Что такое спектр в радиотехнике
Просто о сигналах и спектрах
Есть множество материалов пытающихся объяснить, что такое спектр сигнала. Тем не менее, часто эти попытки страдают излишней заумностью, обилием формул, а объяснить, что же такое спектр просто, что называется “на пальцах”, мало у кого удаётся. Итак.
Прежде чем рассматривать, что такое спектр сигнала сначала выясним, что же такое сам сигнал. Как показывает практика, этот базовый вопрос актуален и отсутствие чёткого понимание именно этого момента часто ведёт к тому, что объяснения о сути спектра идут “в холостую”.
Вопрос о сигналах удобно рассматривать исторически. Одно из самых первых устройств электрической связи – это телеграф. Принцип работы телеграфа довольно прост и состоит в следующем. Из опытов по физике мы с вами знаем, что если намотать провод, например, на кусок железного гвоздя и подключить его к батарейке (см. рис. 1), то этот кусок гвоздя начнёт притягивать всевозможные железки, т.е. превратится в электромагнит (см. также, например, здесь).
рис.1
Если отключим провода от батарейки, то гвоздь перестанет быть магнитом. Таким образом, мы получили “чудо-гвоздь”, который в зависимости от нашего желания то становится магнитным, то перестаёт им быть. Причём, если у вас есть провод достаточной длинны, то вы с батарейкой можете находиться на одном конце города, а гвоздь-электромагнит на другом и вы, подключая (и отключая) батарейку к проводам, соединённым с гвоздём, можете дистанционно по проводам (что называется – через канал связи) управлять магнитными свойствами удалённого от вас гвоздя. В этом и состоит суть телеграфа. Телеграфный аппарат состоит из электромагнита, который управляются телеграфным ключом (выключателем) – см. рис.2.
рис.2
Магнит, то притягивают к себе металлическую пластину с прикреплённым к ней карандашом, то нет. В итоге, когда пластина притянута к электромагниту, тогда карандаш касается движущейся телеграфной ленты и оставляет на ней отметку. Если телеграфный ключ (который на одном конце города) замкнут на короткое время, то на телеграфной ленте (на другом конце города) остаётся точка, если телеграфный ключ удерживается в замкнутом положении дольше, то на движущейся ленте остаётся тире, если ключ не замкнут, то на ленте нет ни точки ни тире. Как известно, была изобретена азбука Морзе, где точками и тире на телеграфной ленте кодировались буквы. Таким образом, появилась возможность с огромной скоростью передавать сообщения из одного конца города в другой. Так вот, если к проводу, ведущему от ключа на телеграф подключить амперметр (см. рис.3), то тогда можно увидеть, что при замыкании ключа по проводам течёт ток с максимальной силой, когда ключ разомкнут, амперметр покажет нулевую силу тока в проводах. Всё это можно нарисовать в виде графика (см. рис.4), где по оси X откладываем время, а по оси Y силу тока в проводах между ключом и телеграфным аппаратом.
рис.3
рис.4
Мы видим на графике так называемые импульсы силы тока. Короткий импульс – ключ был замкнут на короткое время (передавалась точка), длинный импульс – на длинное (передавалось тире). Ясно, что эти импульсы несут информацию о том, что передавалось – точка или тире в такие-то моменты времени. Так вот график смены силы тока в телеграфе – это уже и есть то, что называют сигналом.
Развиваем тему. Следующее устройство электросвязи – это телефон. Принцип работы первых устройств для передачи речи на расстояния довольно прост и, по сути, является развитием идеи заложенной в телеграфе. Как известно звук – это колебания воздуха. Если вы тронете струну музыкального инструмента, то она начнёт колебаться, колебания струны предаются на воздух, воздух колеблясь начинает колебать перепонку вашего уха и вы слышите звук струны. Но позвольте, ведь пластина телеграфа (к которой прикреплён карандаш) тоже колеблется правда пока что довольно примитивно – она либо прилипает к магниту, либо нет. Однако, по идее, если мы заставим её колебаться более изощрённо – так же, как колеблется струна музыкального инструмента, то от этой пластины мы услышим звук так же, как от музыкального инструмента. А если мы заставим её колебаться так же, как колеблются, например, лист стекла или железа, когда рядом с ним человек произносит что-либо? Тогда от этой пластины мы услышим звуки в виде речи. Дело за малым – нужно сделать “телеграфный ключ”, который управлял бы притяжениями пластины телеграфа более изощрённо. В итоге электромагниты будут менять свою магнитную силу не как до этого – рывком (ключ замкнут – магнитная сила есть, ключ разомкнут – магнитной силы нет), а так, чтобы заставить пластину двигаться наподобие струны или наподобие того, как колеблется лист железа, когда рядом с ним человек что-либо произносит. Как сделать такой ключ? Ну, например, поступали и поступают следующим образом. Из опытов по физике мы знаем, что если взять катушку провода и начать двигать внутри неё магнит (см. рис.5), то по проводам этой катушки побежит изменяющийся ток, причём изменение силы этого тока будет пропорционально изменению положения магнита, также см., например, здесь.
