Что такое ступени в математике

Действия первой и второй ступени

Арифметические действия делятся на действия первой и второй ступени.

Порядок действий

Если выражение содержит действия только одной ступени и в нём нет скобок, то действия выполняются в порядке их следования слева направо.

Пример 1. Вычислить значение выражения:

Решение: Данное выражение содержит действия только одной ступени — первой (сложение и вычитание). Надо определить порядок действий и выполнить их.

Пример 2. Вычислить значение выражения:

Решение: Данное выражение содержит действия только одной ступени — второй (умножение и деление). Надо определить порядок действий и выполнить их.

Если выражение содержит действия обеих ступеней, то первыми выполняются действия второй ступени, в порядке их следования (слева направо), а затем действия первой ступени.

Пример. Вычислить значение выражения:

Решение: Данное выражение содержит четыре действия: два первой ступени и два второй. Определим порядок их выполнения: согласно правилу первым действием будет деление, вторым — умножение, третьим — сложение, а четвёртым — вычитание.

Источник

Урок математики «Действия первой и второй ступеней»

Тип урока: объяснение нового материала.

Оборудование: учебник, тетрадь для самостоятельных работ, рабочие тетради, сигнальные карточки.

I. Организационный момент

Мы сюда пришли учиться,
Не лениться, а трудиться.
Работаем старательно,
Слушаем внимательно.

II. Актуализация знаний

Задание по вариантам.

Соедините линией карточку, на которой записано выражение, с карточкой, на которой записано его значение.

(У доски работают по 1 учащемуся от варианта, остальные самостоятельно, затем коллективная проверка).

– Что вам необходимо знать хорошо, чтобы без ошибок выполнить это задание? (таблицу умножения)
– С действиями деления и умножения мы познакомились в каком классе? (во втором)
– Какие действия над числами мы изучали в первом классе? (сложение и вычитание)

III. Изучение нового материала

– Сегодня на уроке будем работать с выражениями, в которых встречается эти действия.

1. Работа по учебнику с. 105, № 1

Вычисли устно значение следующих выражений.

25 + 15 – 10 = 30 25 – 10 + 15 = 30

Сложение и вычитание – это действия I ступени.

– В каком порядке в выражении без скобок выполняются действия I ступени? (По порядку слева направо)

2. Работа по учебнику с. 105, № 2

Вычисли устно значение следующих выражений:

Умножение и деление – это действия II ступени.

– В каком порядке в выражении без скобок выполняются действия II ступени? (По порядку слева направо)

Вывод:

3. Создание проблемной ситуации

Вычисли значение следующих выражений.

80 – 6 4 = 56 35 + 7 5 = 70

– С выполнения какого действия начинается вычисление значений данных выражений? (с умножения)

4. Знакомство с новым правилом.

Работа по учебнику С. 106.

(Плакат с правилом учитель вывешивает на доску)

IV. Первичное закрепление

1. Работа по учебнику с. 106, №4

Вычисли значение следующих выражений, соблюдая порядок выполнения действий I и II ступеней (решение с комментированием)

55 – 10 : 2 + 50 = 100

258 + 15 : 5 – 8 9 = 189

2. Составление и решение задачи с. 106 №5

Задание. Составь задачу, решением которой было бы выражение 50 – 3 5. Вычисли и запиши ответ этой задачи.

Пример задачи, составленной учащимися.

В магазине было 50 кг бананов. За день продали 5 ящиков по 3 кг в каждом. Сколько кг бананов осталось?

Составление краткой записи задачи (1ученик у доски).

Ответ: осталось 25 кг бананов.

V. Физминутка

Раз, два, три, четыре, пять –
Все умеем мы считать,
Отдыхать умеем тоже.
Руки за спину заложим,
Голову поднимем выше
И легко – легко подышим.

VI. Самостоятельная работа (в парах ) с проверкой по образцу

1. Учитель: Работу выполняете в тетрадях для самостоятельных работ С.52, № 1

1 ряд – 1-2 пример,
2 ряд – 3-4 пример,
3 ряд – 5-6 пример.

