Таблица производных функций
10 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Что такое производная и зачем она нужна
Прежде чем переходить к таблице для вычисления производных, дадим определение производной. В учебнике оно звучит так:
Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
Если же говорить простыми словами, то производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция меняется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.
Объясним на примере: допустим, Маша решила по утрам делать зарядку и стоять в планке. В первую неделю она держалась каждый день по 10 секунд, но начиная со второй недели смогла стоять в планке с каждым днем на 3 секунды дольше. Успехи Маши можно описать следующими графиками:
Очевидно, что в первую неделю результаты Маши не менялись (т. е. были константой), скорость прироста оставалась нулевой. Если мы заглянем в таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.
Во вторую неделю время выполнения планки с 10 сек начало увеличиваться на 3 сек ежедневно.
Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от х равна 1.
Вот так с помощью таблицы производных и элементарной математики мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 сек в день.
Это был очень простой пример, который в общих чертах объясняет азы дифференциального исчисления и помогает понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но разобраться в решении задач, где скорость меняется нелинейно, конечно, не так просто.
Быстрее освоить производные поможет обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.
Производные основных элементарных функций
Таблица производных для 10 и 11 класса может включать только элементарные часто встречающиеся функции. Приведем несколько формул, которых достаточно для решения большинства задач.
Примеры сложных функций
Сложная функция — это функция от функции. Если u — функция от x, то есть u=u(x), а f — функция от u: f=f(u), то функция y=f(u) — сложная.
А u в этом случае называют промежуточным аргументом. Еще часто f называют внешней функцией, а u — внутренней. Лучший способ понять, что такое сложная функция — рассмотреть примеры сложных функций.
1) y=sin x — эта функция «простая». Синус зависит от x. Как только вместо x под знаком синуса появится выражение, зависящее от x, даже самое простое — такая функция называется сложной. То есть y=sin u — сложная функция, если u — некоторая функция от x. Примеры сложных функций с синусом:
y=sin (x+1). Эта функция — сложная. Внутренняя функция u здесь равна x+1, а внешняя функция f — это синус. То есть u=x+1, f=sin u.
y=sin (5x-2x³+3). Внутренняя функция u=5x-2x³+3, внешняя функция f=sin u.
y=sin (x/7). Внутренняя функция u=x/7, внешняя функция f=sin u.
2) y=cos x — «простая» функция. y=cos u — сложная функция, если u — некоторая функция, зависящая от x. Примеры сложных функций с внешней функцией — косинусом:
y=cos (4-11x). Внутренняя функция u=4-11x, внешняя функция — косинус: y=cos u.
3) y=tg x — «простая» функция. y = tg u — сложная функция, если u=u(x). Примеры сложных функций для случаев, когда внешняя функция — тангенс:
y=tg(17+5x²). Внутренняя функция u=17+5x², внешняя — y=tg u.
y=tg(9-x). Внутренняя u=9-x, внешняя — y=tg u.
4) y=ctg x — «простая» функция. y=ctg u — сложная функция, если u=u(x). Примеры сложных функций для случаев, когда внешняя функция — котангенс:
y=ctg(2x+6). Внутренняя функция u=2x+6, внешняя — y=ctg u.
5) y=√x — «простая» функция. y=√u — сложная, если u=u(x). Примеры сложных функций для случаев, когда внешняя функция — квадратный корень:
Здесь внутренняя функция y=sin x, а внешняя — f=√u.
6) y=xⁿ — «простая» функция. y=uⁿ — сложная, если u=u(x). Примеры сложных функция для случая, когда внешняя функция — степенная.
y=sin³x. Внутренняя функция y=sin x (так как sin³x=(sin x)³), внешняя — у=u³.
7) y=arcsin x — «простая» функция. y=arcsin u — сложная, когда u=u(x).
Например, y=arcsin (3x-9) — сложная функция. Внутренняя функция u=3x-9, внешняя — f=arcsin u.
y=arcsin (17-5x³). u=17-5x³, f=arcsin u.
8) y=arccos x — «простая» функция. y=arccos u — сложная, при u=u(x).
Например, y=arccos (34x+5) — сложная функция. Внутренняя функция u=34x+5, внешняя — f=arccos u.
9) y=arctg x — «простая» функция. y=arctg u — сложная, при u=u(x).
Например, y= arctg (6x+2x³-7). Внутренняя функция u =6x+2x³-7, внешняя — f=arctg u.
10) y=arcctg x — «простая функция. При u=u(x) функция y=arcctg u — сложная.
Например, y= arcctg(2-11x+x²) — сложная функция. u=2-11x+x², f= arcctg u.
11) y=ln x — «простая» функция. y= ln u — сложная, при u=u(x).
Например, y=ln(4+32x-2x³). Внутренняя функция y=4+32x-2x³, внешняя — f=ln u.
Это — «простая» функция. А вот при u=u(x) получаем логарифм сложной функции:
Эта функция — «простая» (называется экспонента). А вот если в показателе стоит не x, а некоторая функция от икса: u=u(x), то это — уже экспонента сложной функции:
Эта функция — «простая». А вот если в показателе стоит не x, а некоторое выражение с x — функция u=u(x), то это уже степень сложной функции:
Эта функция — сложная. Внутренняя функция u=8x³+5x, а внешняя — степень сложной функции
Следует добавить, что внутренняя функция u, в свою очередь, может быть сложной функцией. И таких «вложенных» функций может быть несколько (теоретически — сколько угодно).
1) y=cos³(3x-12). Здесь внутренняя функция u =cos(3x-12), а внешняя функция f=u³. Но внутренняя функция y=cos(3x-12), в свою очередь, тоже является сложной функцией. Для нее внутренняя функция u=3x-12, а внешняя f=cos x.
Сначала рассмотрим эту функцию, как логарифм сложной функции. Тогда внутренняя функция
В свою очередь, функция
— тоже сложная. Это — синус сложной функции, то есть
Но u — снова сложная функция. Здесь уже внутренняя функция u=2x²+5x, а внешняя f=√u.
Сложная функция. Производная сложной функции
Раз ты зашел сюда, то уже, наверное, успел увидеть в учебнике эту формулу
и сделать вот такое лицо:
Друг, не переживай! На самом деле все просто до безобразия. Ты обязательно все поймешь. Только одна просьба – прочитай статью не торопясь, старайся понять каждый шаг. Я писал максимально просто и наглядно, но вникнуть в идею всё равно надо. И обязательно реши задания из статьи.
Что такое сложная функция?
Представь, что ты переезжаешь в другую квартиру и поэтому собираешь вещи в большие коробки. Пусть надо собрать какие-нибудь мелкие предметы, например, школьные письменные принадлежности. Если просто скидать их в огромную коробку, то они затеряются среди других вещей. Чтобы этого избежать, ты сначала кладешь их, например, в пакет, который затем укладываешь в большую коробку, после чего ее запечатываешь. Этот «сложнейший» процесс представлен на схеме ниже:
Например, возьмем x и «запакуем» его в функцию косинуса :
Что получится в итоге? Да, верно, будет «пакет с вещами в коробке», то есть «косинус икса в кубе».
В школьном курсе видов этих самых «упаковок» совсем мало, всего четыре :
Напиши теперь сам функции, где икс:
— сначала «упаковывается» в косинус, а потом в показательную функцию с основанием \(3\);
— сначала в пятую степень, а затем в тангенс;
— сначала в логарифм по основанию \(4\) , затем в степень \(-2\).
Ответы на это задание посмотри в конце статьи.
А можем ли мы «упаковать» икс не два, а три раза? Да, без проблем! И четыре, и пять, и двадцать пять раз. Вот, например, функция, в которой икс «упакован» \(4\) раза:
«Распаковка» сложной функции
Теперь правильный ответ: сначала икс «упаковали» в \(4\)-ую степень, потом результат упаковали в синус, его в свою очередь поместили в логарифм по основанию \(2\), и в конце концов всю эту конструкцию засунули в степень пятерки.
То есть разматывать последовательность надо В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ. И тут подсказка как это делать проще: сразу смотри на икс – от него и надо плясать. Давай разберем несколько примеров.
\(x → \log_2x → tg(\log_2x )\)
Еще пример: \(y=\cos<(x^3 )>\). Анализируем – сначала икс возвели в куб, а потом от результата взяли косинус. Значит, последовательность будет: \(x → x^3 → \cos<(x^3 )>\). Обрати внимание, функция вроде бы похожа на самую первую (там, где с картинками). Но это совсем другая функция: здесь в кубе икс (то есть \(\cos<(x·x·x)>)\), а там в кубе косинус \(x\) (то есть, \(\cosx·\cosx·\cosx\)). Эта разница возникает из-за разных последовательностей «упаковки».
Последний пример (с важной информацией в нем): \(y=\sin<(2x+5)>\). Понятно, что здесь сначала сделали арифметические действия с иксом, потом от результата взяли синус: \(x → 2x+5 → \sin<(2x+5)>\). И это важный момент: несмотря на то, что арифметические действия функциями сами по себе не являются, здесь они тоже выступают как способ «упаковки». Давай немного углубимся в эту тонкость.
Однако если к такой комбинации применить еще одну функцию – будет уже сложная функция, так как «упаковок» станет две. Смотри схему:
Хорошо, давай теперь сам. Напиши последовательность «заворачивания» функций:
\(y=cos<(sinx)>\)
\(y=5^
\(y=arctg<11^x>\)
\(y=log_2(1+x)\)
Ответы опять в конце статьи.
Внутренняя и внешняя функции
Зачем же нам нужно разбираться во вложенности функций? Что нам это дает? Дело в том, что без такого анализа мы не сможем надежно находить производные разобранных выше функций.
Вот в этом примере: \(y=tg(log_2x )\), функция \(\log_2x\) – внутренняя, а 
— внешняя.
Заполни пропуски в таблице:
Производная сложной функции
Браво нам, мы всё ж таки добрались до «босса» этой темы – собственно, производной сложной функции, а конкретно, до той самой ужасной формулы из начала статьи.☺
Формула эта читается так:
Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по неизменной внутренней на производную внутренней функции.
И сразу смотри схему разбора «по словам» чтобы понимать, что к чему относится:
Ответ: это обычная производная внешней функции, при которой изменяется только внешняя функция, а внутренняя остается такой же. Все равно непонятно? Хорошо, давай на примере.
Пусть у нас есть функция \(y=\sin(x^3 )\). Понятно, что внутренняя функция здесь \(x^3\), а внешняя 
. Найдем теперь производную внешней по неизменной внутренней.
Тогда производная внешней функции по неизменной внутренней для нашего случая будет \(\cos(x^3)\). То есть, мы взяли ее как обычную производную синуса, а содержимое синуса (внутреннюю функцию) просто скопировали в полученную производную (косинус), ничего в ней не меняя.
Таким образом, на данный момент имеем:
Осталась «производная внутренней функции». Ну, это совсем легко – обычная производная от внутренней функции, при этом внешняя не влияет вообще никак. В нашем примере, производная от \(x^3\).
Все, теперь можем писать ответ:
Вот так. Давай еще один пример разберем.
Пусть надо найти производную функции \(y=(\sinx )^3\).
Анализируем. Последовательность «заворачивания» у нас такая: \(x → \sinx → (\sinx )^3\). Значит, в данном примере внутренняя функция это \(\sinx\), а внешняя 
.
Производная внешней по внутренней – это производная куба (содержимое куба при этом не меняется). Так как 
, а в нашем случае в куб «завернут» \(\sinx\), то производная внешней будет \(3(\sinx)^2\). То есть, имеем:
Ну, а производная внутренней – это просто производная синуса икс, то есть косинус икс.
Понятно?
Ладно, ладно, вот еще один пример с разбором. ☺
Пример. Найти производную сложной функции \(y=\ln(x^2-x)\).
Ну и напоследок можно немного «причесать» ответ, чтоб никто не докопался:
Что, еще примеров желаешь? Легко.
Еще пример с важным замечанием в нем.
Пример. Найти производную сложной функции \(y=\sqrt
Вложенность функций: \(x → x^6 → \sqrt
Внутренняя: \(x^6\) Внешняя: 
Производная внешней по внутренней: \(\sqrt
Производная внутренней: \((x^6)’= 6x^5\)
Имеем: \((\sqrt
И теперь упростим ответ. Вспомним свойство корня: \(\sqrt[b]
Всё. А теперь, собственно, важное замечание:
Давай рассмотрим пример, где эта идея нам сильно поможет.
Пример. Найти производную сложной функции \(y=\ln(x^3)\).
Можно, конечно, рассмотреть вложенность функций: \(x → x^3 → \ln(x^3 )\), разобрать на внутреннюю и внешнюю и так далее. Но можно вспомнить свойство логарифма: \(\log_a
Теперь задачка посложнее, для продвинутых. Решим пример с тройной вложенностью!
Пример. Найти производную сложной функции \(y=3^<\sin(x^4+1)>\).
Вложенность функций: \(x → x^4+1 → \sin(x^4+1) → 3^<\sin(x^4+1)>\)
Внутренняя: \(x^4+1\) Средняя: Внешняя:
Сначала производная внешней по средней. Вспоминаем таблицу производных: 
. Значит, в нашем случае будет \(3^<\sin(x^4+1)>·\ln3\).
Хорошо, теперь производная средней по внутренней. По таблице: 
. Значит, мы получим, \(\sin(x^4+1)’=\cos(x^4+1)\).
И наконец, производная внутренней: \((x^4+1)’=(x^4 )’+(1)’=4x^3\).
Отлично. Теперь собираем все вместе, перемножая отдельные производные:
Готово. Да, это ответ. ☺
Ну, а что ты хотел, я сразу сказал – пример для продвинутых! А представь, что будет с четырехкратной или пятикратной вложенностью? ☺
Пример: Найти производную сложной функции \(y=tg(7^x)\).
Ну, теперь думаю всё понятно? И снова повторю – не пугайся сложных конструкций в ответах и промежуточных вычислениях. Они «на лицо ужасные», но зато добрые (в смысле простые) внутри. ☺ Пойми принцип и делай все последовательно.
Последний пример. Такие задания в разных вариациях весьма часто дают на контрольных и тестах. Он вроде как считается сложным. ☺ Хех, наивные учителя. ☺
Пример: Найти производную сложной функции \(y=\sqrt[3]<(x^5+2x-5)^2>\).
Казалось бы, опять у нас тройная вложенность функций:
Но давай снова воспользуемся свойством корня \(\sqrt[b]
Вот так. И теперь у нас вложенность двойная: \(x → x^5+2x-5 → (x^5+2x-5)^<\frac<2><3>>\)
При этом функция осталась той же! Удобное свойство, однако. Стоит его запомнить, да? ☺ Ладно, поехали дальше.
Внутренняя функция: \(x^5+2x-5\). Внешняя: 
.
Производная внешней по внутренней. По таблице производных общая формула производной степенной функции: 
. Получаем: 
. Тогда в нашем случае будет: \(\frac<2><3>(x^5+2x-5)^<-\frac<1><3>>\).
Производная внутренней: \((x^5+2x-5)’=5x^4+2\).
Общий результат: \(y ‘=(\sqrt[3]<(x^5+2x-5)^2>)’=((x^5+2x-5)^<\frac<2><3>> )’=\frac<2><3>(x^5+2x-5)^<-\frac<1><3>>·(5x^4+2)\).
Ну, и перемножаем дроби.
Найти производные функций:
Ответы ко всем заданиям (вперемежку).
\(x → 1+x → \log_2 <(1+x)>\)
\(x → 11^x → arctg(11^x) \)
\(x → x^7 → 5^
\(x → \sinx → \cos(\sinx)\)
Построение графиков функций
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие функции
Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида 
область определения выглядит так
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Понятие графика функции
Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.
График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.
Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.
Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.
В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.
Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:
Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.
Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.
Исследование функции
Важные точки графика функции y = f(x):
Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.
Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.
Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.
Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.
Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке: 
Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.
Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.
Схема построения графика функции:
У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Построение графика функции
Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.
Задача 1. Построим график функции 
Упростим формулу функции:
Задача 2. Построим график функции
Выделим в формуле функции целую часть:
График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции 
Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.
Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.
Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.
Ветви вниз, следовательно, a 0.
Точка пересечения с осью Oy — c = 0.
Координата вершины 
, т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.
Ветви вниз, следовательно, a 0.
Координата вершины 
, т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b
| x | y |
| 0 | -1 |
| 1 | 2 |
| x | y |
| 0 | 2 |
| 1 | 1 |
| x | y |
| 0 | 0 |
| 1 | 2 |
k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.
Задача 5. Построить график функции 
Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.
Нули функции: 3, 2, 6.
Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.
Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.
Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.
Вот так выглядит график:
Задача 6. Построить графики функций:
б) 
г) 
д) 
Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.
а) 
Преобразование в одно действие типа f(x) + a.
Сдвигаем график вверх на 1:
б)
Сдвигаем график вправо на 1:
Сдвигаем график вправо на 1:
Сдвигаем график вверх на 2:
г) 
Преобразование в одно действие типа 
Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:
д) 
Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.
Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:
Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:
Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:
