Что такое статистический момент

6.1. Статический момент площади сечения

6.1. СТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ

Статический момент площади – распространенная на всю площадь сумма произведений элементарных площадок dA на расстояние от них до этой оси Это понятие аналогично моменту силы относительно оси. Если предположить, что А – вес пластины, имеющей форму нашего сечения, то статический момент Sz – это момент силы тяжести пластины относительно оси z. Размерность: единицы длины в третьей степени (см3; м3). Знаки: плюс, ноль и минус. Ось центральная – ось, относительно которой статический момент площади равен нулю. Центр тяжести сечения – точка пересечения центральных осей. Если фигура имеет ось симметрии, то эта ось является центральной. Статический момент составного сечения равен сумме статических моментов элементов этого сечения. Это следует из свойства определенного интеграла, который можно вычислять по частям – свойство аддитивности (от англ. add – прибавлять, присоединять, складывать). При известных статических Рис. 6.2. Связь знака статического момента площади с его положением в координатной системе моментах частей сечения можно найти координаты центра тяжести состав- ной фигуры: Пример 6.1. Определить положение центральных осей, параллельных основанию и высоте фигуры. Решение Разбиваем сложную фигуру на две простые, в конкретном примере – на два прямоугольника. Их центры тяжести расположены посредине высоты и посредине ширины. Координаты центров тяжести и площади простых фигур Статические моменты площадей простых фигур Координаты центра тяжести составной фигуры Через найденную точку проводим центральные оси zC и yC, параллельные основанию фигуры и ее высоте. Примечание. Центр тяжести фигуры, составленной из двух частей, лежит на линии, соединяющей центры тяжести простых фигур ее составляющих, причем расстояния до них обратно пропорциональны площадям простых фигур. Если сложная фигура составлена из нескольких простых, то общий центр тяжести находится внутри многоугольника, вершинами которого являются центры тяжести простых фигур.

Источник

СОПРОМАТ ОН-ЛАЙН

Меню сайта

Программы по сопромату (построение эпюр, различные калькуляторы, шпоры и другое).

Базовый курс лекций по сопромату, теория, практика, задачи.

1. Геометрические характеристики сечений.

1.1. Статический момент сечения.

При дальнейшем изучении вопросов прочности, жесткости и устойчивости нам придется иметь дело с некоторыми геометрическими характеристиками сечения: статическими моментами, моментами инерции, моментами сопротивления.

Статическим моментом Sx сечения (фигуры) относительно какой-либо оси х (рис.1.1) называется геометрическая характеристика, определяемая интегралом вида

(1.1)

Единицей измерения статического момента является единица длины в третьей степени, обычно см 3 (см в третьей степени). Статический момент может быть положительным, отрицательным и, в частности, равным нулю. Если отождествить площадь с силой, действующей перпендикулярно плоскости чертежа, то интеграл (4.1) можно рассматривать как сумму моментов сил относительно оси х. По известной из теоретической механике теореме о моменте равнодействующей можно написать

(1.2)

Из формулы (1.2) следует формула определения ординаты центра тяжести

Аналогично, статический момент относительно оси у равен

(1.4)

Центр тяжести обладает тем свойством, что если тело опереть в этой точке, то оно будет находиться в равновесии.

Из формулы (1.2) и (1.4) следует, что если оси х и у проходят через центр тяжести фигуры, то статический момент относительно этих осей равен нулю. Такие оси называются центральными осями.

Если фигуру можно представить в виде отдельных простых фигур (квадратов, треугольников и т.д.), для которых известны положения центров тяжести, то в этом случае статический момент всей фигуры можно получить как сумму статических моментов этих простых фигурю Это непостредственно следует из свойств определенного интеграла.

Если фигура имеент ось симметрии, то последняя всегда проходит через центр тяжести фигуры, а потому статический момент фигуры относительно оси симметрии всегда равен нулю.

Во многих случаях вместо простых интегралов вида (1.1) и (1.4) удобнее иметь дело с двойными интегралами вида:

(1.1a)

(1.4a)

Пример 1.1. Определить положение центра тяжести сечения, показанного на рис. 1.2, а.

Решение. Разбиваем сечение на два прямоугольника. Проводим вспомогательные оси х и у.

По формулам (1.3) и (1.5) получим:

Пример 1.2. Вычислить ординату центра тяжести половины круга (рис. 1.2, б).

