Что такое стандартный квантовый предел
Стандартный квантовый предел
| Эксперименты |
|---|
| Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона |
| Формулировки |
|---|
| Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана |
| Уравнения |
|---|
| Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга |
| Интерпретации |
|---|
| Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая |
| Развитие теории |
|---|
| Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация |
| Сложные темы |
|---|
| Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего |
| Известные учёные |
|---|
| Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт |
Примером стандартного квантового предела является квантовый предел измерения координаты свободной массы или механического осциллятора. Измерим в некоторый начальный момент времени координату объекта с некоторой точностью 
. При этом в процессе измерения телу будет передан случайный импульс (обратное флуктуационное влияние) 
. И чем точнее измеряется координата, тем больше возмущение импульса. В частности, если измерение координаты производится оптическими методами по сдвигу фаз отраженной от тела волны, то возмущение импульса будет вызвано квантовыми дробовыми флуктуациями давления света на тело. Чем точнее требуется измерить координату, тем больше требуемая оптическая мощность, и тем больше квантовые флуктуации числа фотонов в падающей волне.
Согласно соотношению неопределенностей возмущение импульса тела:
где 
— приведённая постоянная Планка. Это изменение импульса и связанное с ним изменение скорости свободной массы приведет к тому, что при повторном измерении координаты через время 
она дополнительно изменится на величину.
Результирующая среднеквадратичная ошибка определяется соотношением:
Это выражение имеет минимальное значение, если
При этом достигается среднеквадратичная точность измерения, которая и называется стандартным квантовым пределом для координаты.
Зависимость добавленных флуктуаций координаты от измерений в предыдущие моменты времени и означает, что оператор координаты в разные моменты времени не коммутирует сам с собой. Если вместо координаты свободной массы измерять ее импульс, то это не приведет к изменению импульса в последующие моменты времени. Поэтому импульс, который является сохраняющейся величиной для свободной массы (но не для осциллятора) можно измерять сколь угодно точно. Такие измерения называются квантово-невозмущающими.
Другим способом обхода стандартного квантового предела является использование в оптических измерениях неклассических сжатых состояний поля и вариационных измерений.
СКП ограничивает разрешение лазерных гравитационных антенн LIGO. В настоящее время в ряде физических экспериментов с механическими микро и наноосцилляторами достигнута точность измерения координаты, соответствующая стандартному квантовому пределу.
Стандартный квантовый предел для координаты механического осциллятора определяется соотношением:
где 
— частота механических колебаний.
Стандартный квантовый предел для энергии осциллятора:
где 
— средняя энергия осциллятора.
Далеко ли до предела?
Полвека назад было предсказано явление, лежащее в основе современной квантовой физики
В октябре 2017 года исполняется ровно 50 лет со дня публикации классической статьи Владимира Брагинского, в которой впервые было описано понятие стандартного квантового предела. Это исследование стало одним из столпов современной квантовой физики — без него были бы невозможны гравитационные детекторы и открытие гравитационных волн. Мы попросили Фарита Халили, профессора МГУ, сотрудника Российского квантового центра и участника коллаборации LIGO, лауреата премии Breakthrough Prize, рассказать о том, что такое стандартный квантовый предел и можно ли его преодолеть.
Статья Владимира Борисовича Брагинского «Классические и квантовые ограничения при обнаружении слабых воздействий на макроскопический осциллятор» (.pdf) вышла в Журнале экспериментальной и теоретической физики (53, 1434—1441) в 1967 году.
Владимир Борисович Брагинский
N + 1: Можете рассказать о предыстории понятия?
Фарит Халили: Сам термин «стандартный квантовый предел» появился позже статьи Брагинского. По-видимому, его впервые использовал в 1980 году в одной из статей сегодняшний нобелевский лауреат Кип Торн. Но само это понятие, формулу для расчета этого предела вывел именно Брагинский в этой статье 1967 года.
Чтобы объяснить на пальцах, что такое стандартный квантовый предел, достаточно вспомнить физику средней школы, а именно принцип неопределенности Гейзенберга. Из него следует, что вы не можете одновременно точно измерить с одинаковой точностью и координату, и скорость объекта.