рис.5
В итоге если к этому магниту прикрепить струну, то её колебания передадутся магниту, колебания магнита инициируют в проводах катушки изменяющийся ток, чья сила будет колебаться в соответствии с колебаниями струны. А раз так, то если эти провода с изменяющейся силой тока подключить к телеграфу, то и магнитная сила электромагнитов телеграфа будет также меняться в соответствии с изменениями силы тока, а значит и в соответствии с исходными колебаниями струны. Отсюда пластина телеграфа начнёт колебаться, так же как и струна, в итоге мы услышим от неё звук струны. Если к магниту на передающей стороне присоединить не струну, а мембрану, то человек произнося что-либо рядом с этой мембраной, вызовет её колебания, отсюда пойдёт колебание тока в проводах и всё завершится звуками человеческого голоса от пластины телеграфа. Вот и весь принцип, используемый и поныне. Правда вместо телеграфа на приёмной стороне сейчас устройство, называемое телефоном – там тоже под действием электромагнитов колеблется металлическая пластина, называемая мембраной. Переменный ток в проводах, как мы с вами уже знаем, соответствует колебаниям пластин на передающей и приёмной сторонах, т.е. соответствует передаваемым колебаниям-звукам. Таким образом, график изменения силы тока в проводах (см. рис. 6) и есть тот самый передаваемый сигнал.
рис.6
Итак, сигнал – это чаще всего некое колебательное движение, которое мы и хотим передать от передающей стороны на приёмную с целью передачи неких сообщений – только и всего. Собственно термин “сигнал” переводится, как “знак”. То есть мы подаём знаки некими колебаниями, которые передаются от передатчика на приёмник. Знаками-сигналами передаются сообщения.
Повторюсь, суть передачи информации – это перевод движений одного вида в движения другого вида – такого, который удобен для распространения на большие расстояния. То есть в примере с телеграфом мы движения руки по замыканию-размыканию ключа переводим в движение в виде наличия тока в проводе или его отсутствия. В примере с телефоном – мы движения колеблющегося воздуха (которое есть звуки) переводим в колебания величины тока в проводах и т.д. То есть сигналы это движения (обычно в виде колебаний) некоего носителя соответствующие движениям источника информации. В связи с этим возникает необходимость в изучении и описании колебательных движений для того, чтобы передавать эти самые колебательные движения в виде сигналов наиболее эффективным способом. Строго говоря, изучение свойств колебаний началось ещё в глубокой древности. Например, давным-давно было подмечено, что две одновременно колеблющиеся струны музыкального инструмента дают другой звук, чем те звуки, что мы получаем от отдельно колеблющихся струн. То есть можно создавать довольно сложные колебания-звуки на основе комбинации неких простейших колебаний-звуков. В общем-то именно эта идея и лежит в основе таких понятий, как преобразование Фурье, спектр и всё, что с этим связано.
Итак, на следующей странице появилось продолжение.
Комментарии
Евгений
19/11/13 20:09
классно все объясненно как говориться на пальцах даже переспросить нечего и еще бы про спектр бы пояснить бы мне а то я в лесу можно сказать блуждаю автору огромное спасибо
Константин
19/11/13 20:24
Раз интерес проявился, то буду дописывать про спектр, правда, с небольшой задержкой.