Решение. Пользуемся формулой

Вычисляем числитель, используя уравнение окружности х 2 + y 2 = R 2 :

Полезные ссылки

Источник

Статические моменты и координаты центра тяжести

Вычисление статических моментов и координат центра тяжести кривой

Если же эти точки расположены по разные стороны от оси, то для точек, находящихся по одну сторону оси, расстояния берутся положительными, а для точек по другую сторону от оси — отрицательными.

Поэтому если точки расположены на координатной плоскости,

Так как на отрезке выполняется неравенство

Как формула (1), так и формула (2) верны и в случае, когда кривая пересекает оси координат.

в) Введем понятие центра тяжести.

Обозначим через и расстояния центра тяжести кривой от осей ординат и абсцисс.

Тогда, пользуясь определением центра тяжести кривой, получим:

Замечание. Если кривая расположена симметрично относительно некоторой прямой, то центр тяжести такой кривой находится на этой прямой.

Это замечание позволяет в некоторых случаях упростить нахождение координат центра тяжести плоской кривой.

Пример 1. Найти статический момент полуокружности относительно диаметра.

Вычисление проще провести, перейдя к параметрическим уравнениям окружности. Так как ее радиус равен двум, то для четверти окружности имеем:

Отсюда находим, что и

Вычисление статических моментов и координат центров тяжести плоских фигур

(части фигуры, расположенные ниже оси абсцисс, дают отрицательный вклад в ).

Пример 3. Найти статический момент (относительно оси ) фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды:

Источник

Моменты распределения

Дисперсия: способы ее расчета, виды дисперсии, правило сложения дисперсии.

Дисперсия обладает рядом математических свойств, позволяющих упростить ее расчет.

Первое свойство заключается в том, что если из всех вариант вычесть какое-то постоянное число, то дисперсия от этого не изменится. Оно позволяет рассчитывать дисперсию не по отклонениям вариант от средней (часто имеющей дробное значение), а по отклонениям от целого числа. Второе свойство позволяет все варианты разделить на какое-то постоянное число, например на значение интервала, и исчислить дисперсию уменьшенных вариант, а полученную величину умножить на квадрат этого числа.

, .

где: s 2 _x – дисперсия отклонений вариантов от средней арифметической;

– дисперсия отклонений вариантов от произвольной величины А.

1. На этих свойствах основан расчет дисперсии способом отсчета от условного нуля или способ моментов, который заключается в нахождении вариант, уменьшенных на условно постоянную величину А и в k раз, где k – интервал, т.е. х₁=(х – А)/k, и последующем расчете дисперсии по формуле:

способ отсчета от условного нуля: ;

способ моментов: , где

условный момент первого порядка: ;

условный момент второго порядка: ,

2. Дисперсия равна среднему квадрату значений признака за вычетом квадрата среднего значения признака:

Расчеты дисперсии различными способами дают одинаковые результаты, что позволяет исследователю выбрать наиболее эффективный способ.

В ряде случаев изучают не среднюю величину признака, а долю единиц, обладающих тем или иным признаком. Например, доля междугородных телефонных соединений (разговоров), предоставленных с ожиданием до 1 часа. Это примеры альтернативных вариаций, когда имеются лишь два взаимоисключающих варианта: наличие или отсутствие признака у данной единицы совокупности (1 наличие признака, 0 отсутствие). В таких случаях определяется дисперсия альтернативного признака. Пусть доля единиц, обладающих данным признаком, равна р, а доля единиц, не обладающих этим признаком, 1–р, тогда

Естественно, средняя постоянная величины р есть сама эта величина, а дисперсия равна:

Средняя и дисперсия это частные случаи более широкого понятия обобщающих характеристик любого распределения моментов.

Момент распределения – это средняя арифметическая тех или иных степеней отклонений вариантов х от некоторой постоянной величины А:

m_z = .

Порядок момента определяется величиной z, т.е. степенью, в которую возводится отклонение вариант. В зависимости от принятой величины А различают три вида моментов:

начальные (при А=0): ; центральные (при А=): ;

условные (при А≠0, А≠): .

Начальный момент первого порядка представляет собой среднюю арифметическую: ;

центральный момент второго порядка – дисперсию: . Центральный момент первого порядка m₁ всегда равен нулю (сумма отклонений вариант от средней равна нулю); центральный момент третьего порядка равен нулю в симметричном распределении.

Условные моменты самостоятельного значения не имеют, ими пользуются для упрощения вычисления центральных моментов: m₂ = m₂ – m 2 ₁; m₃ = m₃ – 3m₁ m₂ + 2m 3 ₁; m₄ = m₄ – 4m₃ m₁ + 6m₂ m 2 ₁ – 3 m 4 ₁.

