Что такое степень с рациональным показателем определение

25.10.202330.04.2022 admin 0 Comments

Алгебра

А Вы уже инвестируете?
Слышали про акцию в подарок?

Зарегистрируйся по этой ссылке
и получи акцию до 100.000 руб

План урока:

Степень с рациональным показателем

Напомним, что в 7 классе мы впервые познакомились с понятием степени, причем тогда рассматривались случаи, когда показателем степени является натуральное число. В 8 классе понятие степени было расширено, теперь в него включались случаи, когда показатель являлся целым числом. Настоятельно рекомендуем перечитать соответствующие уроки. Сегодня же мы можем сделать ещё один шаг вперед и рассмотреть степени с рациональными показателями.

При расширении понятия степени важно обеспечить то, чтобы уже известные правила работы с целыми степенями работали и для дробных показателей. Одно из свойств степеней выглядит так:

Подставим в эту формулу следующие значения переменных:

Мы специально выбрали эти числа такими, чтобы произведение mn равнялось единице:

Подставляем эти значения:

(3 1/6 ) 6 = 3 1/6 • 6 = 3 1 = 3

Однако по определению корня n-ой степени число, дающее при возведении в шестую степень тройку, является корнем шестой степени из трех. То есть можно записать:

С помощью подобных преобразований нам удалось указать, чему равно число, возведенное в дробную степень. Аналогично можно показать, что для любого а > 0 справедлива формула:

Действительно, если возвести левую часть в n-ую степень, то получим:

(а 1/ n ) n = a 1/ n • n = a

Значит, по определению корня n-ой степени

Ограничение а > 0 необходимо для того, чтобы не рассматривать случаи, когда подкоренное выражение является отрицательным.

C учетом этого выполним преобразование:

В результате несложных преобразований нам удалось получить формулу, позволяющую возводить число в степень, у которой рациональный показатель!

Приведем несколько примеров вычисления дробных степеней:

Часто при вычислениях удобнее сначала извлечь корень из числа, а потом полученный результат возвести в степень:

Напомним, что одну и ту же дробь можно представить разными способами, например:

1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 0,5

Возникает вопрос – изменится ли значение дробной степени, если мы приведем дробь к новому знаменателю? Очевидно, что нет, но всё же убедимся в этом на примере. Сначала возведем в степень 1/2 число 25:

Теперь заменим дробь 1/2 на идентичную ей дробь 2/4:

Согласитесь, возводить число 81 в 25-ую степень не очень легко! Поэтому поступим иначе. Сократим дробь 25/100:

0,25 = 25/100 = 25/(25•4) = 1/4

Теперь вычисления будет более простыми:

Вообще легко запомнить, что 0,25 = 1/4, а 0,5 = 1/2. Замена десятичных дробей обыкновенными дробями сильно упрощает вычисления. Приведем примеры:

Свойства дробных степеней и операции с ними

Когда мы изучали степени с целыми показателями, мы выяснили, что правила работы с ними ничем не отличаются от правил работы со степенями с натуральным показателем. Оказывается, эти же правила работают и для степеней с рациональным показателем. Сформулируем основные свойства дробных степеней.

Например, справедливы следующие действия:

5 0,5 •5 2,5 = 5 0,5 + 2,5 = 5 3 = 125

19 5/3 •19 1/3 = 19 5/3 + 1/3 = 19 2 = 361

29,36 –0,37 •29,36 1,37 = 29,36 –0,37 + 1,37 = 29,36 1 = 29,36

Вот несколько примеров подобных вычислений:

17 4,5 :17 3,5 = 17 4,5–3,5 = 17 1 = 1

4 9,36 :4 6,36 = 4 9,36–6,36 = 4 3 = 64

20 12 :20 14 = 20 12–14 = 20 –2

Проиллюстрируем это правило примерами:

(6 0,25 ) 8 = 6 0,25•8 = 6 2 = 36

(9 3/2 ) 2 = 9 (3/2)•2 = 9 3 = 729

(25 4 ) 0,125 = 25 4•0,125 = 25 0,5 = 5

Покажем, как можно применять данное правило:

4 1/6 •16 1/6 = (4•64) 1/6 = 64 1/6 = 2

0,5 1,5 •50 1,5 = (0,5•50) 1,5 = 25 1,5 = 25 1+0,5 = 25 1 •25 0,5 = 25•5 = 125

4,9 0,5 •10 0,5 = (4,9•10) 0,5 = 49 0,5 =7

Это правило можно применять следующим образом:

360 0,5 :10 0,5 = (360:10) 0,5 = 36 0,5 = 6

500 3 :50 3 = (500:50) 3 = 10 3 = 1000

6,25 1/4 :0,01 1/4 = (6,25:0,01) 1/4 = 625 1/4 = 5

Заметим, что степени очень удобны тем, что с их помощью легко упростить работу с корнями, ведь если

то верное и обратное:

То есть любое выражение с корнями в виде степени с рациональным показателем.

Пример. Вычислите значение выражения

Решение. Корней много, поэтому для удобства заменим их степенями

Получили тоже самое выражение, но в более компактном виде. Посчитаем его значение:

(9 1/4 ) 1/5 •3 9/10 = (9 0,25 ) 0,2 •3 0,9 = 9 0,25•0,2 •3 0,9 = 9 0,05 •3 0,9 = (3 2 ) 0,05 •3 0,9 =

=3 2•0,05 •3 0,9 = 3 0,1 •3 0,9 = 3 0,1•0,9 = 3 1 = 3

Пример. Упростите выражение

(81 n+1 – 65•81 n ) 0,25

Решение. Степень 81 n+1 можно представить как произведение:

81 n+1 = 81 n •81 1 = 81•81 n

С учетом этого можно записать:

(81 n+1 – 65•81 n ) 0,25 = (81•81 n – 65•81 n ) 0,25 = (81 n (81 – 65)) 0,25 =

= (81 n •16) 0,25 = 81 0,25 n •16 0,25 = 81 0,25 n •16 1/4 = 2•81 0,25 n

Сравнение степеней

Напомним, что из двух корней n-ой степени больше тот, у которого больше подкоренное выражение:

Отсюда следует вывод, что если a 1/ n 1/ n

теперь возведем каждую часть этого неравенства в степень m. Тогда получим неравенство:

Получили, что из двух степеней с одинаковыми показателями меньше та, у которой меньше основание (правила сравнения будем нумеровать, чтобы на них удобнее было ссылаться):

В частности, справедливы следующие неравенства:

Здесь мы рассматривали случаи, когда показатель степени является положительным числом. А что делать, если он отрицательный? Тогда степень следует «перевернуть», воспользовавшись уже известной вам формулой:

Пример. Сравните выражения с рациональным показателем степени:

20 –3,14 и 50 –3,14

Решение. Избавимся от знака минус в показателе:

20 –3,14 = (1/20) 3,14 = 0,05 3,14

50 –3,14 = (1/50) 3,14 = 0,02 3,14

Получили две степени с одинаковым и, что принципиально важно, положительным показателем. Из них больше та, у которой больше основание. То есть из неравенства 0,02 3,14 3,14

Особенным является случай, когда показатель степени равен нулю. Напомним, что любое число в нулевой степени (кроме самого нуля) равно единице, а выражение 0 0 не имеет смысл. Это значит, что числа в нулевой степени равны друг другу, даже если у них разные основания:

18,3546 0 = 12,3647 0 = 1

Несколько сложнее сравнивать числа, у которых одинаковые основания, но различные показатели. Здесь возможны три случая – основание либо равно единице, либо больше неё, либо меньше неё.

На основании этого правила можно записать, что:

Единица в любой степени равна самой себе. Поэтому, если у двух чисел в основании записана именно она, то они должны быть равны друг другу:

1 –7,56 = 1 –0,15 = 1 0,236 = 1 521,36 = 1

0,5 = 1/2 = 1/(2 1 ) = 2 –1

0,5 7,6 = (2 –1 ) 7,6 = 2 –7,6

0,5 8,9 = (2 –1 ) 8,9 = 2 –8,9

Такие числа мы уже умеем сравнивать. Так как

Например, справедливы неравенства:

0,57 15,36 > 0,57 16,47

Рассмотрим чуть более сложное задание на сравнение степеней, где надо использовать одновременно несколько правил.

Пример. Докажите, что

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3

Решение. Напрямую вычислить значение выражений в правой и левой части затруднительно. Однако мы можем усиливать неравенство, чтобы получить более простые выражения.

