Что такое волновая функция и ее физический смысл

Что такое волновая функция и ее физический смысл

Важным этапом в создании квантовой механики явилось обнаружение волновых свойств микрочастиц. Идея о волновых свойствах была первоначально высказана как гипотеза французским физиком Луи де Бройлем.

В физике в течение многих лет господствовала теория, согласно которой свет есть электромагнитная волна. Однако после работ Планка (тепловое излучение), Эйнштейна (фотоэффект) и других стало очевидным, что свет обладает корпускулярными свойствами.

Чтобы объяснить некоторые физические явления, необходимо рассматривать свет как поток частиц-фотонов. Корпускулярные свойства света не отвергают, а дополняют его волновые свойства.

Итак, фотон-элементарная частица света, обладающая волновыми свойствами.

Логично считать, что и другие частицы-электроны, нейтроны- обладают волновыми свойствами.

Формула для импульса фотона

была использована для других микрочастиц массой m, движущихся со скоростью v:

К.Дэвиссон и Л.Джермер впервые наблюдали дифракцию электронов на монокристалле никеля.

Может возникнуть вопрос: что происходит с отдельными частицами, как образуются максимумы и минимумы при дифракции отдельных частиц?

Опыты по дифракции пучков электронов очень малой интенсивности, то есть как бы отдельных частиц, показали, что при этом электрон не «размазывается» по разным направлениям, а ведет себя как целая частица. Однако вероятность отклонения электрона по отдельным направлениям в результате взаимодействия с объектом дифракции различная. Наиболее вероятно попадание электронов в те места, которые по расчету соответствуют максимумам дифракции, менее вероятно их попадание в места минимумов. Таким образом, волновые свойства присущи не только коллективу электронов, но и каждому электрону в отдельности.

4.4.2. Волновая функция и ее физический смысл

Если силовое поле, действующее на частицу, является стационарным, то есть не зависящим от времени, то ψ-функцию можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит от времени, а другой от координат:

В дальнейшем будем рассматривать только стационарные состояния; ψ-функция является вероятностной характеристикой состояния частицы. Поясним смысл этого утверждения.

Отсюда следует физический смысл волновой функции:

Интегрируя выражение (4.4.5) по некоторому объему V, находим вероятность нахождения частицы в этом объеме:

4.4.3. Соотношение неопределенностей

Одним из важных положений квантовой механики являются соотношения неопределенностей, предложенные В.Гейзенбергом.

В классической физике нет каких-либо ограничений, запрещающих с любой степенью точности одновременно измерить как одну, так и другую величину, то есть Δx→0 и Δр x→ 0.

Таким образом, чем точнее определена координата x (Δx→0), тем не менее точно определена проекция р x (Δp x→ ± ), и наоборот. Аналогично,

Поясним их одним модельным экспериментом.

При изучении явления дифракции было обращено внимание на то, что уменьшение ширины щели при дифракции приводит к увеличению ширины центрального максимума. Аналогичное явление будет и при дифракции электронов на щели в модельном опыте. Уменьшение ширины щели означает уменьшение Δ x (рис. 4.4.1), это приводит к большему «размазыванию» пучка электронов, то есть к большей неопределенности импульса и скорости частиц.

Рис. 4.4.1.Пояснение к соотношению неопределенности.

Соотношение неопределенностей можно представить в виде

«Размытость» уровней приводит к неопределенности энергии ΔE излучаемого фотона и его частоты Δν при переходе системы с одного энергетического уровня на другой:

Это проявляется в уширении спектральных линий.

4.4.4.Уравнение Шредингера

Применительно к стационарным состояниям уравнение Шредингера может быть записано так:

где m- масса частицы; ; Е и Е n –ее полная и потенциальная энергии (потенциальная энергия определяется силовым полем, в котором находится частица, и для стационарного случая не зависит от времени)

Если частица перемещается только вдоль некоторой линии, например вдоль оси ОХ (одномерный случай), то уравнение Шредингера существенно упрощается и принимает вид

Одним из наиболее простых примеров на использование уравнения Шредингера является решение задачи о движении частицы в одномерной потенциальной яме.