У каждой пары на парте есть две сигнальные карточки. Одна красного цвета, а другая – зелёного цвета.
Если учащиеся в паре выполнили работу, на край стола выкладывают зелёную карточку.
Если есть затруднения, на край стола выкладывают красную карточку.
Выполнить правильно это задание вам поможет правило, с которым мы сегодня познакомились, оно на доске.

Проверьте правильность выполнения задания по образцу на доске.

300 – 2 8 + 27 : 9 = 287

205 + 8 7 – 63 : 9 = 254

1) 56,
2) 7,
3) 261,
4) 2543 ряд

400 – 42 : 7 + 6 8 = 442

1) 6,
2) 48,
3) 394,
4) 442

– Пара учащихся, которая выполнила работу правильно ставит себе «+», а если допустили ошибку, то «–».
– При вычислении, какого действия допустили ошибку? (1 ряд – при умножении или делении чисел)
– Как вы думаете, почему была допущена ошибка? (Плохо знаем таблицу умножения)
– Что нужно сделать, чтобы в дальнейшем не допускать таких ошибок? (Хорошо выучить таблицу умножения)
– Кто допустил другую ошибку? (2 ряд – во втором примере другой ответ)
– Как вы думаете, почему так получилось? (Неправильно расставили порядок действий в выражении)
– Какое правило надо знать, чтобы правильно решать сложные выражения без скобок? (Учащийся повторяет изученное на уроке правило)

VII. Итог урока

– Что для себя нового вы сегодня узнали?

VII. Домашнее задание: с. 106, № 3, № 6.

Источник

Правила выполнения математических действий

Основные операции в математике

Основными действиями являются:

Наряду с этими операциями предусмотрены отношения:

Сложение является операцией для объединения пары слагаемых.

Сложение записывают таким образом:

5, 1 — слагаемые, 6 — сумма.

Вычитание — операция, которая является обратным действием сложению.

Записывать вычитание следует таким образом:

10 — уменьшаемое, 1 — вычитаемое, 9 — разность.

При сложении разности в виде 9 и вычитаемого в виде 1 можно получить 10, которое является уменьшаемым. Сложение можно проверить вычитанием:

Умножение является действием в арифметике и имеет вид сокращенной записи сложения идентичных слагаемых.

В данном случае 3 — множимое, 4 — множитель, 12 — произведение.

Множимое и множитель можно поменять местами. При этом произведение не поменяется:

В связи с этим, множитель и множимое являются сомножителями.

Деление — арифметическая операция, которая является обратным действием умножению.

Деление, в том числе для многочленов, записывают таким образом:

При умножении делителя на частное получаем делимое, то есть:

В некоторых уравнениях можно встретить на месте частного не целое число. В таком случае его допустимо записать в виде дроби.

Возведение в степень является действием умножения числа на самого себя несколько раз.

Основанием степени является число, повторяющееся сомножителем конкретное количество раз. Роль показателя степени играет число, указывающее на то количество раз, которое берется одинаковый множитель. Степень — число, являющееся результатом взаимодействия основания и показателя степени.

Здесь 3 является основанием степени, 4 определяется, как показатель степени, 81 называют степенью.

Вторая степень — квадрат, а третья степень — куб. Первая степень числа является самим числом.

В данном случае 81 является подкоренным числом, 4 — показатель корня, 3 — корень.

С целью проверки операции по извлечению корня можно возвести 3 в степень 4, что в результате дает 81:

Квадратный корень — это корень второй степени:

Если предполагается запись квадратного корня, то показатель корня допускается не записывать:

Кубический корень — это корень третьей степени:

Сложение является обратным действием вычитанию, умножение — делению, возведение в степень — извлечению корня, и наоборот.

Порядок вычисления простых выражений

Перед решением простых уравнений полезно ознакомиться с последовательностью действий:

Рассмотреть это правило можно на практике.