Усилить неравенство – это значит увеличить его меньшую или уменьшить большую часть. Например, неравенство 10 1/3 :

Также ясно, что 27 1/3 1/3 (правило 1). Усилим исходное неравенство:

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3 (1)

Действительно, если (1) справедливо, то мы можем записать двойное неравенство

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3 1/3

Опустив здесь среднюю часть, получим исходное неравенство. Так как 27 1/3 = 3, мы можем переписать (1) так:

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 0,8 0,8 (снова используем правило 1). С другой стороны, 0,9 0,8 0,7 (правило 3). Значит, можно записать двойное неравенство:

Их левые части стоят в (2). Следовательно, можно усилить (2):

0,9 0,7 + 0,9 0,7 + 0,9 0,7 0,7 0,7 0,7 :

Из правила 1 следует, что (4) справедливо. Но мы получили его, усиливая исходное неравенство. Из справедливости более сильного неравенства следует и справедливость более слабого. Следовательно, из справедливости (4) вытекает верность исходного неравенства, которое и надо было доказать.

Источник

Степень с рациональным показателем в математике с примерами решения и образцами выполнения

Степень с рациональным показателем — это степень в показателе которой находится конечная обыкновенная или десятичная дробь.

Любую степень с рациональным показателем можно представить в виде корня, чья степень будет равна знаменателю дроби, находящейся в показателе степени, а числитель будет степенью подкоренного выражения.

Степенная функция

Четные и нечетные функции:

Сравним значения функции при двух противоположных значениях аргумента, например при х = 3 и х= — 3:

Мы видим, что f (- 3) = f(3). Значения этой функции равны и при любых других противоположных значениях аргумента. Действительно,

При этом рассматриваемая функция такова, что для каждого значения аргумента х противоположное ему число — х также принадлежит ее области определения. В таких случаях говорят, что область определения функции симметрична относительно нуля.

Функции, обладающие такими свойствами, называют четными функциями.

Определение:

Функция y = f(х) называется четной, если область ее определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента х верно равенство

На рисунке 52 построен график функции

График этой функции симметричен относительно оси у.

При этом область определения функции g симметрична относительно нуля.

Функции, обладающие такими свойствами, называют нечетными функциями.

Определение:

Функция y = g (х) называется нечетной, если область ее определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента х верно равенство

На рисунке 53 построен график функции Ее график симметричен относительно начала координат.

С примерами четных и нечетных функций мы уже встречались. Так, функции, заданные формулами являются четными, а функции — нечетными.

Заметим, что не всякая функция является четной или нечетной. Например, каждая из функций не является ни четной, ни нечетной.

Функция

Рассмотрим функцию, заданную формулой где х — независимая переменная, а n — натуральное число. Такую функцию называют степенной функцией с натуральным показателем.

Степенные функции при я = 1, 2 и 3, т. е. функции у = х, мы уже рассматривали. Их свойства и графики нам известны.

Выясним теперь свойства степенной функции и особенности ее графика при любом натуральном n.

Выражение где n — натуральное число, имеет смысл при любом х. Поэтому областью определения степенной функции с натуральным показателем является множество всех действительных чисел.

Сначала рассмотрим случай, когда показатель п — четное число. Свойства функции при четном п аналогичны свойствам функции

Действительно, пусть Если X1 = 0, то очевидно, что то, перемножив почленно п одинаковых неравенств получим верное неравенство Значит, в промежутке функция возрастает. Пусть теперь принадлежат промежутку и Тогда и по доказанному выше Отсюда в силу четности n следует, что Значит, в промежутке функция убывает. С возрастанием х график функции слева от начала координат опускается вниз, а справа поднимается вверх.

5. Область значений функции есть множество неотрицательных чисел.

Мы установили, что при любом х и четном n функция принимает неотрицательные значения. Можно доказать, что любое неотрицательное число является значением степенной функции с натуральным показателем при некотором Значит, область значений функции — промежуток . График функции пересекает любая прямая у = а, если Если же а

нечетном n. Эти свойства аналогичны свойствам функции

число является значением степенной функции с натуральным показателем при некотором График функции пересекает любая прямая у = а.

