Что такое супремум и инфинум

1. Теория пределов

1.1 Супремум и инфимум

Определение 1. Множество < x >, элементами которого являются числа, называется числовым множеством.

Определение 2. Множество вещественных чисел < x > называется ограниченным сверху (снизу), если существует число M ( m ) такое, что x £ M ( x ³ m ).

Число M называется верхней гранью числового множества < x >. Аналогично, число m называется нижней гранью числового множества < x >.

Верхних (нижних) граней бесконечно много, так как любое число, большее M (меньшее m ), есть также верхняя (нижняя) грань.

Определение 3. Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью или супремумом числового множества < x > (обозначение sup < x >).

Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью или инфимумом числового множества < x > (обозначение inf < x >).

Более точно, эти понятия выражаются следующими свойствами:

1. .

2. .

1. .

2. .

Теорема о существовании супремума и инфимума числового множества.

Если числовое множество < x > не пусто и ограничено сверху, то у него существует sup < x >.

Если числовое множество < x > не пусто и ограничено снизу, то у него существует inf < x >.

1.2 Последовательности

Определение 1. Числовой последовательностью (в дальнейшем просто последовательностью) называется упорядоченное счетное множество чисел

Обратите внимание на два момента.

1. В последовательности бесконечно много чисел. Если чисел конечное число – это не последовательность!

2. Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном порядке.

В дальнейшем для последовательности часто будем использовать сокращенное обозначение < x_n >.

Над последовательностями можно производить определенные операции. Рассмотрим некоторые из них.

1. Умножение последовательности на число.

Последовательность c × < x_n > – это последовательность с элементами < c × x_n >, то есть

2. Сложение и вычитание последовательностей.

или, более подробно,

3. Умножение последовательностей.

4. Деление последовательностей.

Естественно, предполагается, что в этом случае все y_n ¹ 0.

Последовательность < x_n > называется ограниченной сверху, если .

Последовательность < x_n > называется ограниченной снизу, если .

Последовательность < x_n > называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и снизу.

1.3 Предел последовательности.

Основное определение. Число a называется пределом последовательности < x_n > при n стремящимся к бесконечности, если

.

Для этого факта используют следующие обозначения:

или .

Говорят, что , если .

Говорят, что , если .

Последовательность < x_n > называется бесконечно большой, если (то есть, если ).

1.4 Бесконечно малые последовательности.

Оределение. Последовательность < x_n > называется бесконечно малой, если , то есть если .

Бесконечно малые последовательности имеют следующие свойства.

1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть также бесконечно малая последовательность.

2. Бесконечно малая последовательность ограничена.

3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

1.5 Сходящиеся последовательности.

Определение. Если существует конечный предел , то последовательность < x_n > называется сходящейся.

Сходящиеся последовательности имеют следующие свойства.

1. Сходящаяся последовательность ограничена.

2. .

3. .

4. .

5. Если , то .

1.6 Предельный переход в неравенствах.

1. ;

2. ,

то существует .

1.7 Предел монотонной последовательности.

Последовательность < x_n > называется монотонно возрастающей, если для любого n x_{n +1} ³ x_n .

Последовательность < x_n > называется строго монотонно возрастающей, если для любого n x_{n +1} > x_n .

Последовательность < x_n > называется монотонно убывающей, если для любого n x_{n +1} £ x_n .

Последовательность < x_n > называется строго монотонно убывающей, если для любого n x_{n +1} x_n .

Теорема о существовании предела монотонной последовательности.

1. Если последовательность < x_n > монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный sup < x_n > ( inf < x_n > ).

На основании этой теоремы доказывается, что существует так называемый замечательный предел

1.8 Подпоследовательности

и рассмотрим последовательность . Она называется подпоследовательностью последовательности < x_n >.

Если < x_n > – бесконечно большая последовательность, то любая ее подпоследовательность есть также бесконечно большая.

Лемма Больцано- Вейерштрасса.

1. Из любой ограниченной последовательности можно извлечь такую подпоследовательность, которая сходится к конечному пределу.

2. Из любой неограниченной последовательности можно извлечь бесконечно большую подпоследовательность.

На основании этой леммы доказывается один из основных результатов теории пределов –

Признак сходимости Больцано-Коши.

Для того, чтобы у последовательности < x_n > существовал конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы

.

Последовательность, удовлетворяющая этому свойству, называется фундаментальной последовательностью, или последовательностью, сходящейся в себе.

1.9 Предел функции

Основное определение. Число b называется предельным значением (пределом) функции f ( x ) при x стремящимся к a (обозначение или ), если

.

Число b называется предельным значением (пределом) функции f ( x ) при x стремящимся к + ¥ (обозначение ), если

.

Говорят, что функция f ( x ) стремится к + ¥ при x стремящимся к a (обозначение ), если

.

( ).

Обозначение ( ).

Если ,то существует . Верно и обратное утверждение.

Теорема, устанавливающая связь понятий предела функции и предела последовательности.