Нужно решить письменное уравнение:

В первую очередь следует проверить, есть ли скобки для группировки элементов выражения. Здесь они отсутствуют, как и операции умножения и деления. Тогда можно выполнять действия, руководствуясь стандартным алгоритмом, описанным выше: витаем 2 из 11, складываем остаток с 5, в результате получим 14.

11 – 2 + 5 = 9 + 5 = 14

Скобки в данном примере отсутствуют, но имеются операции деления и умножения. При их обнаружении нужно с помощью правила последовательно выполнять действия, двигаясь слева направо: 10 делим на 2, полученное число умножаем на 7, результат делим на 5.

10 ÷ 2 × 7 ÷ 5 = 5 × 7 ÷ 5 = 35 ÷ 5 = 7

В процессе изучения данной темы, пока опыта еще не достаточно, полезно расставлять над знаками арифметических операций цифры в порядке их выполнения. Такая работа значительно упрощает вычисления и исключает ошибки.

Что такое действия первой и второй ступени

В учебной литературе по математике можно встретить такие понятия, как действие первой и второй ступени:

В том случае, когда в выражении отсутствуют скобки, операции выполняются в следующем порядке:

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Наличие в выражении скобок изменяет стандартный алгоритм арифметических операций. Это своеобразный индикатор для действий, которые должны быть выполнены в первую очередь.

В первую очередь следует выполнить операции, заключенные в скобках. При этом важно соблюдать стандартный порядок действий, то есть слева направо умножать и делить, а далее — складывать и вычитать.

Выражения, заключенные в скобках, являются составными компонентами начального выражения. Для таких выражений стандартный алгоритм действий остается без изменений. Рассмотреть вычисления можно на практических примерах.

Так как в выражении есть скобки, в первую очередь нужно выполнить действия в этих скобках:

Руководствуясь стандартным алгоритмом, сначала умножаем, затем — вычитаем:

Перейдем ко второму выражению, заключенному в скобках:

Так как в данном случае имеется лишь вычитание, выполняем действие:

Результаты, которые получили при решении выражений в скобках, следует подставить в начальное выражение:

Сначала нужно умножить, затем поделить, а далее выполнить сложение:

10 + 2 × 8 ÷ 2 = 10 + 16 ÷ 2 = 10 + 8 = 18

Порядок действий в выражениях без скобок

В данном случае присутствуют действия сложения и вычитания, которые следует выполнять по порядку, двигаясь слева направо.

Здесь умножение и деление. Данные арифметические операции также выполняем по порядку, начиная с левой стороны, двигаясь в правую сторону.

Когда выражения содержат операции сложение и вычитание, либо деление и умножение, то вычисления нужно выполнять по порядку слева направо.

Нередко встречаются примеры, где есть сложение и вычитание, а также умножение и деление. Тогда в первую очередь делят и умножают по порядку, а на втором этапе складывают и вычитают также в определенном порядке.

Решение примеров

Согласно стандартному алгоритму, проверяем наличие скобок. Так как скобки имеются, начинаем с них:

Полученный результат следует подставить в исходное выражение:

Скобки отсутствуют, но есть умножение, которое необходимо выполнить в первую очередь:

Подставим результат в начальное выражение:

Решим полученное выражение:

Если сразу обозначить порядок действий, то запись примет вид:

Источник

Урок 24 Бесплатно Порядок выполнения действий

Изучая числовые и буквенные выражения, способы упрощения выражений, свойства арифметических операций, мы рассматривали в основном простые выражения, значение которых найти было несложно.

Сегодня на уроке мы будем рассматривать выражения, в которых содержатся сразу несколько арифметических операций и несколько пар скобок.

Выясним, в какой последовательности необходимо выполнять математические операции при нахождении значения выражения.

Узнаем, какие действия называют действиями первой и второй ступени, зачем нужны скобки.

Разберем множество различных примеров, которые позволят нам лучше усвоить данную тему.

Порядок выполнения действий

Любой человек каждый день решает множество различных задач: простых и сложных.