На рисунке 58 изображены графики функций На рисунке 59 показано, как выглядит график функции с нечетным показателем п, большим 1.

Определение корня n-й степени:

Напомним, что квадратным корнем из числа о называется такое число, квадрат которого равен а. Аналогично определяется корень любой натуральной степени n.

Корнем n-й степени из числа а называется такое число, n-я степень которого равна а.

Рассмотрим степенную функцию с нечетным показателем n (рис. 61). Для любого числа с существует единственное значение х, n-я степень которого равна а. Это значение является корнем n-й степени из а. Для записи корня нечетной степени n из числа а используют обозначение (читают: «Корень n-й степени из а»). Число n называют показателем корня, выражение, стоящее под знаком корня,— подкоренным выражением.

Запись означает кубический корень из —125. Из определения корня следует, что —125. Запись означает корень седьмой степени из 80. Число иррациональное. Его значение с точностью до 0,01 равно 1,87.

Рассмотрим теперь степенную функцию с четным показателем n (рис. 62). При любом а > 0 существуют два противоположных значения х, n-я степень которых равна а. При a = 0 такое число одно (число 0), при а

Другими словами, если n — четное число и а > 0, то существуют два корня n-й степени из а. Эти корни являются противоположными числами. Если а = 0, то корень n-й степени из а равен нулю. Если а 0) записывают так: Выражение при четном n и а

Если n = 2, то показатель корня не пишется.

Итак, если n — нечетное число, то выражение имеет смысл при любом а; если n — четное число, то выражение имеет смысл лишь при

Из определения корня n-й степени следует, что при всех значениях а, при которых выражение имеет смысл, верно равенство

Выражение при имеет смысл как при четном, так и при нечетном n, и значение этого выражения является неотрицательным числом. Его называют арифметическим корнем n-й степени из а.

Определение:

Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n-я степень которого равна а.

Вообще при любом положительном а и нечетном n

С помощью знака корня n-й степени записываются решения уравнений вида Приведем примеры.

Пример:

Решим уравнение

Корнями уравнения служат числа, шестая степень которых равна 7. Таких чисел два: (см. рис. 62).

Пример:

Решим уравнение

Уравнение имеет два корня:

Пример:

Решим уравнение

Уравнение имеет единственный корень (см. рис. 61). Этот корень есть число, третья степень которого равна 5, т. е.

Пример:

Решим уравнение

Уравнение имеет единственный корень (см. рис. 61). Этот корень есть число, пятая степень которого равна —50, т. е. Выразив через арифметический корень, получим

Свойства арифметического корня n-й степени

Нам известны следующие свойства арифметического квадратного корня:

Аналогичными свойствами обладает арифметический корень n-й степени и при n > 2.

Теорема:

Если Пусть Тогда каждое из выражений и имеет смысл. Докажем, что выполняются условия:

Значение выражения неотрицательно, так как по определению арифметического корня Кроме того, по свойству степени произведения

Значит, по определению арифметического корня n-й степени верно равенство

Доказанная теорема распространяется на случай, когда число множителей под знаком корня больше двух. Например, если Действительно,

Таким образом, арифметический корень п-й степени обладает свойством: корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Теорема:

Если

Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 1.

Итак, справедливо еще одно свойство арифметического корня n-й степени: корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.

Поменяв местами в каждом равенстве их левые и правые части, получим равенства, выражающие правила умножения и деления арифметических корней n-й степени:

Приведем примеры применения доказанных свойств.

Пример:

Найдем значение выражения По теореме о корне из произведения имеем:

Пример:

Перемножим корни

Пример:

Найдем значение выражения

Пользуясь теоремой о корне из дроби, получаем:

Рассмотрим другие свойства корня n-й степени. Начнем с примера. Сравним значения выражений

Мы видим, что значения этих выражений равны, т. е.

Теорема:

Если п и к — натуральные числа и

Так как выражения имеют смысл и неотрицательны. Кроме того,

Следовательно, по определению арифметического корня верно равенство

Теорема:

Если n, k и m — натуральные числа и

По теореме 3 имеем:

Мы доказали, что арифметический корень n-й степени обладает свойством: если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.

Это свойство иногда называют основным свойством корня. Приведем пример применения теорем 3 и 4.