Для исчисления условных моментов используется условная величина:

; ; ; ; где

В этом случае центральные моменты корректируются на величину k z :

Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом часто возникает необходимость проследить количественные изменения признака по группам, на которые разбита вся совокупность, а также и между группами. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных дисперсий: общей, межгрупповой, внутригрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловливающих эту вариацию:

.

Межгрупповая дисперсияхарактеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки:

, где

— соответственно средние и численности по отдельным группам,

— средняя всей совокупности.

Внутригрупповая дисперсияотражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основу группировки:

, где

— варианты групп, — численность группы, — средняя группы

Средняя из внутригрупповых дисперсийопределяется по формуле:

.

Общая дисперсия определяется как сумма средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дисперсии:

.

Данная сумма называется правилом сложения дисперсий.

Согласно этому правилу общая дисперсия, возникающая под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, возникающих под влиянием прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет группировочного признака.

На основании правила сложения дисперсий можно определить показатель тесноты связи между группировочным (факторным) и результирующим признаками. Он называется эмпирическим корреляционным отношением и рассчитывается как корень квадратный из отношения межгрупповой дисперсии к общей дисперсии:

.

Отношения межгрупповой дисперсии к общей дисперсии называется эмпирическим коэффициентом детерминациии показывает долю группировочного признака в общей вариации:

.

Источник

СТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ

К ст. Статический момент

Смотреть что такое «СТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ» в других словарях:

статический момент — statinis momentas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. static moment vok. statisches Moment, n rus. статический момент, m pranc. moment statique, m … Fizikos terminų žodynas

Статический момент вибро­возбудителя — – произведение неуравновешенной массы дебаланса на расстояние от ее центра тяжести до оси вращения. [Терминологический словарь по бетону и железобетону. ФГУП «НИЦ «Строительство» НИИЖБ им. А. А. Гвоздева, Москва, 2007 г. 110 стр.] Рубрика… … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов

Статический момент лопасти несущего винта относительно горизонтального и вертикального шарниров — 26. Статический момент лопасти несущего винта относительно горизонтального и вертикального шарниров Статический момент лопасти Статический момент лопасти несущего винта и других агрегатов, совершающих вместе с лопастью маховое движение: Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

полезный статический момент-сила — 3 полезный статический момент сила: Значение отнесенного к элементу приведения момента силы, определяемого полезной нагрузкой исполнительного органа рабочей машины Источник: ГОСТ Р 50369 92: Электроприводы. Термины и определения оригинал… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Момент инерции — (Moment d inertie, Trägheitsmoment, Moment of inertia) понятие это введено в науку Эйлером, хотя уже Гюйгенс раньше пользовался выражением того же рода, не давая ему особого названия: один из путей, приводящий к его определению, следующий.… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Статический подход к изучению экономики — [static ap­proach in economics] изучение ее состояния на данный момент (статики) в отличие от динамического подхода, при котором экономика исследуется в развитии, в движении. Например, так изучается отраслевая структура экономики, т.е.… … Экономико-математический словарь

Статический коэффициент трения скольжения (К_{тр статический}) — 3.5 Статический коэффициент трения скольжения (Ктр статический) коэффициент трения скольжения в момент перехода пары трущихся поверхностей от состояния покоя к скольжению. Источник: СО 003 02495342 2006: Полы. Методы оценки скользкости покрытий… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

МОМЕНТ СТАТИЧЕСКИЙ — интегральная мера асимметричности площади плоской фигуры по отношению к оси, лежащей в её плоскости (Болгарский язык; Български) статически момент (Чешский язык; Čeština) statický moment (Немецкий язык; Deutsch) statisches Moment (Венгерский… … Строительный словарь

максимальный статический синхронизирующий момент шагового электродвигателя — Наибольший момент, удерживающий ротор шагового электродвигателя от поворота при поданном напряжении питания. Примечание. Определяется как наименьшее значение в пределах оборота ротора. [ГОСТ 27471 87] Тематики машины электрические вращающиеся в… … Справочник технического переводчика

ПОДХОД К ИЗУЧЕНИЮ ЭКОНОМИКИ, СТАТИЧЕСКИЙ — изучение экономических состояний на данный момент времени (в отличие от динамического подхода). При помощи статического подхода изучается отраслевая структура экономики, то есть взаимосвязи составляющих ее отраслей в процессе производства… … Большой экономический словарь

Источник