Что такое спектр в радиотехнике
Введение
Рисунок 1-1. Сложный сигнал во временной области
Некоторые измерения требуют получения полной информации о сигнале – частоты, амплитуды и фазы. Такого рода анализ называется векторным анализом сигнала и рассматривается в документе Agilent Application Note 150-15, Vector Signal Analysis Basics. Современные анализаторы спектра способны проводить различного рода векторные измерения сигнала. Однако, другая обширная группа измерений не включает определения фазовых соотношений между синусоидальными составляющими. Такой тип анализа сигнала называется спектральным анализом. Поскольку спектральный анализ более прост для понимания и одновременно необычайно полезен на практике, мы сперва рассмотрим то, как анализаторы спектра осуществляют измерения для спектрального анализа, начиная с Главы 2.
Теоретически, чтобы осуществить преобразование из временной области в частотную область, сигнал должен быть оценен на всем промежутке времени, то есть до ± бесконечности. Однако, на практике мы всегда ограничиваемся каким-то конечным периодом, когда проводим измерение. Преобразование Фурье также может быть осуществлено и из частотной области во временную. В этом случае, опять же, теоретически нам надо знать все спектральные составляющие в диапазоне частот до ± бесконечности. На самом же деле, производя измерения только в той области частот, в которой содержится наибольшая часть энергии сигнала, можно получить вполне приемлемые результаты. При преобразовании Фурье из частотной области очень важно знать фазу индивидуальных составляющих. Например, прямоугольный периодический сигнал, переведенный в частотную область и обратно, может превратиться в пилообразный, если не были зафиксированы фазы.
Что такое спектр?
Так чем же является спектр в контексте нашего обсуждения? Спектр – это набор синусоидальных волн, которые, будучи надлежащим образом скомбинированы, дают изучаемый нами сигнал во временной области. На Рис. 1-1 показана волновая форма сложного сигнала. Давайте предположим, что мы ожидали увидеть чисто синусоидальный сигнал. И хотя форма явно демонстрирует нам, что сигнал не является чистой синусоидой, она не дает определенного ответа на вопрос о причинах данного явления. На Рис. 1-2 показан наш сложный сигнал во временной и в частотной области. В частотной области показана амплитуда для каждой синусоидальной волны в спектре в зависимости от частоты. Как видно, в данном случае спектр состоит лишь из двух волн. Теперь мы знаем, отчего наш сигнал не является чистой синусоидой: в нем содержится еще одна волна, вторая гармоника в нашем случае. Означает ли это, что измерения во временной области можно вообще не проводить? Отнюдь. Временная область является предпочтительной для многих измерений, а для некоторых является единственно возможной. К примеру, только во временной области можно измерить длительность фронта и спада импульса, выбросы и биения.
Рисунок 1-2. Связь между временной и частотной областью
Рисунок 1-3. Тест передатчика на гармонические искажения
Рисунок 1-4. Радиосигнал GSM и спектральная маска, показывающая границу нежелательных выбросов
Рисунок 1-5. Двухтоновый тест радиочастотного усилителя мощности
Рисунок 1-6. Выбросы излучения и их ограничения по стандарту CISPR11 как часть теста на электромагнитную совместимость
Типы измерений
Чаще всего анализаторами спектра измеряют частоту, мощность, модуляцию, искажения и шум. Знание спектрального состава сигнала очень важно, особенно в системах с полосой частот ограниченной ширины. Переданная мощность также является важным измеряемым параметром. Слишком малая мощность означает, что сигнал не сможет достичь точки назначения. Слишком большая мощность может быстро истощить заряд батарей, создать искажения и чрезмерно повысить рабочую температуру системы.
Измерение качества модуляции может быть важным для того, чтобы обеспечить нормальную работу системы и быть уверенным в том, что информация передается корректно. Измерения коэффициента модуляции, уровня полосы боковых частот, качества модуляции и заполнения полосы частот – это примеры самых распространенных тестов при аналоговой модуляции. В случае цифровой модуляции измеряются модуль вектора погрешности, дисбаланс IQ, зависимость погрешности фазы от времени и ряд других параметров. Более подробно об этих видах измерений рассказано в документе Agilent Application Note 150-15, Vector Signal Analysis Basics.
В сфере коммуникаций и связи измерение искажений очень важно как для приемников, так и для передатчиков. Излишние гармонические искажения на выходе передатчика могут создавать помехи на других коммуникационных частотах. В блоках предусилителей приемника не должно быть интермодуляции, чтобы избежать перекрестного наложения сигнала. Хороший пример – интермодуляция несущих сигналов кабельного телевидения, которые при распространении по распределительной системе вносят искажения в другие каналы этого же кабеля. Распространенными измерениями искажений являются измерения интермодуляции, гармоник и паразитного излучения.