Предположим, для измерения координаты вы пускаете в объект световой квант, но из-за дифракции точность этого измерения ограничена длиной волны этого кванта. Иначе говоря, с помощью одного кванта вы не можете измерить расстояние точнее, чем длина волны этого кванта. Выход заключается в том, чтобы уменьшать длину волны — переходить от видимого света к ультрафиолету, к рентгену, к гамма-излучению, и тогда, действительно, вы получите более точный результат. Но чем меньше длина волны, тем выше энергия кванта и тем сильнее он воздействует на сам объект измерения. Это называется обратное флуктуационное влияние прибора. Излучение «пинает» объект в момент измерения и меняет его импульс. В результате возникает неустранимая ошибка измерения координат и скорости.
Строгости ради можно отметить, что для повышения точности измерения не обязательно требуется очень коротковолновый квант; взамен вполне можно использовать большое число «обычных» оптических, что собственно и делается в детекторах гравитационных волн. Однако обратное флуктуационное влияние прибора также растет с ростом числа квантов, так что общая логика принципа неопределенности сохраняется.
Для измерения силы необходимо по крайней мере два раза измерить координату, чтобы понять, как сила действовала. Тогда у вас все усложняется — вы не можете точно сказать: этот сдвиг из-за воздействия вашего луча-измерителя или дело в той силе, которую вы измеряете.
Поэтому необходимо найти баланс — у вас должна быть оптимальная точность измерения координаты, не выше и не ниже, которой соответствует некоторая оптимальная чувствительность к силе. И эта оптимальная чувствительность к силе и является стандартным квантовым пределом. И формула в статье Брагинского как раз и задает эту оптимальную чувствительность.
Иначе говоря, если принимать во внимание только принцип неопределенности, то вам могут сказать: пусть там скорость не точно измеряется, но я хочу измерить координату, и вот я ее измеряю. Но Брагинского интересовала задача измерения именно силы, и его мысль состояла в том, что должен быть баланс, нельзя бесконечно увеличивать энергию кванта, потому что это возмущение помешает вам же, вы выстрелите себе в ногу.
Кроме того, он понял, что в этот предел можно упереться и при тех точностях измерения, которые нужны, скажем, при измерении гравитационных волн, — не обязательно лезть в микромир за этим пределом. Если вы хотите с такой точностью, какая нужна для детектора гравитационных волн, измерять состояние вашего объекта, вы упретесь в этот предел. И он реален.
Одно из зеркал обсерватории LIGO
Мы уже уперлись в этот предел?
Сейчас у LIGO масса зеркал 40 килограмм, и, тем не менее, точность измерений уже очень близка к стандартному квантовому пределу, всего лишь примерно в три раза ниже его. Детекторы Advanced LIGO еще не работают на полной мощности, а когда они заработают (я надеюсь, в будущем году это произойдет), чувствительность уже непосредственно упрется в этот предел.
Помимо квантовых шумов, чувствительность детекторов гравитационных волн ограничивается также множеством шумов другого происхождения. В частности, на низких частотах большую роль играют тепловые шумы подвесов зеркал.
Но есть другая идея, тоже принадлежащая Брагинскому, которая состоит в том, что для снижения уровня шума необязательно сильно снижать температуру, достаточно сделать большое время релаксации. Это характерное время, за которое термостат обменивается энергией с вашим объектом. Если вы это время делаете бесконечным, то у вас останутся тепловые колебания. Но эти колебания превратятся уже не в шум, а просто в колебания, которые можно померить, отследить и вычесть — как в классической механике, где вы легко можете сделать поправку на внешнее влияние маятника, который колеблется по какому-то строгому закону.
Если, например, придет гравитационный сигнал, я увижу, что эти синусоидальные колебания у меня нарушились, стали другие, и я смогу просто заранее их вычесть.
А как увеличить время релаксации?
С этим была целая история: нужно сделать очень хороший маятник. В LIGO на первоначальной стадии эти зеркала вешались на стальных нитях — таких, как рояльные струны. При переходе к Advanced LIGO стальные нити заменили на кварцевые, у которых потери энергии гораздо меньше, и поэтому время релаксации возросло до нескольких лет. Если вы посмотрите на уровни шума этого подвеса, то увидите, что шум подвеса круто идет вниз по частотам и практически не влияет на рабочие частоты, где мы слушаем гравитационные волны. Причем разработка этого подвеса на кварцевых нитях — заслуга нашей московской группы. Первый демонстрационный образец был сделан у нас, в МГУ.
Еще один важный источник шума — это тепловые шумы в самих зеркалах. Нас часто спрашивают на научно-популярных лекциях: как вы фиксируете смещения зеркал на расстояния в тысячи раз меньше диаметра протона, если у вас есть броуновское движение атомов в самом зеркале с намного большей амплитудой? Чтобы преодолеть этот шум, делается большое световое пятно на зеркале, сейчас его радиус примерно шесть сантиметров, чтобы захватить как можно большее пятно и как можно больше усреднить эти броуновские колебания.
