Что такое свойство степеней правило

Свойства степени

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1
Произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

Свойство № 2
Частное степеней

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

Свойство № 3
Возведение степени в степень

При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

Свойства 4
Степень произведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

Пример возведения в степень десятичной дроби.

4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

Свойства 5
Степень частного (дроби)

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

Источник

Степень и ее свойства. Определение степени

Разделы: Математика

Ознакомить учащихся со свойствами степеней с натуральными показателями и научить выполнять действия со степенями.

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.

По определению степени:

а n =

Нахождение значения степени называют возведением в степень.

1. Примеры возведения в степень:

2. Представьте в виде квадрата числа: 25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = ( 0,3 ) 2 ; .

3. Представьте в виде куба числа:

4. Найти значения выражений:

а) 3• 10 3 = 3• 10• 10• 10 = 3• 1000 = 3000

1. Запишите произведение в виде степени:

б)

2. Представьте в виде квадрата числа:

16 ; 0,25 ; .

3. Представьте в виде куба числа:

125 ; 0,027 ; .

4. Найти значения выражений :

Для любого числа а и произвольных чисел m и n выполняется:

Правило: При умножении степеней с одинаковыми основаниями основания оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

a m a n a k = a m + n a k = a ( m + n ) + k = a m + n + k

1. Представить в виде степени:

б) y• y 6 = y 1 • y 6 = y 1 + 6 = y 7

в) b 2 • b 5 • b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

г) 3 4 • 9 = 3 4 • 3 2 = 3 6

д) 0,01• 0,1 3 = 0,1 2 • 0,1 3 = 0,1 5

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

б) 3 2 • 3 5 = 3 7 = 2187

1. Представить в виде степени:

д) 2 3 •2 4 к) 0,3 3 •0,09

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

б) 3 4 •3 2 г) 27• 243

Для любого числа а0 и произвольных натуральных чисел m и n, таких, что m>n выполняется:

по определению частного:

Правило: При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Определение: Степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице:

1. Представьте в виде степени частное:

г) с 5 :с 0 = с 5 :1 = с 5

2. Найдите значения выражений:

б) 10 20 :10 17 = 10 3 = 1000

в)

г)

д)

1. Представьте в виде степени частное:

2. Найдите значения выражений:

в)

г)

д)

Возведение в степень произведения.

Для любых а и b и произвольного натурального числа n:

По определению степени

( ab ) n =

Сгруппировав отдельно множители а и множители b, получим:

=

Доказанное свойство степени произведения распространяется на степень произведения трех и более множителей.

( a• b• c ) n = a n •b n •c n ;

Правило: При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результат перемножают.

1. Возвести в степень:

б) (2• х• у ) 3 =2 3 •х 3 •у 3 = 8• х 3 •у 3

в) ( 3• а ) 4 = 3 4 •а 4 = 81• а 4

д) (-0,2• х• у ) 2 = (-0,2) 2 •х 2 •у 2 = 0,04• х 2 •у 2

е) (-3• a• b• c ) 4 = (-3) 4 •a 4 •b 4 •c 4 = 81• a 4 •b 4 •c 4

2. Найти значение выражения:

а) (2• 10) 4 = 2 4 •10 4 = 16• 1000 = 16000

б) (3• 5• 20) 2 = 3 2 •100 2 = 9• 10000= 90000

в) 2 4 •5 4 = (2• 5) 4 = 10 4 = 10000

г) 0,25 11 •4 11 = (0,25• 4) 11 = 1 11 = 1

д)

1. Возвести в степень:

е)

2. Найти значение выражения:

г)

д)

Возведение в степень степени.

Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n:

По определению степени

( а m ) n =

Правило: При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.

1. Возвести в степень:

( а 3 ) 2 = а 6 ( х 5 ) 4 = х 20

( у 5 ) 2 = у 10 ( b 3 ) 3 = b 9

2. Упростите выражения:

а) а 3 •( а 2 ) 5 = а 3 •а 10 = а 13

б) ( b 3 ) 2 •b 7 = b 6 •b 7 = b 13

в) ( х 3 ) 2 •( х 2 ) 4 = х 6 •х 8 = х 14

г) ( у• у 7 ) 3 = ( у 8 ) 3 = у 24

3. Найдите значение выражений:

а)

б)

1. Возвести в степень:

в) ( у 3 ) 2 г) ( b 4 ) 4

2. Упростите выражения:

3. Найдите значение выражений:

а)

б)

Приложение

1ю Запишите произведение в виде степени:

б)

2. Представьте в виде квадрата числа:

25 ; 0,16 ; .

3. Представьте в виде куба числа:

64 ; 0,125 ; .

4. Найти значения выражений:

1. Запишите произведение в виде степени:

б)

в) с• с• с• с• с• с• с• с• с

2. Представьте в виде квадрата числа: 100 ; 0,49 ; .

3. Представьте в виде куба числа:

1000 ; 0,008 ; .

4. Найти значения выражений :

1. Запишите произведение в виде степени:

б)

д) ( bс ) • ( bс ) • ( bс ) • ( bc )

2. Представьте в виде квадрата числа:

81 ; 0,64 ;.

3. Представьте в виде куба числа:

216 ; 0,064 ; .

4. Найти значения выражений :

1. Представить в виде степени:

д) 2 2 •2 5 к) 0,2 3• 0,04

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

1. Представить в виде степени:

д) 2 3 •2 6 к) 0,3 4 •0,27

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

1. Представить в виде степени:

б) х 7 •х 8 ж) 3 4 •27

д) 2 4 •2 5 к) 0,2 2 •0,008

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

1. Представьте в виде степени частное:

2. Найдите значения выражений:

в)

г)

д)

1. Представьте в виде степени частное:

2. Найдите значения выражений:

в)

г)

д)

1. Представьте в виде степени частное:

2. Найдите значения выражений:

в)

г)

д)

Возведение в степень произведения.

1. Возвести в степень:

2. Найти значение выражения:

д)

1. Возвести в степень:

е)

2. Найти значение выражения:

г)

1. Возвести в степень:

2. Найти значение выражения:

д)

Возведение в степень степени.

1. Возвести в степень:

2. Упростите выражения:

3. Найдите значение выражений:

а)

б)

1. Возвести в степень:

2. Упростите выражения:

3. Найдите значение выражений:

а)

б)

1. Возвести в степень:

2. Упростите выражения:

3. Найдите значение выражений:

а)

б)

Источник

Свойства степеней: формулировки, доказательства, примеры

Ранее мы уже говорили о том, что такое степень числа. Она имеет определенные свойства, полезные в решении задач: именно их и все возможные показатели степени мы разберем в этой статье. Также мы наглядно покажем на примерах, как их можно доказать и правильно применить на практике.

Свойства степени с натуральным показателем

1. Главное свойство степени: a m · a n = a m + n

2. Свойство частного для степеней, имеющих одинаковые основания: a m : a n = a m − n

3. Свойство степени произведения: ( a · b ) n = a n · b n

Равенство можно расширить до: ( a 1 · a 2 · … · a k ) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

4. Свойство частного в натуральной степени: ( a : b ) n = a n : b n

Можно обобщить до: ( ( ( a n 1 ) n 2 ) … ) n k = a n 1 · n 2 · … · n k

6. Сравниваем степень с нулем:

7. Равенство a n b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Неравенство a m > a n будет верным при условии, что m и n – натуральные числа, m больше n и а больше нуля и не меньше единицы.

Далее мы разберем каждое свойство подробно и попробуем привести доказательства.

Основное определение степеней с натуральными показателями позволит нам преобразовать равенство в произведение множителей. Мы получим запись такого вида:

Разберем конкретный пример, подтверждающий это.

Выполним необходимые математические действия: 2 2 · 2 3 = ( 2 · 2 ) · ( 2 · 2 · 2 ) = 4 · 8 = 32 и 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

Теперь мы можем перейти к доказательству. Из ранее изученного вспомним основные свойства дробей и сформулируем равенство так:

a m − n · a n = a ( m − n ) + n = a m

Из него можно вывести: a m − n · a n = a m

Подставим конкретные числа для наглядности в показатели, а основание степени обозначим π : π 5 : π 2 = π 5 − 3 = π 3

Согласно базовому определению степени с натуральным показателем мы можем переформулировать равенство так:

Если множителей у нас три и больше, то это свойство также распространяется и на этот случай. Введем для числа множителей обозначение k и запишем:

( a 1 · a 2 · … · a k ) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

Начнем сразу с примера: ( 5 2 ) 3 = 5 2 · 3 = 5 6

А теперь сформулируем цепочку равенств, которая докажет нам верность равенства:

a p q y s = a p · q · y · s

6. Еще одно свойство степеней с натуральным показателем, которое нам нужно доказать, – свойство сравнения.

Если умножить одно положительное число на другое, то мы получим также положительное число. Зная этот факт, мы можем сказать, что от числа множителей это не зависит – результат умножения любого числа положительных чисел есть число положительное. А что же такое степень, как не результат умножения чисел? Тогда для любой степени a n с положительным основанием и натуральным показателем это будет верно.

Также очевидно, что степень с основанием, равным нулю, сама есть ноль. В какую бы степень мы не возводили ноль, он останется им.

Вспомним, как правильно умножать отрицательные числа: произведение a · a равно произведению модулей, а, следовательно, оно будет положительным числом. Тогда и степень a 2 · m также положительны.

Тогда

7. Далее разберем следующее свойство, формулировка которого такова: из двух степеней, имеющих одинаковый натуральный показатель, больше та, основание которой больше (и наоборот).

8. Нам осталось доказать последнее свойство: если у нас есть две степени, основания которых одинаковы и положительны, а показатели являются натуральными числами, то та из них больше, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше.

Докажем эти утверждения.

Пример с конкретными числами: 3 7 > 3 2

Основные свойства степеней с целыми показателями

Для степеней с целыми положительными показателями свойства будут аналогичны, потому что целые положительные числа являются натуральными, а значит, все равенства, доказанные выше, справедливы и для них. Также они подходят и для случаев, когда показатели отрицательны или равны нулю (при условии, что само основание степени ненулевое).

Таким образом, свойства степеней такие же для любых оснований a и b (при условии, что эти числа действительны и не равны 0 ) и любых показателей m и n (при условии, что они являются целыми числами). Запишем их кратко в виде формул:

1. a m · a n = a m + n

2. a m : a n = a m − n

3. ( a · b ) n = a n · b n

4. ( a : b ) n = a n : b n

Доказательства этих свойств в данном случае несложные. Нам потребуется вспомнить, что такое степень с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами.

Условия: p = 0 или натуральное число; q – аналогично.

( a 0 ) q = 1 q = 1 a 0 · q = a 0 = 1

Следовательно, ( a 0 ) q = a 0 · q

Для q = 0 все точно так же:

( a p ) 0 = 1 a p · 0 = a 0 = 1

Вспомним доказанное выше свойство частного в степени и запишем:

1 a p q = 1 q a p q

Остальные свойства степени можно доказать аналогичным образом, преобразовав имеющиеся неравенства. Подробно останавливаться мы на этом не будем, укажем только сложные моменты.

Тогда неравенство можно преобразовать следующим образом:

Запишем правую и левую части в виде разности и выполним необходимые преобразования:

Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается аналогично свойству степеней с показателями натуральными.

Основные свойства степеней с рациональными показателями

В предыдущих статьях мы разбирали, что такое степень с рациональным (дробным) показателем. Их свойства такие же, что и у степеней с целыми показателями. Запишем:

Согласно тому, что из себя представляет степень с дробным показателем, получим:

Свойства корня позволят нам вывести равенства:

a m 1 · m 2 n 1 · n 2 · a m 2 · m 1 n 2 · n 1 = a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2

Из этого получаем: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Показатель степени можно записать в виде:

m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 = m 1 · n 2 n 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Это и есть доказательство. Второе свойство доказывается абсолютно так же. Запишем цепочку равенств:

Доказательства остальных равенств:

a · b m n = ( a · b ) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; ( a : b ) m n = ( a : b ) m n = a m : b m n = = a m n : b m n = a m n : b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 · m 2 n 1 n 2 = = a m 1 · m 2 n 2 · n 1 = a m 1 · m 2 n 2 · n 1 = a m 1 n 1 · m 2 n 2

Используем свойство корней и выведем: a m n b m n

Рациональные числа p и q можно привести к общему знаменателю и получить дроби m 1 n и m 2 n

Их можно переписать в следующем виде:

a m 1 n a m 2 n a m 1 n > a m 2 n

Тогда можно сделать преобразования и получить в итоге:

a m 1 n a m 2 n a m 1 n > a m 2 n

Основные свойства степеней с иррациональными показателями

1. a p · a q = a p + q

2. a p : a q = a p − q

3. ( a · b ) p = a p · b p

4. ( a : b ) p = a p : b p

Таким образом, все степени, показатели которых p и q являются действительными числами, при условии a > 0 обладают теми же свойствами.

Источник

Свойства степеней и действия с ними

Зачем нужны степени? Где они тебе пригодятся? Почему тебе нужно тратить время на их изучение?

Как обычно — чтобы облегчить себе жизнь. Знание свойств степеней позволит тебе упрощать вычисления и считать быстрее, что пригодится и в жизни и на ОГЭ или ЕГЭ!

Чтобы узнать все о степенях и научиться пользоваться свойствами степеней, читай эту статью.

P.S Если ты хорошо знаешь степени и тебе надо только повторить, переходи сразу к продвинутому уровню.

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Степени. Коротко о главном

Определение степени:

Свойства степеней:

Особенности степеней:

Возведение в степень – это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.

Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи. Начнем со сложения.

Сложение

Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно – 16 бутылок. Теперь умножение.

Умножение

Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: \(\displaystyle 2\cdot 8=16\).

Математики — люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать».

В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением.

Согласись, \(\displaystyle 2\cdot 8=16\) считается легче и быстрее, чем \(\displaystyle 2+2+2+2+2+2+2+2=16\).

И еще одна важная деталь. Ошибок при таком счете делается гораздо меньше. Математики из Стэнфорда, кстати, считают, что человек, знающий приемы счета, делает это в два раза легче и быстрее и совершает в два раза меньше ошибок. Работы меньше, а результат лучше.

Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками, но лучше ее запомнить! Вот таблица умножения. Выучи ее наизусть.

И другая таблица, красивее:

А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно – возведение числа в степень.

Возведение числа в степень

Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень.

Например, \(\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=<<2>^<5>>\). Математики помнят, что два в пятой степени – это \(\displaystyle 32\).

И решают такие задачки в уме – быстрее, легче и без ошибок.

Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел. Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь.

Кстати, почему вторую степень называют квадратом числа, а третью — кубом? Что это значит? Очень хороший вопрос. Сейчас будут тебе и квадраты, и кубы.

Примеры из жизни

Начнем с квадрата или со второй степени числа.

Представь себе квадратный бассейн размером \( \displaystyle 3\) метра на \( \displaystyle 3\) метра. Бассейн стоит у тебя на даче. Жара и очень хочется купаться.

Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать площадь дна бассейна.

Ты можешь просто посчитать, тыкая пальцем, что дно бассейна состоит из \( \displaystyle 9\) кубиков метр на метр. Если у тебя плитка метр на метр, тебе нужно будет \( \displaystyle 9\) кусков. Это легко…

Но где ты видел такую плитку? Плитка скорее будет \( \displaystyle 10\) см на \( \displaystyle 10\) см. И тогда «пальцем считать» замучаешься. Тогда придется умножать.

Итак, по одной стороне дна бассейна у нас поместится \( \displaystyle 30\) плиток (\( \displaystyle \frac<300\ см><10\ см>=30\) штук) и по другой тоже \( \displaystyle 30\) плиток.

Ты заметил, что для определения площади дна бассейна мы умножили одно и то же число само на себя? Что это значит? Раз умножается одно и то же число, мы можем воспользоваться приемом «возведение в степень».

Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше.

Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И наоборот, если ты видишь квадрат – это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа.

Квадрат – это изображение второй степени числа.

Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?)

Нарисуй бассейн: дно размером \( \displaystyle 3\) на \( \displaystyle 3\) метра и глубиной \( \displaystyle 3\) метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов размером метр на метр войдет в твой бассейн.

Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать?

Так-то! Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту.

В нашем случае объем бассейна будет равен \( \displaystyle 3\cdot 3\cdot 3=27\) кубов… Легче правда?

А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя…

Остается только запомнить таблицу степеней. Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый как математики. Если любишь много работать и делать ошибки – можешь продолжать считать пальцем.

Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара примеров из жизни.

У тебя есть \( \displaystyle 2\) миллиона рублей. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще один миллион. То есть каждый твой миллион в начале каждого года удваивается. Сколько денег у тебя будет через \( \displaystyle 5\) лет?

Если ты сейчас сидишь и «считаешь пальцем», значит ты очень трудолюбивый человек и.. глупый. Но скорее всего ты дашь ответ через пару секунд, потому что ты – умный! Итак, в первый год — два умножить на два… во второй год — то, что получилось, еще на два, в третий год… Стоп!

Ты заметил, что число \( \displaystyle 2\) перемножается само на себя \( \displaystyle 6\) раз. Значит, два в шестой степени – \( \displaystyle 64\) миллиона! А теперь представь, что у вас соревнование и эти \( \displaystyle 64\) миллиона получит тот, кто быстрее посчитает…

Стоит запомнить степени чисел, как считаешь?

У тебя есть \( \displaystyle 1\) миллион. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще два. Здорово правда? Каждый миллион утраивается. Сколько денег у тебя будет через \( \displaystyle 4\) года?

Уже скучно, потому что ты уже все понял: три умножается само на себя \( \displaystyle 4\) раза.

Теперь ты знаешь, что с помощью возведения числа в степень ты здорово облегчишь себе жизнь. Давай дальше посмотрим на то, что можно делать со степенями и что тебе нужно знать о них.

Источник