4.4.5. Применение уравнения Шредингера к атому водорода. Квантовые числа

Описание состояний атомов и молекул с помощью уравнения Шредингера является достаточно сложной задачей. Наиболее просто она решается для одного электрона, находящегося в поле ядра. Такие системы соответствуют атому водорода и водородоподобным ионам (однократно ионизированный атом гелия, двукратно ионизированный атом лития и т.п.). Однако и в этом случае решение задачи является сложным, поэтому ограничимся лишь качественным изложением вопроса.

Состояние электрона в атоме характеризуется не одним, а несколькими квантовыми числами.

Это выражение является решением уравнения Шредингера и полностью совпадает с соответствующей формулой теории Бора (4.2.30)

Рис. 4.4.3. Показаны уровни возможных значений полной энергии атома водорода
и график зависимости потенциальной энергии от расстояния r между электроном и ядром.

Состояние электрона в атоме с заданными n и l обозначают следующим образом: 1s, 2s, 2p, 3s и т.д. Здесь цифра указывает значение главного квантового числа, а буква – орбитальное квантовое число: символам s, p, d, f, соответствуют значения l=0, 1, 2. 3 и т.д.

© ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет, 2015

Источник

Волновая функция – математическая абстракция или физическая реальность?

Известно, что квантовые объекты могут вести себя странным образом: как будто они двигаются сразу в нескольких направлениях, находятся одновременно в нескольких местах или вращаются сразу по и против часовой стрелки. На математическом уровне квантовое поведение частиц описывается при помощи так называемой «волновой функции». В зависимости от условий эксперимента она позволяет рассчитать, например, вероятность нахождения электрона в определенном месте. Или предсказать (опять же в терминах вероятности), как будет направлен его спин – вверх или вниз.

Но математика не дает ответа на вопрос о природе этой функции. Является ли она элементом физического мира? Или это всего лишь математический инструмент, позволяющий нам работать в условиях фундаментального непонимания этого мира? И стоит ли вообще задаваться такими вопросами? Физики ставят эксперименты, чтобы понять природу этой загадочной функции, описывающей странности квантового мира.

Если бомбардировать редкими электронами стенку с двумя крошечными дырками, часть электронов проходит сквозь отверстия и каждый из них оставляет точечный след на экране за стенкой. Проводя эксперимент достаточное время, мы могли бы ожидать возникновение на экране двух круглых пятен, однако проявляющаяся картина выглядит более изощрённой и совпадает с картиной интерференции электромагнитных волн. Волновые свойства электрона и других элементарных частиц можно выразить математически через так называемую волновую функцию, определяющую вероятность обнаружить частицу в некоторой области пространства в течение заданного промежутка времени.

Да, наблюдения показывают и теории предсказывают, что квантовые объекты ведут себя странно, но имеет ли смысл думать о том, почему они так делают?

Здесь мнения ученых разделились. Сторонники так называемой «копенгагенской интерпретации» квантовой механики считают, что размышлять об этом не имеет практического смысла. Волновая функция – это работающий инструмент для предсказания результатов наблюдений. Суть этого подхода хлестко изложил Дэвид Мермин: «Заткнись и вычисляй!» И в целом эта позиция оправдана, поскольку привела к огромному прогрессу в ядерной физике и других отраслях.

Однако не всех ученых такой подход устраивает, и они продолжают предлагать свои интерпретации квантовых феноменов. Сторонники так называемой «причинной интерпретации», корни которой уходят к работам Эйнштейна, полагают наличие у квантовых объектов неких «скрытых параметров», знать которые нам пока не дано. Волновая функция отражает, таким образом, наше неведение относительно реального мира. На вопрос, жив или мертв кот Шредингера, сторонники причинной интерпретации отвечают: «Не знаю. Давайте поглядим». Однако есть и другие интерпретации, часть из которых рассматривают волновую функцию как элемент реальности. Одна из философских сложностей здесь состоит в том, что последние считают вышеупомянутого кота «одновременно» и живым, и мертвым, так же, как и приверженцы успешной копенгагенской интерпретации.