Многие из них решаются по определенным правилам- алгоритмам.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Алгоритм- это определенная последовательность действий.

Алгоритм задает не только совокупность действий, но и порядок их выполнения.

Например, алгоритмом можно считать инструкцию по эксплуатации какого-либо прибора, рецепт приготовления блюда в кулинарной книге, порядок действий при включении компьютера, порядок выполнения практической работы, расписание уроков, режим дня, правила дорожного движения и многое другое.

Приведем пример простейшей последовательности действий (алгоритма) из повседневной жизни.

Порядок действий (алгоритм) открывания замка ключом.

Чтобы получить верный результат, необходимо соблюдать определенный порядок действий.

Если мы изменим порядок действий в рассмотренном алгоритме открывания замка ключом, то открыть его не получится.

На самом деле, не получится сначала вставить ключ в замочную скважину, а затем найти этот ключ, а если не вставить ключ в замочную скважину, то, конечно же, не удастся повернуть ключ и вытащить его.

С алгоритмами мы уже не раз встречались на наших уроках, решая задачи и уравнения, рассматривая различные правила и свойства, совершая вычисления в столбик и др.

Выясним зависит ли значение выражения от порядка выполнения арифметических операций, обязательно ли выполнять действия в определенном порядке.

Рассмотрим следующий пример:

Катя и Федя решали пример, в котором необходимо было найти сумму числа 24 и произведения чисел 8 и 2.

Катя записала пример: 24 + 8 ∙ 2 и принялась выполнять арифметические действия по порядку.

Первым делом она нашла сумму чисел 24 и 8.

Сложив 24 и 8, у нее получилось число 32.

24 + 8 = 32.

Затем полученный результат (число 32) она умножила на 2.

В итоге у нее получилось:

32 ∙ 2 = 64.

Ответ: 64.

Федя записал пример: 24 + 8 ∙ 2 и стал решать его иным способом.

Сначала он нашел произведение чисел 8 и 2.

Умножив 8 на 2, у него получилось число 16.

8 ∙ 2 = 16.

Затем к 24 прибавил полученное произведение.

В итоге получил следующее равенство:

16 + 24 = 40.

Ответ: 40.

Исходные выражения, которые записали Катя и Федя, были одинаковые (содержали определенную последовательность чисел и знаков).

Дети меняли только порядок следования математических операций.

В итоге получили различные значения одного и того же выражения.

Получается, что порядок выполнения арифметических действий влияет на результат вычислений.

Чуть позже мы выясним, кто же решил пример правильно: Катя или Федя.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Порядок выполнения действий в выражениях без скобок

Очень часто в математических выражения присутствует сразу несколько арифметических операций, таких как сложение, вычитание, умножение и деление.

Чтобы найти значение такого выражения, необходимо соблюдать порядок действий, который регламентируется определенными правилами.

Рассмотрим правила выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

1. Математическое выражение вычисляется по частям, математические операции выполняются по порядку слева направо (от начала к концу выражения).

2. Арифметические действия делят на действия первой ступени и действия второй ступени.

Сложение и вычитание- это действия первой ступени.

Умножение и деление- это действия второй ступени.

3. Если в выражении без скобок присутствуют действия только первой ступени (сложение и вычитание), то действия выполняются в порядке их следования (слева направо).

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Определим порядок действий в выражении и найдем его значение.

Данное выражение содержит действия только первой ступени (сложение и вычитание) и не содержит скобок, следовательно, необходимо выполнить действия по порядку их следования (слева направо).

Запись промежуточных вычислений (т.е. действий) можно оформить двумя способами.

Выполнив последнее действие, ответ записывают в исходный пример.

В нашем случае решение будет выглядеть так:

Для нашего примера решение будет выглядеть следующим образом:

4. Если в выражении без скобок присутствуют только действия второй ступени (умножение и деление), то данные действия выполняются в порядке их следования (слева направо).

Дано выражение 15 ∙ 6 ÷ 3 ∙ 10.

Определим порядок действий в выражении и найдем его значение.