Часто бывает нужно измерить и шум как сигнал. Любая активная цепь или устройство будет генерировать шум. Измерения коэффициента шума и отношения сигнал/шум (С/Ш) являются важными для описания показателей устройства и его вклада в общие показатели системы.
1 Жан Батист Фурье, 1768 – 1830, французский математик и физик, открывший, что периодические функции могут быть представлены последовательностью синусов и косинусов.
2 Если же сигнал появляется лишь раз, то его спектральным представлением будет непрерывное множество синусоидальных волн.
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Спектр (электричество)
Спектр (электричество)
Содержание
Базисные функции
В радиотехнике в качестве базисных функций используют синусоидальные функции. Это объясняется рядом причин:
Кроме гармонического ряда Фурье применяются и другие виды разложений: по функциям Уолша, Бесселя, Хаара, Лежандра, полиномам Чебышева и др.
В цифровой обработке сигналов для анализа применяются дискретные преобразования: Фурье, Хартли, вейвлетные и др.
Применение
Разложение сигнала в спектр применяется в анализе прохождения сигналов через электрические цепи (спектральный метод). Спектр периодического сигнала является дискретным и представляет набор гармонических колебаний, в сумме составляющий исходный сигнал. Одним из преимуществ разложения сигнала в спектр является следующее: сигнал, проходя по цепи, претерпевает изменения (усиление, задержка, модулирование, детектирование, изменение фазы, ограничение и т. д.). Токи и напряжения в цепи под действием сигнала описываются дифференциальными уравнениями, соответствующими элементам цепи и способу их соединения. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями, причём для линейных цепей верен принцип суперпозиции: действие на систему сложного сигнала, который состоит из суммы простых сигналов, равно сумме действий от каждого составляющего сигнала в отдельности. Это позволяет при известной реакции системы на какой-либо простой сигнал, например, на синусоидальное колебание с определённой частотой, определить реакцию системы на любой сложный сигнал, разложив его в ряд по синусоидальным колебаниям.
На практике спектр измеряют при помощи специальных приборов: анализаторов спектра.
Математическое представление
Если под сигналом s(t) понимать электрическое напряжение на резисторе сопротивлением 1 Ом, то спектр этого сигнала S(ω) можно записать следующим образом:
Практическое применение преобразования Фурье для анализа сигналов. Введение для начинающих
1. Преобразование Фурье и спектр сигнала
Во многих случаях задача получения (вычисления) спектра сигнала выглядит следующим образом. Имеется АЦП, который с частотой дискретизации Fd преобразует непрерывный сигнал, поступающий на его вход в течение времени Т, в цифровые отсчеты — N штук. Далее массив отсчетов подается в некую программку, которая выдает N/2 каких-то числовых значений (программист, который утянул из инета написал программку, уверяет, что она делает преобразование Фурье).
Чтобы проверить, правильно ли работает программа, сформируем массив отсчетов как сумму двух синусоид sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) и подсунем программке. Программа нарисовала следующее:
рис.1 График временной функции сигнала
рис.2 График спектра сигнала
На графике спектра имеется две палки (гармоники) 5 Гц с амплитудой 0.5 В и 10 Гц — с амплитудой 1 В, все как в формуле исходного сигнала. Все отлично, программист молодец! Программа работает правильно.
Это значит, что если мы подадим на вход АЦП реальный сигнал из смеси двух синусоид, то мы получим аналогичный спектр, состоящий из двух гармоник.
Итого, наш реальный измеренный сигнал, длительностью 5 сек, оцифрованный АЦП, то есть представленный дискретными отсчетами, имеет дискретный непериодический спектр.
С математической точки зрения — сколько ошибок в этой фразе?
Теперь начальство решило мы решили, что 5 секунд — это слишком долго, давай измерять сигнал за 0.5 сек.
рис.3 График функции sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) на периоде измерения 0.5 сек
рис.4 Спектр функции
Что-то как бы не то! Гармоника 10 Гц рисуется нормально, а вместо палки на 5 Гц появилось несколько каких-то непонятных гармоник. Смотрим в интернетах, что да как…
Во, говорят, что в конец выборки надо добавить нули и спектр будет рисоваться нормальный.
