Что такое время релаксации затухающих колебаний

Что такое время релаксации затухающих колебаний

§6 Затухающие колебания

Декремент затухания. Логарифмический декремент затухания.

Добротность

Свободные колебания технических систем в реальных условиях протекают, когда на них действуют силы сопротивления. Действие этих сил приводит к уменьшению амплитуды колеблющейся величины.

Колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы уменьшается с течением времени, называются затухающими.

Наиболее часто встречается случаи, когда сила сопротивления пропорциональна скорости движения

Запишем уравнение колебаний в точке, колеблющийся в среде, коэффициент сопротивлений которой r . По второму закону Ньютона

— дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

— у равнение затухающих колебаний.

ω – частота затухающих колебаний:

Период затухающих колебаний:

Затухающие колебания при строгом рассмотрении не являются периодическими. Поэтому о периоде затухаюших колебаний можно гово­рить, когда β мало.

Если затухания выражены слабо (β→0), то . Затухающие колебания можно

рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по экспоненциальному закону

Рассмотрим колебание в течение, некоторого времени τ, за которое амплитуда уменьшится в е раз

Логарифмический декремент затухания равен логарифму D :

Еще одной характеристикой колебательной система является добротность Q .

Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой, за время релаксации τ.

Добротность Q колебательной системы является мерой относительной диссипации (рассеивания) энергии.

Добротность Q колебательной системы называется число, показывающее во сколько раз сила упругости больше силы сопротивления.

Чем больше добротность, тем медленнее происходит затухание, тем затухающие колебания ближе к свободным гармоническим.

§7 Вынужденные колебания.

Резонанс

В целом ряде случаев возникает необходимость создания систем, совершающих незатухающие колебания. Получить незатухающие колебания в системе можно, если компенсировать потери энергии, воздействуя на систему периодически изменяющейся силой.

Запишем выражение для уравнения движения материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение под действием вынуждающей силы.

По второму закону Ньютона:

(1)

— дифференциальное уравнение вынуж­денных колебаний.

Это дифференциальное уравнение является линейным неоднородным.

Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого перепишем уравнение (1) в следующем виде:

(2)

Частное решение этого уравнения будем искать в виде:

Это комплексное число удобно представить в виде

Его вещественная часть, являвшаяся решением уравнения (1) равна:

(3)

(4)

Слагаемое Х_о.о. играет существенную роль только в начальной стадии при установлении колебаний до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения определяемого равенством (3). В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими. Амплитуда (3) и фаза (4) вынужденных колебаний зависят от частоты вынуждающей силы. При определенной частоте вынуждающей силы амплитуда может достигнуть очень больших значений. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте механи­ческой системы, называется резонансом.

Частота ω вынуждающей силы, при которой наблюдается резонанс, называется резонансной. Для того чтобы найти значение ω_рез, необходимо найти условие максимума амплитуды. Для этого нужно определить условие минимума знаменателя в (3) (т.е. исследовать (3) на экстремум).

Зависимость амплитуды колеблющейся величины от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой. Резонансная кривая будет тем выше, чем меньше коэффициент затухания β и с уменьшением β, максимум резонансных кривых смешается вправо. Если β = 0, то

При ω→0 все кривые приходят к значению — статическое отклонение.

Источник

Затухающие колебания

При выводе уравнения гармонических колебаний мы считали, что колеблющаяся точка находится под действием только квазиупругой силы. Во всякой реальной колебательной системе всегда имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать.

Рассмотрим колебания материальной точки в вязкой среде. В этом случае, кроме квазиупругой силы, на точку будет действовать сила сопротивления среды. Если других сил нет, то такие колебания называются свободными (или собственными) колебаниями. При наличии внешних сил колебания называются вынужденными.

В случае малых скоростей сила сопротивления среды пропорциональна линейной скорости:

. (151)

Коэффициент пропорциональности r называется коэффициентом сопротивления среды. Знак «–» обусловлен тем, что сила сопротивления среды направлена противоположно скорости.

С учетом сопротивления среды уравнение движение точки будет выглядеть следующим образом:

.

, (152)

. (153)

Частота ω₀ является частотой, при которой совершались бы свободные колебания при отсутствии сопротивления среды. Эта частота называется собственной частотой колебаний.

Уравнение движение точки примет следующий вид:

. (154)

Решением этого уравнения является функция

Здесь A₀ – максимальное отклонение точки в начале движения (начальная амплитуда), e – основание натуральных логарифмов. Частота ω определяется выражением:

График функции (155) дан на рис. 52. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки х.