Данное выражение не содержит скобки, и в нем присутствуют только действия второй ступени (умножение и деление), следовательно, действия выполнять необходимо слева направо по порядку их следования.

5. Если в выражении отсутствуют скобки, и оно содержит действия первой и второй ступени, то сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление) в порядке их следования слева направо, затем выполняются действия первой ступени (сложения и вычитания) так же в порядке их следования слева направо.

Данное выражение не содержит скобки, в нем присутствуют действия первой и второй ступени.

Следовательно, действия будем выполнять по порядку слева направо: сначала умножение и деление, а затем вычитание и сложение.

Вспомним пример, рассмотренный нами в начале урока, где Катя и Федя решали пример.

Решим этот пример сами, соблюдая порядок следования арифметических операций, и выясним, кто из ребят нашел правильный ответ.

Было дано выражение 24 + 8 ∙ 2.

В данном выражении присутствуют действия первой и второй ступени, соответственно, сначала мы должны выполнить умножение, затем полученный результат стожить.

Обозначим порядок действий в выражении и найдем его значение.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Порядок выполнения действий в выражениях со скобками

В математике есть специальный символ, который указывает нужный порядок действий в выражении, этот символ называется скобки.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Скобки чаще всего используют как парный знак.

В паре первая скобка называется открывающей, вторая- закрывающей.

Скобки заключают некоторую часть целого математического выражения.

В математике существует несколько видов скобок, которые имеют свой конкретный смысл.

Наиболее распространенными являются три вида скобок: круглые скобки (…), квадратные скобки […] и фигурные скобки <…>.

В математике область применения скобок различна.

Скобки часто используют в выражениях для указания порядка выполнения арифметических действий.

В качестве такого указателя в основном используют парные круглые скобки

1. Запомните правило!

Действия, записанные в скобках, выполняются в первую очередь.

На примере рассмотрим использование скобок для указания порядка действий или изменении этого порядка.

Найдем значение этого выражения, используя правило, которое определяет порядок выполнения действий в математических выражениях.

Так как скобок в данном примере нет, то первым действием выполняется деление, затем- вычитание.

В результате получим следующее равенство:

Ответ: 4.

В итоге получим следующий результат:

Ответ: 12.

Мы можем заметить, что, изменив порядок действий с помощью скобок, изменилось значение выражения.

2. Если в скобках присутствуют действия первой и второй ступени, то в скобках сохраняется известный нам порядок действий: слева направо выполняются сначала действия деления и вычитания, затем по порядку слева направо сложение и вычитание.

Это выражение содержит скобки, поэтому выполним сначала действия в них.

Внутри скобок присутствуют действия первой и второй ступени.

Следовательно, выполним деление, затем сложение, находящееся в скобках.

Так как оставшиеся за скобками действия- это действия первой ступени, то они выполняются по порядку слева направо.

3. Существуют выражения, которые содержат несколько пар скобок, указывающих порядок выполнения действий.

В таком случае выполняются действия последовательно по порядку слева направо: сначала в первой паре скобок, затем во второй паре, далее в третьей и т.д. (пока есть скобки), и только потом выполняются все остальные действия, которые находятся за скобками, согласно правилам, определяющим порядок выполнения математических действий в выражениях.

Рассмотрим данное правило на примере.

Это выражение содержит скобки, поэтому выполним сначала действия в них.

Первым делом выполним все действия в первой скобке, причем сначала найдем произведение чисел, а затем сложение.

После этого выполняется действие во второй скобке.

Далее все остальные действия по уже известным нам правилам.

4. Иногда возникает ситуация, когда в выражении встречаются сложное сочетание скобок- вложенные скобки (будто скобки с выражениями вложены друг в друга).

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Существует несколько вариантов, чтобы отличить одну пару скобок от другой:

1) Скобки обозначают разными размерами (обычно внутренние скобки изображают меньшего размера).

2) Изображают каждую пару скобок одним цветом, для каждой пары скобок один цвет.

3) Дополнительно применяют другие виды скобок.