Для того, чтобы существовал необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности < x_n >, у которой существовал

Свойства предельных значений.

Предельные значения имеют такие же свойства, что и предел последовательности:

,

,

,

, если .

1.10 Предел монотонной функции

Функция f ( x ) называется

строго монотонно возрастающей, если из x ₁> x ₂ следует f ( x ₁)> f ( x ₂).

Функция f ( x ) называется

строго монотонно возрастающей, если из x ₁> x ₂ следует f ( x ₁) f ( x ₂).

Если f ( x ) ­ при x a и ограничена сверху то существует конечный .

Если f ( x ) ­ при x a но сверху не ограничена, то .

Аналогичные формулировки имеют место и для монотонно убывающей функции.

1.11 Признак Больцано-Коши существования предела функции.

Теорема. Для того, чтобы при x стремящимся к a существовал конечный , необходимо и достаточно, чтобы

.

Эта теорема является одной из важнейших теорем теории пределов.

1.12 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин

1. Если существует и , ¸ то говорят, что a ( x ) и b ( x ) – бесконечно малые одного порядка.

Обозначение: a = O ( b ) или b = O ( a ).

2. Если (или, что то же самое, ), то говорят, что a ( x ) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем b ( x ).

Обозначение a = o ( b ).

3. Если не существует, то говорят, что a ( x ) и b ( x ) несравнимы.

.

Слагаемое называется главной частью a ( x ).

1. Если существует и , ¸ то говорят, что A ( x ) и B ( x ) – бесконечно большие одного порядка.

2. Если (или, что то же самое, ), то говорят, что A ( x ) есть бесконечно большая более высокого порядка, чем B ( x ).

3. Если не существует, то говорят, что A ( x ) и B ( x ) несравнимы.

.

Источник

Точные грани числовых множеств

Верхняя и нижняя грани числовых множеств.

Множество X вещественных чисел (X ⊂ \(\mathbb\)) называется ограниченным сверху, если существует вещественное число C такое, что все элементы множества X не превосходят C, то есть
$$
\exists C \ \in \ \mathbb: \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \leq \ C.\label
$$

Всякое вещественное число C, обладающее свойством \eqref, называется верхней гранью числового множества X.

Аналогично, множество X ⊂ \(\mathbb\) называется ограниченным снизу, если
$$
\exists C’\in\mathbb: \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \geq \ C’.\label
$$

Всякое вещественное число С ‘ , удовлетворяющее условию \eqref, называют нижней гранью числового множества X.

Если числовое множество множество ограничено как сверху, так и снизу, его называют ограниченным, то есть <X — ограниченное множество>\(\Leftrightarrow\left\ <\exists C’\in \ \mathbb\ \exists C\in\mathbb: \ \forall x\in X \ \rightarrow \ C’ \ \leq \ x \ \leq \ C\right\>\).

Записать ⌉A с помощью кванторов, если A = <C — верхняя грань множества X ⊂ \(\mathbb\)>.

По условию \(B=\left\<\exists C \ \in \ \mathbb: \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \geqslant \ C\right\>\). Поэтому
$$
\rceil B=\left\<\forall C \ \in \ \mathbb: \ \exists x_C \ \in \ X \ \rightarrow \ x_C Определение 1.

Число M называется точной верхней гранью числового множества X, если выполняются следующие условия:

Число M = sup X, вообще говоря, может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X. Например, если X — множество чисел x таких, что 1 ≤ x Замечание 2.

Из определения точной верхней грани множества следует, что если у числового множества X есть точная верхняя грань M, то она единственна.

Число m называется точной нижней гранью числового множества X, если выполняются следующие условия:

Если непустое множество вещественных чисел X ограничено сверху, то существует sup X; если непустое множество X ограничено снизу, то существует inf X.

Докажем существование верхней точной грани. По условию множество X не пусто, то есть содержит хотя бы один элемент. Возможны два случая:

Первый случай. Предположим, что все элементы множества X неотрицательны. По условию множество X ограничено сверху, а значит выполняется условие \eqref. Пусть C=c₀,c₁c₂…c_n…; тогда c₀ — неотрицательное целое число, причем C x’.\label$$

Возьмем произвольное число x ∈ X и пусть x = a₀,<a_n>. Чтобы проверить выполнение условия \eqref, рассмотрим три произвольных случая:

$$x\not\in X_k \ \ \ \ \ при \ k=0,1,2,…,\label$$

$$x\in X_k \ \ \ \ \ при \ k=0,1,2,…,\label$$

$$\exists m: \ x\in X_, \ x\not\in X_\label$$

Из \eqref следует, что \(a_0 удовлетворяет произвольный элемент \(\widetilde x\in X_m\), так как

Из неравенства \eqref следует, что sup X есть нижняя грань множества Y. Точная нижняя грань множества Y, то есть число inf Y, есть наибольшая из всех нижних граней множества Y. Значит, sup X ≤ inf Y.