Кто же из них прав? На этот вопрос крайне сложно ответить при помощи эксперимента. Однако физику О. Мэруни и его коллегам из Оксфордского университета (Великобритания) удалось придумать эксперимент для проверки реальности волновой функции, а в прошлом году А. Федрицци, А. Уайт и др. (Квинслендский университет, Австралия) смогли реализовать его на практике. Суть эксперимента проста. Представьте две колоды карт – в одной карты только красной масти, а в другой одни тузы. «Вам дают карту и предлагают определить, из какой она колоды», – говорит физик М. Рингбауэр (Квинслендский университет). – «Если это красный туз, то вы имеете перекрывание (совмещение) признаков, и вы не сможете сказать, из какой эта карта колоды». Даже если вы знаете точный состав карт в каждой колоде, то в лучшем случае вы сможете подсчитать лишь вероятность возникновения такой неопределенной ситуации.

Подобная неопределенность присутствует и в квантовых системах. Экспериментаторы измерили поляризацию и другие параметры луча фотонов и обнаружили перекрывание, которое нельзя объяснить при помощи моделей, основанных на причинной интерпретации. Результаты эксперимента свидетельствуют о том, что если объективная реальность существует, то волновая функция реальна. С этим выводом можно спорить, потому что условия эксперимента предполагали существенные допущения. Поэтому ученые планируют в ближайшее время провести аналогичный эксперимент с ионами, которые легче отследить, чем фотоны. «В ближайшие полгода мы надеемся разработать эксперимент, не допускающий двойного толкования», говорит Мэруни.

В конечном счете такие исследования подводят нас вплотную к философскому вопросу о существовании объективной реальности. Хотя никто еще не знает, как это сделать, но, как говорит Уайт, «было бы невероятно интересно разработать эксперимент, чтобы проверить, существует ли на самом деле объективная реальность».

Подготовила Алла Кобкова

Проблема понимания и интерпретации квантового мира привлекает внимание ученых с первых лет развития квантовой механики. Нильс Бор утверждал, что наше сознание и язык не подходят для понимания явлений, происходящих на микро-масштабах. Квантовая механика смогла корректно предсказать исход тысяч экспериментов, что подтверждает ее статус как теории. Однако значительно сложнее проверить надежность ее интерпретаций. Один из наиболее интересных экспериментов в этой области поставил Ален Аспе в 1982 году – этот эксперимент показал отсутствие «скрытых параметров», которые могли бы определить результат квантовомеханических экспериментов, являющихся вероятностными с точки зрения современной физики. Проблема до сих остается скорее предметом философии нежели физики. В 1957 году Хью Эверетт разработал теорию множественности миров, согласно которой все альтернативные результаты измерений являются частью реальности, каждый в своем мире. Последние достижения квантовой оптики и компьютерного моделирования позволяют нам поставить в реальности классические мысленные эксперименты, предложенные Эйнштейном и Шредингером, что повышает интерес к основам квантовой механики.

Исследование «многомировой интерперетации» Эверетта – это важный и интересный шаг в этом направлении.

Источник

Волновая функция

Вы будете перенаправлены на Автор24

Данная функция является комплексной и формально имеет волновые свойства. Движение любой частицы микромира определено вероятностными законами. Распределение вероятности выявляется при проведении большого числа наблюдений (измерений) или большого количества частиц. Полученное распределение аналогично распределению интенсивности волны. То есть в местах с максимальной интенсивностью отмечено максимальное количество частиц.

В квантовой физике целью ставится не точность предсказания события, а оценка вероятности того или иного события. Зная величину вероятности, находят средние значения физических величин. Волновая функция позволяет находить подобные вероятности.

Так вероятность присутствия микрочастицы в объеме dV в момент времени t может быть определена как:

Вероятность является величиной, которую можно наблюдать в эксперименте. В это же время волновая функция не доступна для наблюдения, так как она является комплексной (в классической физике параметры, которые характеризуют состояние частицы, доступны для наблюдения).

Готовые работы на аналогичную тему

Нормировка вида (2) возможна при дискретном спектре собственных значений.

Принцип суперпозиции волновой функции

Можно говорить о сложении любого количества квантовых состояний:

Стационарные состояния

Математические требования к волновой функции для стационарных состояний

$\psi\left(\overrightarrow\right)$- функция должна быть во всех точках:

Решение:

Запишем условие нормировки для нашего случая в виде:

Проведем интегрирование в левой части:

Из формулы (1.4) выразим искомый коэффициент:

Решение:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 06 05 2021

Источник

Что такое волновая функция и ее физический смысл

Важным этапом в создании квантовой механики явилось обнаружение волновых свойств микрочастиц. Идея о волновых свойствах была первоначально высказана как гипотеза французским физиком Луи де Бройлем.

