идеей простого числа. Так, второе простое число было обнаружено Пифагором, который полагал, что обнаружив закономерность, по которой образуются простые числа, можно вывести идеальное имя человека. Это была идея всех математиков того времени.
Первым, кто попытался вывести подобную зависимость научным путем, был Евклид, в своих трудах он указывал на некоторые признаки совершенных чисел. Однако, несмотря на все труды математиков всех времен и народов, обнаружить формулу совершенного числа до сих пор не удалось
Это удивительно, но ни одна из предложенных формул совершенных чисел не дает возможности определить следующее по порядку совершенное число. Все, что может предложить современная математика: бесконечный перебор вариантов.
Сколько совершенных чисел?
Да, тяжело в это поверить, но открытых совершенных чисел не так много. Так последнее на данный момент, 50 число было открыто всего в 2018 году с помощью вычислений сверхмощного компьютера.
Зачем же нужны компьютеры для простого перебора чисел? Ну, как минимум, это ускоряет расчет в десятки тысяч раз. Но помимо этого есть и еще одна причина. Дело в том, что чем каждое следующее совершенное число в разы больше предыдущего, что еще больше усложняет выведение формулы числа и нахождение следующих чисел ряда.
Так, первое число из списка совершенных чисел мы знаем: 6. Следующее: 28, далее идет 496.
Большую часть совершенных чисел нашли уже в современности. Огромное 24 число было найдено в 1956 году с использованием ЭВМ. На сегодняшний день таких в список совершенных чисел входит 50 значений.
Свойства совершенных чисел
Особых свойств совершенные числа не имеют, но есть интересные закономерности. Интересно, что практически каждая закономерность имеет свои исключения, а потому не может быть использована для выведения общей для всех совершенных чисел формулы.
Например, совершенные числа являются суммой кубов последовательных чисел. Однако под это свойство не попадает число 6 и так далее. Практически каждое свойство имеет свое исключение, кроме двух.
Так, сумма обратных чисел простых делителей совершенного числа всегда равна 2. А так же до сих пор не найдено ни одно нечетное совершенное число. Возможно это связано с моделью поиска, а может быть дело в том, что все совершенные числа: четные.
Что мы узнали?
Мы поговорили о том, что такое совершенные числа. Рассказали, сколько всего совершенных чисел найдена, чем затруднен поиск новых чисел, а также привели несколько интересных свойств совершенных чисел.
Совершенное число
Совершенное число́ (др.-греч. ἀριθμὸς τέλειος ) — натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, отличных от самого́ числа). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже.
Совершенные числа образуют последовательность:
6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, … (последовательность A000396 в OEIS).