Что такое спираль архимеда

Что такое спираль архимеда

Стороны квадратов в «золотом прямоугольнике» равны соответственно числам Фибоначчи 1 1 2 3

Стороны квадратов в «золотом треугольнике» равны соответственно числам Фибоначчи 1 1 2 3 5 8 13

Леонардо Пизанский (Leonardo Pisano), Фибоначчи (Fibonacci) — итальянский математик (1180-1240). Родился в Пизе. Он долгое время жил на Востоке, где познакомился с математикой арабов. Достижения арабских математиков Фибоначчи продвигал в Западную Европу:

· В 1202 г. Леонардо написал труд под названием «Книга абака» (Liber Abaci). «Книга абака» стала первой математической энциклопедией средневековья, сыгравшей существенную роль в развитии математики в Европе.

· Самым главным трудом Леонардо считается Liber Abaci (1202).
В «Книге абака» Леонардо сформулировал задачу о кроликах:

«Человек посадил пару кроликов в загон, окруженный со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару? «

· В 1220 г. Фибоначчи издал сочинение: «Практика геометрии» (Practica geometria).

Фибоначчи решил множество сложных математических и практических проблем, опередив на столетия развитие науки. Е го идеи легли в основу огромного множества исследований, которыми занимается современная математическая наука.

Фибоначчи занимался проблемами торговли и решал практические задачи, например: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказал, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16.

Источник

В Архимедова спираль (также известный как арифметическая спираль) это спираль назван в честь III века до нашей эры Греческий математик Архимед. Это локус точек, соответствующих местоположениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловая скорость. Эквивалентно в полярные координаты (р, θ) его можно описать уравнением

Таким образом, из приведенного выше уравнения можно утверждать: положение частицы от начальной точки пропорционально углу θ по прошествии времени.

Архимед описал такую ​​спираль в своей книге. На спиралях. Конон Самосский был его другом и Паппус заявляет, что эта спираль была открыта Кононом. [1]

Содержание

Вывод общего уравнения спирали.

А физический подход используется ниже для понимания понятия спиралей Архимеда.

Приведенные выше уравнения можно интегрировать, применяя интеграция по частям, что приводит к следующим параметрическим уравнениям:

Возведение двух уравнений в квадрат с последующим сложением (и некоторыми небольшими изменениями) приводит к декартову уравнению

(используя тот факт, что ωt = θ и θ = arctan у / Икс ) или же

Его полярная форма

Характеристики

Архимедова спираль обладает тем свойством, что любой луч из начала координат пересекает последовательные повороты спирали в точках с постоянным разделительным расстоянием (равным 2πb если θ измеряется в радианы), отсюда и название «арифметическая спираль». В отличие от этого, в логарифмическая спираль эти расстояния, а также расстояния до точек пересечения, измеренные от начала координат, образуют геометрическая прогрессия.

Для больших θ точка движется с хорошо приближенным равномерным ускорением по спирали Архимеда, в то время как спираль соответствует положениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловой скоростью [2] (см. вклад Михаила Гайченкова).

Общая архимедова спираль

Иногда термин Архимедова спираль используется для более общей группы спиралей

Приложения

Один метод квадрат круга, согласно Архимеду, использует спираль Архимеда. Архимед также показал, как можно использовать спираль для разрезать угол. Оба подхода ослабляют традиционные ограничения на использование линейки и циркуля в древнегреческих геометрических доказательствах. [3]

Код для создания спирали Архимеда

Следующее р код создает первый график выше.

Источник

Математика, которая мне нравится

Математика для школьников и студентов, обучение и образование

Архимедова спираль

История спирали Архимеда

Архимедова спираль была открыта (правильно, Вы угадали!) Архимедом. Это произошло в III веке до н.э., когда он экспериментировал с компасом. Он тянул стрелку компаса с постоянной скоростью, вращая сам компас по часовой стрелке. Получившаяся кривая была спиралью, которая сдвигались на ту же величину, на которую поворачивался компас, и между витками спирали сохранялось одно и то же расстояние.