рис.5 Добили нулей до 5 сек
рис.6 Получили спектр
Все равно не то, что было на 5 секундах. Придется разбираться с теорией. Идем в Википедию — источник знаний.
2. Непрерывная функция и представление её рядом Фурье
Математически наш сигнал длительностью T секунд является некоторой функцией f(x), заданной на отрезке <0, T>(X в данном случае — время). Такую функцию всегда можно представить в виде суммы гармонических функций (синусоид или косинусоид) вида:
(1), где:
k — номер тригонометрической функции ( номер гармонической составляющей, номер гармоники)
T — отрезок, где функция определена (длительность сигнала)
Ak — амплитуда k-ой гармонической составляющей,
θk- начальная фаза k-ой гармонической составляющей
Что значит «представить функцию в виде суммы ряда»? Это значит, что, сложив в каждой точке значения гармонических составляющих ряда Фурье, мы получим значение нашей функции в этой точке.
(Более строго, среднеквадратичное отклонение ряда от функции f(x) будет стремиться к нулю, но несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно. См. https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Фурье.)
Этот ряд может быть также записан в виде:
(2),
где , k-я комплексная амплитуда.
(3)
Связь между коэффициентами (1) и (3) выражается следующими формулами:
Отметим, что все эти три представления ряда Фурье совершенно равнозначны. Иногда при работе с рядами Фурье бывает удобнее использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента, то есть использовать преобразование Фурье в комплексной форме. Но нам удобно использовать формулу (1), где ряд Фурье представлен в виде суммы косинусоид с соответствующими амплитудами и фазами. В любом случае неправильно говорить, что результатом преобразования Фурье действительного сигнала будут комплексные амплитуды гармоник. Как правильно говорится в Вики «Преобразование Фурье (ℱ) — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию, также вещественной переменной.»
Итого:
Математической основой спектрального анализа сигналов является преобразование Фурье.
Преобразование Фурье позволяет представить непрерывную функцию f(x) (сигнал), определенную на отрезке <0, T>в виде суммы бесконечного числа (бесконечного ряда) тригонометрических функций (синусоид и\или косинусоид) с определёнными амплитудами и фазами, также рассматриваемых на отрезке <0, T>. Такой ряд называется рядом Фурье.
Отметим еще некоторые моменты, понимание которых требуется для правильного применения преобразования Фурье к анализу сигналов. Если рассмотреть ряд Фурье (сумму синусоид) на всей оси Х, то можно увидеть, что вне отрезка <0, T>функция представленная рядом Фурье будет будет периодически повторять нашу функцию.
Например, на графике рис.7 исходная функция определена на отрезке <-T\2, +T\2>, а ряд Фурье представляет периодическую функцию, определенную на всей оси х.
Это происходит потому, что синусоиды сами являются периодическими функциями, соответственно и их сумма будет периодической функцией.
рис.7 Представление непериодической исходной функции рядом Фурье
Наша исходная функция — непрерывная, непериодическая, определена на некотором отрезке длиной T.
Спектр этой функции — дискретный, то есть представлен в виде бесконечного ряда гармонических составляющих — ряда Фурье.
По факту, рядом Фурье определяется некоторая периодическая функция, совпадающая с нашей на отрезке <0, T>, но для нас эта периодичность не существенна.
Периоды гармонических составляющих кратны величине отрезка <0, T>, на котором определена исходная функция f(x). Другими словами, периоды гармоник кратны длительности измерения сигнала. Например, период первой гармоники ряда Фурье равен интервалу Т, на котором определена функция f(x). Период второй гармоники ряда Фурье равен интервалу Т/2. И так далее (см. рис. 8).
рис.8 Периоды (частоты) гармонических составляющих ряда Фурье (здесь Т=2π)
Соответственно, частоты гармонических составляющих кратны величине 1/Т. То есть частоты гармонических составляющих Fk равны Fk= к\Т, где к пробегает значения от 0 до ∞, например к=0 F0=0; к=1 F1=1\T; к=2 F2=2\T; к=3 F3=3\T;… Fk= к\Т (при нулевой частоте — постоянная составляющая).