Пример:

Внесем множитель 2 под знак квадратного корня. Получим:

По теореме о корне из корня имеем:

Применив основное свойство корня, получим:

Степень с рациональным показателем и ее свойства

Определение степени с дробным показателем

Мы знаем, какой смысл имеет выражение если показатель n — целое число. Например, означает произведение пяти множителей, каждый из которых равен — 3. Число означает число, обратное степени Введем теперь понятие степени, у которой показатель не целое, а дробное число.

Из определения арифметического корня следует, что если m — целое число, n — натуральное и m делится на n, то при а > 0 верно равенство

Так как Если принять, что равенство имеет место и в том случае, когда дробное число, то все свойства, верные для целого показателя степени, будут выполняться и для дробного показателя с положительным основанием (это будет доказано в следующем пункте).

Определение:

Если а — положительное число, дробное число (m — целое, n — натуральное), то

По определению имеем:

Степень с основанием, равным нулю, определяется только для положительного дробного показателя: если дробное положительное число (тип — натуральные), то Для отрицательных оснований степень с дробным показателем не рассматривается. Такие выражения, как не имеют смысла.

Мы знаем, что одно и то же дробное число можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем разными способами. Например, дробное число 0,76 можно представить в виде дроби так:

Значение степени с дробным показателем r не зависит от способа записи числа r в виде дроби: представляя r в виде отношения целого числа к натуральному разными способами, всегда будем получать один и тот же результат. Например:

Покажем это в общем случае.

Пусть а > 0, m — целое, n и k — натуральные числа. Пользуясь определением степени с дробным показателем и основным свойством корня, получим:

Значения степеней с дробным показателем и положительным основанием можно находить приближенно с помощью инженерного микрокалькулятора, например, «Электроника БЗ-Зб». Микрокалькулятор «Электроника Б3-36» имеет 25 клавиш, из них 22 клавиши можно использовать для выполнения двух операций. Одна операция обозначена на самой клавише, а другая написана над ней. При выполнении операций, обозначенных на клавишах, микрокалькулятор работает в нормальном режиме, а когда производят операции, обозначенные над клавишами, то микрокалькулятор работает в совмещенном режиме. Чтобы перейти к этому режиму, надо нажать клавишу После того как операция произведена, микрокалькулятор возвращается в нормальный режим работы. Вычисление значений степеней производится в совмещенном режиме, для чего используется клавиша

Пример:

Найдем значение степени

Вводим основание степени у, равное 3,48, нажимаем клавишу (микрокалькулятор начинает работать в совмещенном режиме) и клавишу , затем показатель степени х,

равный 2,5, и клавишу На экране высветится результат. Программа вычислений выглядит так:

Выполнив вычисления, найдем, что приближенное значение степени равно 22,591658.

Пример:

Вычислим значение степени

Этот пример отличается от примера 1 тем, что показатель степени представлен не в виде десятичной дроби, а в виде обыкновенной дроби. Поэтому после введения основания степени 1,43 надо и нажатия клавиш надо представить в виде десятичной дроби, выполнив деление 2 на 7. Для таких случаев в микрокалькуляторе предусмотрены клавиши (открывающая скобки) и (закрывающая скобки), которые позволяют получить промежуточный результат. Программа вычислений будет выглядеть так:

Выполнив вычисление, получим 1,1075969.

Заметим, что в тех случаях, когда результат вычислений по модулю оказывается меньше 0,0000001 или больше 99 999 999, микрокалькулятор дает ответ в виде Знак числа а высвечивается в 1-м разряде слева (положительный знак не высвечивается), цифры числа а — в разрядах от 2-го до 9-го включительно, знак порядка — в 10-м разряде и цифры порядка — в 11-м и 12-м разрядах.

Свойства степени с рациональным показателем

Известные нам свойства степени с целым показателем справедливы и для степени с любым рациональным показателем. Перечислим их.

Для любого а > 0 и любых рациональных чисел р и q:

Для любых а >0 и b > 0 и любого рационального числа р:

Докажем свойство (1). Сначала покажем на частном примере способ доказательства этого свойства.