Использование архимедовой спирали в древности

Архимедову спираль использовали как наилучший способ определения площади круга. С ее помощью был улучшен древний греческий метод нахождения площади круга через измерение длины окружности. Спираль дала возможность более точного измерения длины окружности, а следовательно, и площади круга. Однако вскоре, когда Архимед попытался вычислить более точно значение , которое упрощало нахождение площади круга, было доказано, что спираль для этого не подходит.

Что такое обобщенная Архимедова спираль?

Обобщенная Архимедова спираль определяется как кривая, которая задается в полярных координатах уравнением (далее положим ). Спираль Архимеда, в частности, принадлежит множеству обобщенных Архимедовых спиралей.

Lituus – загнутый авгурский посох, жезл.

Общий вид в полярных координатах:

Спираль Архимеда:

Гиперболическая спираль:

Спираль Ферма:

Литуус:

Параметризация спирали Архимеда

Начнем с уравнения спирали .

Воспользуемся теоремой Пифагора

– радиус окружности).

Также нам понадобятся формулы

Возведем уравнение спирали в квадрат:

Теперь аналогично выразим :

Источник

Архимедова спираль

Таким образом, из приведенного выше уравнения можно утверждать: положение частицы от точки старта пропорционально углу θ с течением времени.

Ниже используется физический подход для понимания понятия спиралей Архимеда.

Возведение двух уравнений в квадрат с последующим сложением (и некоторыми небольшими изменениями) приводит к декартову уравнению

(используя тот факт, что ωt = θ и θ = arctg у / Икс ) или же

Его полярная форма

Учитывая параметризацию в декартовых координатах

длина дуги между θ 1 <\ displaystyle \ theta _ <1>> к θ 2 <\ displaystyle \ theta _ <2>> является

Кривизна определяется выражением

Для больших θ точка движется с хорошо аппроксимированным равномерным ускорением по спирали Архимеда, в то время как спираль соответствует положениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловой скоростью [2] (см. вклад Михаила Гайченкова).

Иногда термин спираль Архимеда используется для более общей группы спиралей.

Источник

В Архимедова спираль (также известный как арифметическая спираль) это спираль назван в честь III века до нашей эры Греческий математик Архимед. Это локус точек, соответствующих местоположениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловая скорость. Эквивалентно в полярные координаты (р, θ) его можно описать уравнением

Таким образом, из приведенного выше уравнения можно утверждать: положение частицы от начальной точки пропорционально углу θ по прошествии времени.

Архимед описал такую ​​спираль в своей книге. На спиралях. Конон Самосский был его другом и Паппус заявляет, что эта спираль была открыта Кононом. [1]

Содержание

Вывод общего уравнения спирали.

А физический подход используется ниже для понимания понятия спиралей Архимеда.

Приведенные выше уравнения можно интегрировать, применяя интеграция по частям, что приводит к следующим параметрическим уравнениям:

Возведение двух уравнений в квадрат с последующим сложением (и некоторыми небольшими изменениями) приводит к декартову уравнению

(используя тот факт, что ωt = θ и θ = arctan у / Икс ) или же

Его полярная форма

Характеристики

Архимедова спираль обладает тем свойством, что любой луч из начала координат пересекает последовательные повороты спирали в точках с постоянным разделительным расстоянием (равным 2πb если θ измеряется в радианы), отсюда и название «арифметическая спираль». В отличие от этого, в логарифмическая спираль эти расстояния, а также расстояния до точек пересечения, измеренные от начала координат, образуют геометрическая прогрессия.

Для больших θ точка движется с хорошо приближенным равномерным ускорением по спирали Архимеда, в то время как спираль соответствует положениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловой скоростью [2] (см. вклад Михаила Гайченкова).

Общая архимедова спираль

Иногда термин Архимедова спираль используется для более общей группы спиралей

Приложения

Один метод квадрат круга, согласно Архимеду, использует спираль Архимеда. Архимед также показал, как можно использовать спираль для разрезать угол. Оба подхода ослабляют традиционные ограничения на использование линейки и циркуля в древнегреческих геометрических доказательствах. [3]

Код для создания спирали Архимеда

Следующее р код создает первый график выше.

Источник