Пусть наша исходная функция, представляет собой сигнал, записанный в течение Т=1 сек. Тогда период первой гармоники будет равен длительности нашего сигнала Т1=Т=1 сек и частота гармоники равна 1 Гц. Период второй гармоники будет равен длительности сигнала, деленной на 2 (Т2=Т/2=0,5 сек) и частота равна 2 Гц. Для третьей гармоники Т3=Т/3 сек и частота равна 3 Гц. И так далее.
Шаг между гармониками в этом случае равен 1 Гц.
Таким образом сигнал длительностью 1 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 1 Гц.
Чтобы увеличить разрешение в 2 раза до 0,5 Гц — надо увеличить длительность измерения в 2 раза — до 2 сек. Сигнал длительностью 10 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 0,1 Гц. Других способов увеличить разрешение по частоте нет.
Существует способ искусственного увеличения длительности сигнала путем добавления нулей к массиву отсчетов. Но реальную разрешающую способность по частоте он не увеличивает.
3. Дискретные сигналы и дискретное преобразование Фурье
С развитием цифровой техники изменились и способы хранения данных измерений (сигналов). Если раньше сигнал мог записываться на магнитофон и храниться на ленте в аналоговом виде, то сейчас сигналы оцифровываются и хранятся в файлах в памяти компьютера в виде набора чисел (отсчетов).
Обычная схема измерения и оцифровки сигнала выглядит следующим образом.
рис.9 Схема измерительного канала
Сигнал с измерительного преобразователя поступает на АЦП в течение периода времени Т. Полученные за время Т отсчеты сигнала (выборка) передаются в компьютер и сохраняются в памяти.
рис.10 Оцифрованный сигнал — N отсчетов полученных за время Т
Какие требования выдвигаются к параметрам оцифровки сигнала? Устройство, преобразующее входной аналоговый сигнал в дискретный код (цифровой сигнал) называется аналого-цифровой преобразователь (АЦП, англ. Analog-to-digital converter, ADC) ( Wiki).
Одним из основных параметров АЦП является максимальная частота дискретизации (или частота семплирования, англ. sample rate) — частота взятия отсчетов непрерывного во времени сигнала при его дискретизации. Измеряется в герцах. (( Wiki))
Согласно теореме Котельникова, если непрерывный сигнал имеет спектр, ограниченный частотой Fмакс, то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым через интервалы времени , т.е. с частотой Fd ≥ 2*Fмакс, где Fd — частота дискретизации; Fмакс — максимальная частота спектра сигнала. Другими слова частота оцифровки сигнала (частота дискретизации АЦП) должна как минимум в 2 раза превышать максимальную частоту сигнала, который мы хотим измерить.
А что будет, если мы будем брать отсчеты с меньшей частотой, чем требуется по теореме Котельникова?
В этом случае возникает эффект «алиасинга» (он же стробоскопический эффект, муаровый эффект), при котором сигнал высокой частоты после оцифровки превращается в сигнал низкой частоты, которого на самом деле не существует. На рис. 11 красная синусоида высокой частоты — это реальный сигнал. Синяя синусоида более низкой частоты — фиктивный сигнал, возникающий вследствие того, за время взятия отсчета успевает пройти больше, чем пол-периода высокочастотного сигнала.
Рис. 11. Появление ложного сигнала низкой частоты при недостаточно высокой частоте дискретизации
Чтобы избежать эффекта алиасинга перед АЦП ставят специальный антиалиасинговый фильтр — ФНЧ (фильтр нижних частот), который пропускает частоты ниже половины частоты дискретизации АЦП, а более высокие частоты зарезает.
Для того, чтобы вычислить спектр сигнала по его дискретным отсчетам используется дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Отметим еще раз, что спектр дискретного сигнала «по определению» ограничен частотой Fмакс, меньшей половине частоты дискретизации Fd. Поэтому спектр дискретного сигнала может быть представлен суммой конечного числа гармоник, в отличие от бесконечной суммы для ряда Фурье непрерывного сигнала, спектр которого может быть неограничен. Согласно теореме Котельникова максимальная частота гармоники должна быть такой, чтобы на нее приходилось как минимум два отсчета, поэтому число гармоник равно половине числа отсчетов дискретного сигнала. То есть если в выборке имеется N отсчетов, то число гармоник в спектре будет равно N/2.