В физике в течение многих лет господствовала теория, согласно которой свет есть электромагнитная волна. Однако после работ Планка (тепловое излучение), Эйнштейна (фотоэффект) и других стало очевидным, что свет обладает корпускулярными свойствами.

Чтобы объяснить некоторые физические явления, необходимо рассматривать свет как поток частиц-фотонов. Корпускулярные свойства света не отвергают, а дополняют его волновые свойства.

Итак, фотон-элементарная частица света, обладающая волновыми свойствами.

Логично считать, что и другие частицы-электроны, нейтроны- обладают волновыми свойствами.

Формула для импульса фотона

была использована для других микрочастиц массой m, движущихся со скоростью v:

К.Дэвиссон и Л.Джермер впервые наблюдали дифракцию электронов на монокристалле никеля.

Может возникнуть вопрос: что происходит с отдельными частицами, как образуются максимумы и минимумы при дифракции отдельных частиц?

Опыты по дифракции пучков электронов очень малой интенсивности, то есть как бы отдельных частиц, показали, что при этом электрон не «размазывается» по разным направлениям, а ведет себя как целая частица. Однако вероятность отклонения электрона по отдельным направлениям в результате взаимодействия с объектом дифракции различная. Наиболее вероятно попадание электронов в те места, которые по расчету соответствуют максимумам дифракции, менее вероятно их попадание в места минимумов. Таким образом, волновые свойства присущи не только коллективу электронов, но и каждому электрону в отдельности.

4.4.2. Волновая функция и ее физический смысл

Если силовое поле, действующее на частицу, является стационарным, то есть не зависящим от времени, то ψ-функцию можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит от времени, а другой от координат:

В дальнейшем будем рассматривать только стационарные состояния; ψ-функция является вероятностной характеристикой состояния частицы. Поясним смысл этого утверждения.

Отсюда следует физический смысл волновой функции:

Интегрируя выражение (4.4.5) по некоторому объему V, находим вероятность нахождения частицы в этом объеме:

4.4.3. Соотношение неопределенностей

Одним из важных положений квантовой механики являются соотношения неопределенностей, предложенные В.Гейзенбергом.

В классической физике нет каких-либо ограничений, запрещающих с любой степенью точности одновременно измерить как одну, так и другую величину, то есть Δx→0 и Δр x→ 0.

Таким образом, чем точнее определена координата x (Δx→0), тем не менее точно определена проекция р x (Δp x→ ± ), и наоборот. Аналогично,

Поясним их одним модельным экспериментом.

При изучении явления дифракции было обращено внимание на то, что уменьшение ширины щели при дифракции приводит к увеличению ширины центрального максимума. Аналогичное явление будет и при дифракции электронов на щели в модельном опыте. Уменьшение ширины щели означает уменьшение Δ x (рис. 4.4.1), это приводит к большему «размазыванию» пучка электронов, то есть к большей неопределенности импульса и скорости частиц.

Рис. 4.4.1.Пояснение к соотношению неопределенности.

Соотношение неопределенностей можно представить в виде

«Размытость» уровней приводит к неопределенности энергии ΔE излучаемого фотона и его частоты Δν при переходе системы с одного энергетического уровня на другой:

Это проявляется в уширении спектральных линий.

4.4.4.Уравнение Шредингера

Применительно к стационарным состояниям уравнение Шредингера может быть записано так:

где m- масса частицы; ; Е и Е n –ее полная и потенциальная энергии (потенциальная энергия определяется силовым полем, в котором находится частица, и для стационарного случая не зависит от времени)

Если частица перемещается только вдоль некоторой линии, например вдоль оси ОХ (одномерный случай), то уравнение Шредингера существенно упрощается и принимает вид

Одним из наиболее простых примеров на использование уравнения Шредингера является решение задачи о движении частицы в одномерной потенциальной яме.

4.4.5. Применение уравнения Шредингера к атому водорода. Квантовые числа

Описание состояний атомов и молекул с помощью уравнения Шредингера является достаточно сложной задачей. Наиболее просто она решается для одного электрона, находящегося в поле ядра. Такие системы соответствуют атому водорода и водородоподобным ионам (однократно ионизированный атом гелия, двукратно ионизированный атом лития и т.п.). Однако и в этом случае решение задачи является сложным, поэтому ограничимся лишь качественным изложением вопроса.