В соответствии с видом функции (155) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты ω с амплитудой, изменяющейся по закону

Верхняя из пунктирных кривых на рис. 43дает график функции A(t), причем величина A₀ представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение х₀ зависит, кроме A₀, также от начальной фазы α: x₀ =A₀cosα (рис. 52).

При наличии сопротивления среды колебания уже не являются гармоническими. Амплитуда колебаний уменьшается по экспоненциальному закону (амплитуда модулируется экспонентой). Скорость затухания определяется величиной β, которая называется коэффициентом затухания. За время τ = 1/β амплитуда колебаний уменьшается в e раз. Время τ называется временем релаксации системы.

Согласно формуле (156) период затухающих колебаний определяется выражением

. (157)

При незначительном сопротивлении среды (β 2 2 ) период колебаний мало отличается от периода собственных колебаний. С увеличением сопротивления среды период колебаний увеличивается.

Вообще, отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно

. (158)

Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания:

. (159)

Последнюю величину обычно используют для характеристики затухания колебаний. Выразив β через λ и T в соответствии с (159), закон убывания амплитуды можно записать в виде

.

За время τ (время релаксации) успевает совершить N_e = τ/Т колебаний. Амплитуда за это время уменьшится в e раз. Из условия

.

Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина

, (160)

называемая добротностью колебательной системы. Как видно из ее определения, добротность пропорциональна числу колебаний N_e, совершаемых системой за то время τ, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Из формулы (157) следует, что при ω₀ 2 – β 2 = 0 период колебании обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим. Соответствующий математический анализ дает, что при ω₀ 2 – β 2 ≤ 0 движение носит апериодический (непериодический) характер – выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебании. На рис. 53 показано два возможных способа возвращения системы к положению равновесия при апериодическом движении. Каким из этих способов приходит система в положение равновесия, зависит от начальных условий. Кривая 1 соответствует движению системы из положения, характеризуемой смещением от точки равновесия. Движение, изображаемое кривой 2, получается в том случае, когда система, находясь в положении равновесия, получает некоторый импульс. Такие явления характерны для переходных процессов в различных технических устройствах.

Источник

Лекция №8. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

5.6. Затухающие гармонические колебания.

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, то колебания будут затухать. Затухающие колебания − это колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся случае, сила сопротивления, вызывающая затухание, зависит от скорости колебательного движения, т. е. ее можно считать прямо пропорциональной скорости

где μ − постоянная, называемая коэффициентом сопротивления.

Знак «минус» обусловлен тем, что сила и скорость имеют противоположные направления. Тогда второй закон Ньютона для гармонических колебаний при наличии сил сопротивления имеет вид

Для решения уравнения (5.6.4) сделаем подстановку

Проведем замену переменных

Подставим (5.6.5 и 5.6.6) в выражение (5.6.4)

Решение уравнения (5.6.8) можно записать в виде

Окончательно, подставляя последнее уравнение в выражение (5.6.5), получаем общее решение дифференциального уравнения затухающих колебаний (5.6.4)

В соответствии с видом полученной функции движение можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой

и амплитудой, изменяющейся по закону

5.7. Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания.

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно

т. е. коэффициент затухания обратен по величине промежутку времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Для характеристики колебательной системы используется величина

которая называется добротностью колебательной системы.

5.8. Вынужденные колебания.

дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Будем искать решение уравнения (5.8.3) в виде

предполагая, что результирующее колебание будет совершаться с частотой внешней вынуждающей силы.

Подставим (5.8.4) и (5.8.5) в уравнение (5.8.3)

Чтобы уравнение (69) обратилось в тождество необходимо, чтобы коэффициенты при cosωt и sinωt были равны нулю.

Из выражения (71) получаем

Возведем в квадрат уравнения (70) и сложим

Подставив полученные выражения (71) и (73) в выражение (64) получим уравнение вынужденных колебаний

5.9. Резонанс.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения.

Продифференцируем это выражение по ω и приравняем к нулю

Подставив это значение в выражение для амплитуды (5.8.13), получим выражение для амплитуды при резонансе

Из последнего уравнения (5.9.3) следует, что при отсутствии сопротивления среды амплитуда при резонансе обращалась бы в бесконечность, а резонансная частота, согласно (5.9.2), при тех же условиях (при β=0 ), совпадала бы с собственной частотой колебаний системы ω₀

При стремлении ω к бесконечности все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия.

где δ = βТ – логарифмический декремент затухания (5.7.2); Q – добротность колебательной системы (5.7.6).

Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда в момент резонанса превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы той же величины, что и амплитуда вынуждающей силы. Следует отметить, что это справедливо лишь при небольшом затухании.

Источник