Пусть, например, Докажем, что

Приведем дроби к общему знаменателю:

Так как то по свойству арифметического корня имеем:

Переходя к степени с дробным показателем, получим:

Следовательно, поэтому

Проведем теперь доказательство свойства (1) в общем виде. Представим рациональные числа р и q в виде дробей с одинаковыми знаменателями: — целые числа, а n — натуральное число. Тогда

Значит,

Из свойства (1) следует, что для любого положительного а и любого рационального числа р

Действительно,

Свойство (2) следует из свойства (1) и определения частного. Докажем свойство (3), т. е. докажем, что при а > 0 и любых рациональных р и q

Пусть — целые, а k и n — натуральные числа. Тогда

Значит,

Покажем, что при любом рациональном р и любом натуральном n

Действительно, по определению степени с дробным показателем и свойству (3) имеем:

Докажем свойство (4), т. е. докажем, что при а > 0 и b > 0 и любом рациональном р

Пусть — целое число и к — натуральное число. Тогда

Значит,

Свойство (5) можно доказать, представив дробь в виде произведения и применив затем свойство (4).

Преобразование выражении, содержащих степени с дробными показателями

Рассмотрим примеры, в которых используются тождественные преобразования выражений, содержащих степени с дробными показателями.

Пример:

Найдем значение выражения

Предварительно упростим это выражение:

Подставим в выражение данное значение х и выполним вычисления:

Пример:

Представим числитель в виде разности квадратов и разложим ее на множители. Получим:

Пример:

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби. Получим

Степени с рациональными показателями

Пусть а — положительное действительное число, x — произвольное рациональное число, т.е. число, представимое в виде несократимой обыкновенной дроби , где , . В частности, при n = 1 рациональное число x является целым, а понятие степени с целым показателем было введено ранее. При под рациональной степенью x числа а понимают положительное число, равное арифметическому корню степени n из числа , т.е. , и обозначают (или ). Например, под понимают . При а = 1 и любом рациональном x имеем .

Если основание а = 0, то рациональная степень определена только при положительном показателе , при этом полагают .

Степень с рациональным показателем можно определить и для отрицательного основания. Пусть и показатель степени имеет в знаменателе нечётное число . В этом случае под понимают алгебраический (при нечётном m) или арифметический (при чётном m) корень степени из числа , т.е.

В этом случае справедливы все перечисленные ниже свойства степеней с рациональными показателями, которые доказываются аналогично.

Большинство свойств степеней с рациональными показателями выглядят аналогично (хотя являются обобщением) соответствующим свойствам степеней с целыми показателями. Доказательство свойств степеней с рациональными показателями проведём для случая положительного основания. В выполнении свойств степеней для случаев нулевого и отрицательного оснований убедитесь самостоятельно.

Свойства степеней с рациональными показателями

Пусть а и b — положительные действительные числа, а x и у — рациональные числа. Тогда верны следующие равенства:

6.Пусть . Если , то , а если .

7.Если , то ; если ,то .

Доказательство:

Рассмотрим два рациональных числа и , их всегда можно привести к общему знаменателю:

Поэтому будем считать при доказательстве этого свойства, что рациональные числа x и у уже представлены в виде двух дробей с одинаковыми знаменателями: и . Тогда, используя определение степени с рациональным показателем, а также свойство 2 арифметических корней и свойство 1 степеней с целым показателем, получаем

Пусть и . Тогда, используя определение степени с рациональным показателем и свойства 4, 5 арифметических корней, получаем

Пусть , тогда, используя определение степени с рациональным показателем, а также свойство 4 степеней с целым показателем и свойство 2 арифметических корней, получим

Воспользуемся доказанными свойствами 3 и 2 степеней с рациональным показателем:

Докажем вначале два вспомогательных свойства:

1) если и , то ; 2) если и , то .

1) Пусть и . Воспользуемся дважды

свойством 8 числовых неравенств и определением степени с рациональным показателем:

2) Пусть теперь . Обозначим , и тогда по только что доказанному свойству имеем . Тогда доказательство свойства 6 вытекает непосредственно из доказанных выше свойств 1) и 2), поскольку тогда , следовательно, при получаем

Доказательство в случае проводится аналогично.

7.Пусть . Тогда (по свойству 8 числовых неравенств)

Замечание. Мы доказали более сильное утверждение, а именно: если , то . В случае учтём, что , и применим полученный выше результат: (по свойству 7б числовых неравенств) .