Броуновское движение этих атомов, конечно, гораздо больше гравитационного сигнала. Но они все болтаются в противофазе, независимо друг от друга. И поэтому в среднем, по большому пятну, эти флуктуации оказываются сильно подавлены. А даже очень слабый сигнал влияет на все атомы одинаково.
А как далеко от стандартного квантового предела чувствительность LIGO?
Сейчас чувствительность примерно в три раза хуже, но идет работа, которая позволит сделать этот коэффициент равным единице. Когда проектировался Advanced LIGO, в 2000 году, авторы боялись закладывать какие-то методы преодоления стандартного квантового предела. И все было так рассчитано, чтобы чувствительность «уперлась» в него. И это произойдет через год-два. И тогда просто будет соответствовать стандартному квантовому пределу.
А можно ли его преодолеть?
Люди довольно быстро сообразили, что стандартный квантовый предел, в общем, преодолим. Если делать немножко более хитрую систему измерений, то его можно преодолеть. Логика в том (если, опять же, вернуться к идеологии Вернера Гейзенберга), чтобы сделать немножко антикоррелированными тот шум, который является ошибкой измерений, и тот шум, который связан с обратным влиянием, с возмущением. И тогда, когда они складываются, они будут фактически отчасти вычитаться друг из друга. И тогда можно преодолеть стандартный квантовый предел.
Эти идеи уже достаточно хорошо развиты в некие практические схемы, которые активно сейчас обсуждаются для гравитационных детекторов будущих поколений.
Можно ли это сделать на LIGO, нужно будет там существенно все перестраивать?
Сейчас там идет бурная деятельность, физики пытаются исхитриться и сделать так, чтобы обойтись без радикальной перестройки, а только какими-то небольшими внешними элементами. Переделывать придется, безусловно, но переделки должны быть минимальными и относительно простыми. Сейчас над этим активно работает несколько научных групп, включая и нашу группу в МГУ.
Квантовый предел в физике ограничение на точность измерения в квантовых масштабах. В зависимости от контекста предел может быть абсолютным (например, предел Гейзенберга ), или он может применяться только тогда, когда эксперимент проводится с естественными квантовыми состояниями (например, стандартный квантовый предел в интерферометрии), и его можно обойти с помощью расширенной подготовки состояний. и схемы измерения.
Содержание
Примеры
Измерение смещения
Отраженные импульсы регистрируются фазочувствительным устройством (фазовым детектором). Реализация оптического фазового детектора может быть осуществлена с использованием, например, гомодинной или гетеродинной схемы обнаружения (см. Раздел 2.3 и ссылки в нем) или других подобных методов считывания.
Для удобства перенормируем уравнение. ( 1 ) как эквивалентное смещение испытательной массы:
являются независимыми случайными величинами со среднеквадратичной неопределенностью, заданной формулой. ( 2 ).
При отражении каждый световой импульс толкает тестовую массу, передавая ей импульс обратного действия, равный
со средней энергией импульсов. Следовательно, этим эффектом можно пренебречь, поскольку его можно либо вычесть из результата измерения, либо компенсировать с помощью исполнительного механизма. Случайная часть, которую нельзя компенсировать, пропорциональна отклонению энергии импульса: W <\ displaystyle <\ mathcal 
а его среднеквадратичная погрешность равна
со среднеквадратичной неопределенностью энергии импульса. Δ W <\ displaystyle \ Delta <\ mathcal
Его неопределенность будет просто
Теперь, какова минимальная эта сумма и какова минимальная ошибка, которую можно получить в этой простой оценке? Ответ следует из квантовой механики, если мы вспомним, что энергия и фаза каждого импульса являются канонически сопряженными наблюдаемыми величинами и, таким образом, подчиняются следующему соотношению неопределенности:
который известен как стандартный квантовый предел для измерения смещения свободной массы.
Использование в квантовой оптике
В спектроскопии самая короткая длина волны в рентгеновском спектре называется квантовым пределом.
Вводящее в заблуждение отношение к классическому пределу
Стандартный квантовый предел
Примером стандартного квантового предела является квантовый предел измерения координаты свободной массы или механического осциллятора. Оператор координаты в разные моменты времени не коммутирует сам с собой из-за того, что существует зависимость добавленных флуктуаций координаты от измерений в предыдущие моменты времени.