Состояние электрона в атоме характеризуется не одним, а несколькими квантовыми числами.

Это выражение является решением уравнения Шредингера и полностью совпадает с соответствующей формулой теории Бора (4.2.30)

Рис. 4.4.3. Показаны уровни возможных значений полной энергии атома водорода
и график зависимости потенциальной энергии от расстояния r между электроном и ядром.

Состояние электрона в атоме с заданными n и l обозначают следующим образом: 1s, 2s, 2p, 3s и т.д. Здесь цифра указывает значение главного квантового числа, а буква – орбитальное квантовое число: символам s, p, d, f, соответствуют значения l=0, 1, 2. 3 и т.д.

© ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет, 2015

Источник

Что такое волновая функция и ее физический смысл

Экспериментальное подтверждение идеи Луи де Бройля об универсальности корпускулярно-волнового дуализма, ограниченность применения классической механики к микрообъектам, диктуемая соотношением неопределенностей, а также противоречия ряда экспериментов с применяемыми в начале XX века теориями привели к новому этапу развития квантовой физики – созданию квантовой механики, описывающей законы движения и взаимодействия микрочастиц с учетом их волновых свойств. Ее создание и развитие охватывает период с 1900 г. (формулировка Планком квантовой гипотезы) до 20-х годов XX века и связано, прежде всего, с работами австрийского физика Э. Шредингера, немецкого физика В. Гейзенберга и английского физика П. Дирака.

Необходимость вероятностного подхода к описанию микрочастиц является важнейшей отличительной особенностью квантовой теории. Можно ли волны де Бройля истолковывать как волны вероятности, т.е. считать, что вероятность обнаружить микрочастицу в различных точках пространства меняется по волновому закону? Такое толкование волн де Бройля уже неверно, хотя бы потому, что тогда вероятность обнаружить частицу в некоторых точках пространства может быть отрицательна, что не имеет смысла.

Чтобы устранить эти трудности, немецкий физик М. Борн в 1926 г. предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а величина, названная амплитудой вероятности и обозначаемая . Эту величину называют также волновой функцией (или -функцией). Амплитуда вероятности может быть комплексной, и вероятность W пропорциональна квадрату ее модуля:

где , где – функция комплексно-сопряженная с Ψ.

Таким образом, описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероятностный характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волны де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент времени в области с координатами x и dx, y и dy, z и dz.

Итак, в квантовой механике состояние частицы описывается принципиально по-новому – с помощью волновой функции, которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых

Величина (квадрат модуля Ψ-функции) имеет смысл плотности вероятности, т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единице объема в окрестности точки, имеющей координаты x, y, z. Таким образом, физический смысл имеет не сама Ψ-функция, а квадрат ее модуля , которым определяется интенсивность волн де Бройля.

Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V, согласно теореме о сложении вероятностей, равна:

.

Т.к. определяется как вероятность, то необходимо волновую функцию Ψ представить так, чтобы вероятность достоверного события обращалась в единицу, если за объем V принять бесконечный объем всего пространства. Это означает, что при данном условии частица должна находиться где-то в пространстве. Следовательно, условие нормировки вероятностей:

где данный интеграл вычисляется по всему бесконечному пространству, т.е. по координатам x, y, z от до . Таким образом, условие нормировки говорит об объективном существовании частицы во времени и пространстве.

Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой состояния микрочастицы, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий. Функция Ψ, характеризующая вероятность обнаружения микрочастицы в элементе объема, должна быть:

· конечной (вероятность не может быть больше единицы);

· однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной);

· непрерывной (вероятность не может меняться скачком).

Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями , , … , то она может находиться в состоянии, описываемом линейной комбинацией этих функций:

,

где (n = 1, 2, 3…) – произвольные, вообще говоря, комплексные числа.

Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей, определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей.

Волновая функция Ψ является основной характеристикой состояния микрообъектов. Например, среднее расстояние электрона от ядра вычисляется по формуле

,

где вычисления проводятся, как и в случае (4.3.3).

Источник