Рассмотрим теперь дискретное преобразование Фурье (ДПФ).
Сравнивая с рядом Фурье
видим, что они совпадают, за исключением того, что время в ДПФ имеет дискретный характер и число гармоник ограничено величиной N/2 — половиной числа отсчетов.
Формулы ДПФ записываются в безразмерных целых переменных k, s, где k – номера отсчетов сигнала, s – номера спектральных составляющих.
Величина s показывает количество полных колебаний гармоники на периоде Т (длительности измерения сигнала). Дискретное преобразование Фурье используется для нахождения амплитуд и фаз гармоник численным методом, т.е. «на компьютере»
Возвращаясь к результатам, полученным в начале. Как уже было сказано выше, при разложении в ряд Фурье непериодической функции (нашего сигнала), полученный ряд Фурье фактически соответствует периодической функции с периодом Т. (рис.12).
рис.12 Периодическая функция f(x) с периодом Т0, с периодом измерения Т>T0
Как видно на рис.12 функция f(x) периодическая с периодом Т0. Однако из-за того, что длительность измерительной выборки Т не совпадает с периодом функции Т0, функция, получаемая как ряд Фурье, имеет разрыв в точке Т. В результате спектр данной функции будет содержать большое количество высокочастотных гармоник. Если бы длительность измерительной выборки Т совпадала с периодом функции Т0, то в полученном после преобразования Фурье спектре присутствовала бы только первая гармоника (синусоида с периодом равным длительности выборки), поскольку функция f(x) представляет собой синусоиду.
Другими словами, программа ДПФ «не знает», что наш сигнал представляет собой «кусок синусоиды», а пытается представить в виде ряда периодическую функцию, которая имеет разрыв из-за нестыковки отдельных кусков синусоиды.
В результате в спектре появляются гармоники, которые должны в сумме изобразить форму функции, включая этот разрыв.
Таким образом, чтобы получить «правильный» спектр сигнала, являющегося суммой нескольких синусоид с разными периодами, необходимо чтобы на периоде измерения сигнала укладывалось целое число периодов каждой синусоиды. На практике это условие можно выполнить при достаточно большой длительности измерения сигнала.
Рис.13 Пример функции и спектра сигнала кинематической погрешности редуктора
При меньшей длительности картина будет выглядеть «хуже»:
Рис.14 Пример функции и спектра сигнала вибрации ротора
На практике бывает сложно понять, где «реальные составляющие», а где «артефакты», вызванные некратностью периодов составляющих и длительности выборки сигнала или «скачками и разрывами» формы сигнала. Конечно слова «реальные составляющие» и «артефакты» не зря взяты в кавычки. Наличие на графике спектра множества гармоник не означает, что наш сигнал в реальности из них «состоит». Это все равно что считать, будто число 7 «состоит» из чисел 3 и 4. Число 7 можно представить в виде суммы чисел 3 и 4 — это правильно.
Так и наш сигнал… а вернее даже не «наш сигнал», а периодическую функцию, составленную путем повторения нашего сигнала (выборки) можно представить в виде суммы гармоник (синусоид) с определенными амплитудами и фазами. Но во многих важных для практики случаях (см. рисунки выше) действительно можно связать полученные в спектре гармоники и с реальными процессами, имеющими циклический характер и вносящими значительный вклад в форму сигнала.
Некоторые итоги
1. Реальный измеренный сигнал, длительностью T сек, оцифрованный АЦП, то есть представленный набором дискретных отсчетов (N штук), имеет дискретный непериодический спектр, представленный набором гармоник (N/2 штук).
2. Сигнал представлен набором действительных значений и его спектр представлен набором действительных значений. Частоты гармоник положительны. То, что математикам бывает удобнее представить спектр в комплексной форме с использованием отрицательных частот не значит, что «так правильно» и «так всегда надо делать».
3. Сигнал, измеренный на отрезке времени Т определен только на отрезке времени Т. Что было до того, как мы начали измерять сигнал, и что будет после того — науке это неизвестно. И в нашем случае — неинтересно. ДПФ ограниченного во времени сигнала дает его «настоящий» спектр, в том смысле, что при определенных условиях позволяет вычислить амплитуду и частоту его составляющих.
Использованные материалы и другие полезные материалы.