Если вместо координаты свободной массы измерять её импульс, то это не приведёт к изменению импульса в последующие моменты времени. Поэтому импульс, который является сохраняющейся величиной для свободной массы (но не для осциллятора), можно измерять сколь угодно точно. Такие измерения называются квантово-невозмущающими. Другим способом обхода стандартного квантового предела является использование в оптических измерениях неклассических сжатых состояний поля и вариационных измерений.
СКП ограничивает разрешение лазерных гравитационных антенн LIGO. В настоящее время в ряде физических экспериментов с механическими микро- и наноосцилляторами достигнута точность измерения координаты, соответствующая стандартному квантовому пределу.
Связанные понятия
В квантовой механике импульс, как и все другие наблюдаемые физические величины, определяется как оператор, который действует на волновую функцию.
При рассмотрении сложного движения (когда точка или тело движется в одной системе отсчёта, а эта система отсчёта в свою очередь движется относительно другой системы) возникает вопрос о связи скоростей в двух системах отсчёта.
Фотоны, которые мигрируют в биологических тканях могут быть описаны при помощи численного моделирования методом Монте Карло или аналитическим уравнением переноса излучения (УПИ). Однако, УПИ трудно решается без применения упрощений (приближений). Стандартным методом упрощения УПИ является диффузионное приближение. Общее решение уравнения диффузии для фотонов получается быстрее, но менее точно чем методом Монте Карло.
Главным образом, интерес к вопросу распространения волн в случайно-неоднородных средах (какой является, например, атмосфера) можно объяснить бурным развитием спутниковых технологий. В этом случае становится важной задача расчета характеристик (например, амплитуды) волны прошедшей через среду и установления их связей с параметром неоднородности среды. Важную роль здесь и играет функция Грина для случайно-неоднородной среды, зная которую можно определить эти характеристики. Рассматривается прохождение.
Эта статья — об энергетическом спектре квантовой системы. О распределении частиц по энергиям в излучении см. Спектр, Спектр излучения. Об энергетическом спектре сигнала см. Спектральная плотность.Энергетический спектр — набор возможных энергетических уровней квантовой системы.
Комплекс задач о взаимодействии многих тел достаточно обширный и является одним из базовых, далеко не полностью разрешённых, разделов механики. В рамках ньютоновской концепции проблема ветвится на.
Квантовый предел
Квантовый предел в физике ограничение на точность измерения в квантовых масштабах. [1] В зависимости от контекста, предел может быть абсолютным (например, предел Гейзенберга ), или он может применяться только тогда, когда эксперимент проводится с естественными квантовыми состояниями (например, стандартный квантовый предел в интерферометрии), и его можно обойти с помощью современные схемы государственной подготовки и измерений.
Измерение смещения
Отраженные импульсы регистрируются фазочувствительным устройством (фазовым детектором). Реализация оптического фазового детектора может быть выполнена с использованием, например, гомодинной или гетеродинной схемы обнаружения (см. Раздел 2.3 в [2] и ссылки в ней) или других подобных методов считывания.
Для удобства перенормируем уравнение. ( 1 ) как эквивалентное смещение испытательной массы:
являются независимыми случайными величинами с неопределенностями RMS, заданными формулой. ( 2 ).
При отражении каждый световой импульс толкает тестовую массу, передавая ей импульс обратного действия, равный
а его среднеквадратичная погрешность равна
Его неопределенность будет просто
где мы предположили, что все вклады в нашу неопределенность измерений статистически независимы, и, таким образом, получили суммарную неопределенность путем суммирования стандартных отклонений. Если мы далее предположим, что все световые импульсы подобны и имеют одинаковую фазовую неопределенность, следовательно, Δ Икс м е а s ( т j + 1 ) знак равно Δ Икс м е а s ( т j ) ≡ Δ Икс м е а s знак равно Δ ϕ / ( 2 k п ) <\ Displaystyle \ Delta x _ <\ rm
)> .
Теперь, какова минимальная эта сумма и какова минимальная ошибка, которую можно получить в этой простой оценке? Ответ следует из квантовой механики, если мы вспомним, что энергия и фаза каждого импульса являются канонически сопряженными наблюдаемыми величинами и, таким образом, подчиняются следующему соотношению неопределенности:
который известен как стандартный квантовый предел для измерения смещения свободной массы.
Использование в квантовой оптике
В спектроскопии самая короткая длина волны в рентгеновском спектре называется квантовым пределом. [5]