Источник

Супремум и инфимум числовых множеств.

Дата добавления: 2015-08-14 ; просмотров: 19999 ; Нарушение авторских прав

Выше было описано правило, устанавливающее признак равенства двух вещественных чисел. Опишем теперь правило, позволяющее установить, какое из двух вещественных чисел больше.

Найдем первую по порядку цифру в этих числах, которые не равны друг другу. Пусть это будет цифра с номером n, т.е.

(заметим,что символами математики это записывается так: ). Тогда, если , то считаем, что a>b, а если , то a |b| то считаем, что а b.

Это правило будет необходимо нам ниже.

Определение. Множество, элементами которого являются вещественные числа, называется числовым множеством.

Числовые множества мы будем обозначать , где под х будут пониматься вещественные числа.

Для того, чтобы все дальнейшие определения и теоремы записывались в принятой математической форме, введем специальные значки, которые носят название кванторов. Их два:

Знак называется “квантор общности” и читается “для каждого” ( есть перевернутая буква А из английского выражения “for All”).

Знак называется “квантором существования” и читается “существует” ( есть перевернутая буква Е из английского слова “Exist”). Вариантом этого квантора является знак !, который читается “существует единственный” или “существует один и только один”.

А теперь перейдем к определениям.

Определение 2. Числовое множество называется ограниченным снизу, если . Число m называется нижней гранью числового множества .

Определение 3. Числовое множество называется ограниченным, если .

Очевидно,что если, скажем, существует одна верхняя грань, то их бесконечно много: если, например, М – верхняя грань числового множества ,то М+1, М+2, М+3 и т.д. – также верхние грани для .

Определение 4. Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью или супремумом числового множества (обозначение sup).

Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью или инфимумом числового множества (обозначение inf).

Эти понятия столь важны, что опишем их в других терминах.

Sup определяется двумя свойствами:

Первое свойство означает, что sup – верхняя грань, т.е. все элементы не превосходят sup.

Второе свойство означает, что любая попытка уменьшить эту верхнюю грань приводит к появлению элемента из , который окажется больше .

Говоря образно, sup это планка, перепрыгнуть которую нельзя, но любая попытка опустить эту планку хоть чуть-чуть приводит к тому, что кто-то ее преодолевает.

Аналогично, inf определяется двумя свойствами:

Заметим, что сами sup и inf могут как принадлежать, так и не принадлежать множеству x.

Теперь мы в состоянии доказать важнейшую теорему этого раздела и одну из важнейших теорем всего мат. анализа.

Теорема о существовании супремума и инфимума.

Если числовое множество не пусто и ограничено сверху, то у него существуетsup.

Если числовое множество не пусто и ограничено снизу, то у него существуетinf.

Мы докажем эту теорему только для sup при одном дополнительном предположении – в множестве имеются положительные числа. Доказательство разбивается на три части.

Пусть М – верхняя грань для , т.е. . Проделаем следующее построение:

а) Выбросим из множества все отрицательные числа.

б) У оставшихся чисел выпишем те цифры , которые стоят перед запятой. Множество этих цифр конечно, т.к. этих цифр не более чем [M] (целая часть М). Обратите внимание, что именно в этом месте используется ограничение теоремы – существование верхней грани. Если бы верхней грани не существовало, то множество было бы бесконечным.

в) Выбросим из все те числа, у которых цифра до запятой меньше . У оставшихся чисел выпишем первую цифру после запятой. Этих цифр не более 10. Выберем из них самую большую и обозначим ее через .

г) Выбросим из все те числа, у которых первая цифра после запятой меньше . У оставшихся чисел выпишем вторую цифру после запятой. Этих цифр не более 10. Выберем из них самую большую и обозначим ее через .

д) Выбросим из все те числа, у которых…

Повторяя эту операцию до бесконечности мы построим число

Покажем,что и естьsup.

Возьмем любое . Если х имеет знак –, то ясно, что .

Пусть х имеет знак +. Тогда

Сравним . Вспомним, что было самым большим из . Поэтому может быть всего два варианта: либо , либо . В первом случае и дальнейшая проверка ни к чему.

Если же , то сравним . Опять-таки по построению возможны два варианта: либо и тогда и дальнейшая проверка ни к чему, либо .

Если , то сравним . Опять-таки по построению возможны два варианта: либо и тогда и дальнейшая проверка ни к чему, либо .

Продолжая этот процесс и дальше, получим, что возможны два следующих варианта.

а) Найдется какое-то n, для которого . Тогда .

б) Для всех n . Тогда . Поэтому всегда и первое свойство супремума выполнено.

Заметим,что второе свойство можно записать так: . Возьмем положительное :

.

Так как , то найдется такое n,что

но вспомним процедуру построения . На n-м шаге после выбрасывания во множестве оставались лишь те числа, для которых . Любое из этих чисел будет больше x’ (т.к. ), но естественно, меньше или равно . Поэтому любое из этих чисел удовлетворяет второму свойству супремума.

Источник