Так, если выражение в круглых скобках нужно заключить в скобки, то для этого можно использовать квадратные скобки, а если необходимо в скобки заключить выражение, которое содержит круглые и квадратные скобки, то в таком случае можно использовать фигурные скобки

Последовательность действий для такого выражения определяется следующим правилом:

Если скобки содержат внутренние скобки, то сначала выполняются действия в них, затем математические операции проводят, продвигаясь последовательно ко внешним скобкам.

В качестве примера определим порядок действий в выражении

1) Первым делом выполним действие, которое находится в круглых скобках.

200 + 100 = 300

В исходное выражение вместо выражения, стоящего в круглых скобках, запишем найденное его значение.

Далее выполняем действия, находящиеся в квадратных скобках, соблюдая очередность действий первой и второй ступеней.

2) Найдем произведение 300 и 5.

300 ∙ 5 = 1500

3) Из полученного произведения вычтем 300.

Вместо выражения, которое находилось в квадратных скобках, запишем его значение.

Далее выполняем действия, находящиеся в фигурных скобках, соблюдая очередность действий первой и второй ступеней.

4) Найдем произведение 10 и 20.

10 ∙ 20 = 200

5) Полученный результат вычтем из 1200.

Подставим вместо выражения, стоящего в фигурных скобках, его значение.

В оставшейся части исходного выражения больше скобок нет, в нем присутствуют действия первой и второй ступени.

Следовательно, действия будем выполнять по порядку слева направо.

6) Сначала выполним деление:

1000 ÷ 20 = 50

7) Затем из полученного частного вычтем 10.

50 — 10 = 40

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Порой, в выражениях скобки можно опустить, если при этом порядок действий не изменится.

Дано выражение (24 + 14) — 4.

Найдем значение этого выражения, используя правило, которое определяет порядок выполнения действий в математических выражениях.

Так как в данном примере есть скобки, то первым действием выполним сложение чисел 24 и 14, затем из полученной суммы вычтем число 4, стоящее за скобкой:

Получаем в результате ответ: число 34.

Рассмотрим другую ситуацию: выражение будет содержать все те же числа и математические операции, но будет записано без скобок 24 + 14 — 4.

Данное выражение содержит действия только первой ступени (сложение и вычитание) и не содержит скобок, следовательно, необходимо выполнять действия по порядку их следования слева направо.

Сначала выполним сложение, а затем вычитание:

Получаем в результате ответ: число 34.

Заметим, что порядок действий в выражении со скобками (24 + 14) — 4 и без скобок 24 + 14 — 4 одинаковый, и значения этих двух выражений равны.

Следовательно, для нашего случая верно равенство: (24 + 14) — 4 = 24 + 14 — 4

Порядок действий в выражениях можно изменять с помощью основных свойств сложения, вычитания, умножения и деления.

Например, дано выражение 7 ∙ 2 ∙ 55.

В данном выражении удобнее использовать сочетательное свойство умножения, а не выполнять действия по порядку.

Сначала найдем произведение 2 и 55, и только потом полученное произведение умножим на 7.

7 ∙ 2 ∙ 55 = 2 ∙ 55 ∙ 7 = 110 ∙ 7 = 770.

Свойства арифметических операций часто используют для упрощения выражений.

Важно отметить, что установленный порядок действий в выражениях без скобок и со скобками справедлив как для числовых выражений, так и для буквенных.

Представим в общем виде порядок выполнения арифметических действий в виде схемы.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Каждое выражение вычисляется по определенной программе (алгоритму), которую задают правила выполнения арифметических действий.

Записывая решение в виде равенств, оформляя каждое под своим номером в столбик, мы составляли алгоритм вычисления выражения такого вида:

1) 30 + 20 = 50

2) 800 ÷ 10 = 80

4) 50 ∙ 20 = 1000

Эту же программу вычислений можно представить в виде схемы, выполняя действия в определенном порядке, заполняя при этом последовательно пустые ячейки.

В нижней ячейке записывается ответ.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник