Что такое внутренняя точка пространственной фигуры
Что такое внутренняя точка пространственной фигуры
Определения границы фигуры и ее внутренности вполне соответствуют наглядным представлениям о них. То, что точка А лежит на границе фигуры F означает, что сколь угодно близко к ней, кроме точек самой фигуры F, имеются также и точки, не принадлежащие фигуре F (рис. 10.2).
Итак, точка называется граничной для данной фигуры, если сколь угодно близко от нее есть точки, как принадлежащие фигуре, так и не принадлежащие ей. Выражение «сколь угодно близко» означает «на сколь угодно малом расстоянии». Реальные примеры граничных точек — точки на границе государства или на границе садового участка.
Множество граничных точек фигуры называется ее границей.
Точка фигуры, не лежащая на ее границе, называется внутренней точкой фигуры.
Множество внутренних точек фигуры называется ее внутренностью.
Внутренность фигуры получается, если из фигуры исключены все ее граничные точки, т.е. удалена ее граница. Например, сфера радиусом R с центром О является границей шара радиуса R и тем же центром О. Множество точек X, для которых 
является внутренностью этого шара.
Граница фигуры может принадлежать ей, а может и не принадлежать или принадлежать отчасти, как, скажем, у куба с одной или со всеми исключенными гранями.
Точки, которые не являются ни внутренними, ни граничными для фигуры, называются внешними для нее точками.
Данные общие определения относятся не только к стереометрии, но также и к планиметрии. В планиметрии точка называется граничной для данной фигуры, если сколь угодно близко от нее есть точки плоскости, как принадлежащие фигуре, так и не принадлежащие ей. Внутренние точки фигуры — это те точки, вблизи которых нет точек плоскости, не принадлежащих фигуре. Например, окружность круга — это его граница на плоскости, и, исключая ее, получаем внутренность круга на плоскости.
В стереометрии фигура рассматривается в пространстве. Граничные точки фигуры — это те, сколь угодно близко к которым есть точки пространства, как принадлежащие фигуре, так и не принадлежащие ей.
Поэтому если плоская фигура рассматривается как фигура в пространстве, то, очевидно, сколь угодно близко к любым ее точкам есть точки пространства, ей не принадлежащие, — точки вне плоскости фигуры. Как фигура в пространстве, она сплошь состоит из граничных точек.
Следовательно, понятия границы и внутренности относительны: говоря о внутренних точках или о границе, нужно иметь в виду, относительно чего они берутся. Так, например, можно говорить о внутренних и граничных точках фигуры на сфере относительно сферы и т.п.
На плоскости точки, расположенные от данной точки А не более чем на данное расстояние 
, образуют круг с центром в точке А. В пространстве же такие точки образуют шар. Поэтому внутренние и граничные точки фигуры можно характеризовать следующим образом.
В пространстве точка А является граничной точкой фигуры F, если во всяком шаре с центром А (как бы он мал не был) содержатся точки, как принадлежащие фигуре, так и не принадлежащие ей. Точка В является внутренней точкой фигуры, если есть шар с центром В, который целиком содержится в фигуре, т.е. не содержит точек, не принадлежащих фигуре (рис. 10.3).
На плоскости граничные и внутренние точки характеризуются так же, только вместо шара берется круг.
Что такое внутренняя точка пространственной фигуры
ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА
Обычно в школьных курсах геометрии дается следующее определение многогранника.
Определение. Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников.
При этом понятия тела и поверхности, хотя и имеют наглядный смысл, нуждаются в уточнении. Причем их строгие определения используют основные понятия топологии: внутренняя и граничная точка, внутренность и граница, открытость, замкнутость, связность, ограниченность.
Напомним, что окрестностью U r (A) точки A пространства радиуса r называется фигура, стоящая из всех точек пространства, удаленных от точки A на расстояние, меньшее r. Таким образом,
Точка A пространства называется внутренней точкой фигуры Ф, если у нее существует окрестность, целиком содержащаяся в этой фигуре.
Точка A пространства называется внешней точкой фигуры Ф, если у нее существует окрестность, не содержащая точек фигуры Ф, т.е. целиком лежащая в дополнении к этой фигуре.
Точка A пространства называется граничной точкой фигуры Ф, если она не является ни внутренней, ни граничной точкой этой фигуры, т.е. в любой ее окрестности если как точки фигуры Ф, так и точки, не принадлежащие этой фигуре.
Внутренностью фигуры Ф называется фигура, состоящая из всех внутренних точек этой фигуры.
Фигура Ф называется открытой, если каждая ее точка является внутренней или, что то же самое, фигура Ф совпадает со своей внутренностью.
Границей фигуры Ф называется фигура, состоящая из всех граничных точек этой фигуры.
Фигура Ф называется замкнутой, если все ее граничные точки принадлежат Ф.
Фигура Ф называется ограниченной, если она целиком содержится в некоторой окрестности.
Фигура Ф называется линейно связной, если любые две ее точки можно соединить кривой, целиком содержащейся в этой фигуре.
Фигура Ф называется выпуклой, если любые две ее точки можно соединить отрезком, целиком содержащейся в этой фигуре.
Ясно, что выпуклая фигура является линейно связной. Обратное неверно.
Открытая линейно связная фигура называется областью.
Телом называется ограниченная область вместе со своей границей. Граница тела называется также его поверхностью.
Примерами тел являются куб, параллелепипед, пирамида, шар, цилиндр, конус и др.
Среди общих свойств фигур нам понадобятся следующие.
Примеры выпуклых и невыпуклых многогранников приведены на рисунках 1 и 2, соответственно.
Теорема 1. Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.
Действительно, грань многогранника можно представить как пересечение многогранника и плоскости, содержащей эту грань. После этого остается только воспользоваться свойством 2.
Заметим, что обратное утверждение неверно. А именно, из того, что гранями многогранника являются выпуклые многоугольники, не следует выпуклость самого многогранника. Попробуйте привести примеры таких многогранников.
Поэтому для многогранника справедливо требуемое равенство.
Дадим еще одно доказательство теоремы Эйлера. Рассмотрим какую-нибудь сферу, содержащую данный многогранник, и из внутренней точки многогранника спроектируем его поверхность на эту сферу. Образы ребер многогранника образуют сетку (граф) на сфере. Стянем одно из ребер этой сетки в его вершину. При этом число вершин и ребер уменьшится на единицу, а В – Р + Г не изменится. Будем повторять эту операцию для ребер с двумя вершинами. В результате мы придем к сетке из петель с одной общей вершиной. Будем теперь убирать петли до тех пор, пока не останется одна петля. При этом каждый раз число вершин не меняется, а число ребер и граней уменьшается на единицу. Следовательно В – Р + Г не меняется. Для одной петли на сфере очевидно имеют место равенства В = 1, Р = 1, Г = 2 и, следовательно, имеем равенство В – Р + Г = 2.
Отметим, что равенство Эйлера выполняется не только для выпуклых многогранников, но и для многогранников, поверхность которых гомеоморфна сфере.
На рисунке 3, а, б изображены многогранники, для которых равенство Эйлера не выполняется.
 |
Многогранник на рисунке 3, а получен вырезанием маленького куба внутри большого куба. Для этого многогранника выполняется равенство В – Р + Г = 4. Многогранник на рисунке 3, б получен вырезанием в кубе сквозного прямоугольного отверстия. Для этого многогранника выполняется равенство В – Р + Г = 0.
Задача. Приведите примеры невыпуклых многогранников, поверхности которых гомеоморфны сфере.
Задача. Приведите пример многогранника, поверхность которого не гомеоморфна сфере, но для которого выполняется равенство В – Р + Г = 2.
Рассмотрим несколько следствий теоремы Эйлера о выпуклых многогранниках.
Следствие 2. В любом выпуклом многограннике имеется грань с числом сторон, меньшим шести.
Следствие 3. Для любого выпуклого многогранника имеет место формула
Еще одной важной теоремой о выпуклых многогранниках является теорема Коши, доказанная им в 1813 г. и называемая теоремой о жесткости выпуклого многогранника. Она утверждает, что если два выпуклых многогранника, имеют соответственно равные грани, составленные одинаковым образом, то эти многогранники равны. При этом, слова «составленные одинаковым образом» означают, что если две грани одного многогранника имеют общее ребро, то и соответствующие им грани другого многогранника также имеют общее ребро.
Доказательство этой теоремы можно, например, найти в книгах [2], [3].
Для невыпуклых многогранников указанное в теореме Коши свойство перестает быть верным.
Задача. Приведите примеры двух неравных многогранников, имеющих соответственно равные грани, составленные одинаковым образом.
Определить, что точка внутри фигуры или нет?
Добрый день, по какой формуле или алгоритме можно определить, что точка внутри этой фигуры?
Вот решение и формула, код.
Rsa97, это сработает для любого контура выпуклого многоугольника (как на картинке).
Другой вариант определить что все точки многоугольника находятся выше, ниже, правее или левее искомой точки. Значит искомая точка находится вне фигуры. Опять же это справедливо только для выпуклых многоугольников.
Если многоугольник не выпуклый его нужно сделать выпуклым (не помню как) выделив один большой многоугольник и несколько маленьких вычитаемых. Тогда задача решается в два этапа: 1. определяем лежит ли точка внутри большого многоугольника. Если да то 2. определяем лижит ли точка внутри вычитаемых многоугольников.
Опять же, упираемся в точность вычислений. Если получили 359.9999991231 градус, то что это значит?
Ещё можно взять интеграл по контуру относительно точки, но там сложно распознать краевые случаи из-за погрешности вычислений.