Что такое выравнивание в информатике экспоненциальное сглаживание

Экспоненциальное сглаживание в MS EXCEL

history 10 января 2021 г.

Экспоненциальное сглаживание используется для сглаживания краткосрочных колебаний во временных рядах, чтобы облегчить определение долгосрочного тренда, а также для прогнозирования. Произведем экспоненциальное сглаживание с помощью надстройки MS EXCEL Пакет анализа и формулами. Рассмотрим двойное и тройное экспоненциальное сглаживание для прогнозирования рядов с трендом и сезонностью.

Экспоненциальное сглаживание один из наиболее распространённых методов для сглаживания временных рядов. В отличие от метода Скользящего среднего, где прошлые наблюдения имеют одинаковый вес, Экспоненциальное сглаживание присваивает им экспоненциально убывающие веса, по мере того как наблюдения становятся старше. Другими словами, последние наблюдения дают относительно больший вес при прогнозировании, чем старые наблюдения.

Примечание: Перед прочтением этой статьи рекомендуется прочитать про Скользящее среднее.

Примечание: В англоязычной литературе для экспоненциального сглаживания используется термин Single Exponential Smoothing или Simple Exponential Smoothing (SES).

Напомним, что при усреднении методом Скользящего среднего веса, присвоенные наблюдениям, одинаковы и равны 1/n, где n – количество периодов усреднения. Например, в случае усреднения за 3 периода скользящее среднее равно:

В случае Экспоненциального сглаживания формула выглядит следующим образом:

Параметр альфа определяет степень сглаживания. При малых значениях альфа (0,1 – 0,2) имеет место сильное сглаживание. При значениях близких к 1, сглаженный ряд практически повторяет исходный ряд с задержкой (лагом) на один период. Для медленно меняющегося ряда часто берут небольшие значения альфа=0,1; а для быстро меняющегося 0,3-0,5.

Примечание: Формулы представляют собой рекуррентное соотношение – это когда последующий член ряда вычисляется на основе предыдущего.

Примечание: Существует альтернативный подход к Экспоненциальному сглаживанию: в нем в формуле вместо Y_i-1 заменяют на Y_i. Этот подход используется в контрольных картах экспоненциально взвешенного скользящего среднего (EWMA).

Надстройка Пакет анализа

Получить Экспоненциально сглаженный ряд можно с помощью надстройки Пакет анализа (Analysis ToolPak). Надстройка доступна из вкладки Данные, группа Анализ.

СОВЕТ: Подробнее о других инструментах надстройки Пакет анализа и ее подключении – читайте в статье.

Разместим исходный числовой ряд в диапазоне B7:B32.

Для наглядности пронумеруем каждое значение ряда (столбец А).
Вызовем надстройку Пакет анализа, выберем инструмент Экспоненциальное сглаживание.

В появившемся диалоговом окне в поле Входной интервал введите ссылку на диапазон с данными ряда, т.е. на B7:B32.

Если диапазон включает и заголовок, то нужно установить галочку в поле Метки. В нашем случае устанавливать галочку не требуется, т.к. заголовок столбца не входит в диапазон B7:B32.

Поле Фактор затухания, как и параметр альфа в вышеуказанной формуле, определяет степень сглаживания ряда. Фактор затухания равен (1- альфа). Чем больше Фактор затухания тем глаже получается ряд. Установим значение 0,8.

В поле Выходной интервал достаточно ввести ссылку на левую верхнюю ячейку диапазона с результатами (укажем ячейку D7).

Также поставим галочки в поле Вывод графика и Стандартные погрешности (будет выведен столбец с расчетами погрешностей, англ. Standard Errors).
Нажмем ОК.

В результате работы надстройки, MS EXCEL разместил значения ряда, полученного методом Экспоненциального сглаживания, в столбце D (см. файл примера лист Пакет анализа ).

В ячейке D7 содержится текстовое значение ошибки #Н/Д, т.к. для получения первого значения Экспоненциального сглаживания требуется значение исходного ряда за предыдущий период.

Таким образом, Фактор затухания (0,8) определяет вес (вклад) предыдущего значения сглаженного ряда. Соответственно, (1-Фактор затухания)=альфа определяет вес предыдущего значения исходного ряда.

Диаграмма

Для отображения рядов MS EXCEL создал диаграмму типа график. Сглаженный ряд на диаграмме называется «Прогноз» (ряд красного цвета).

Первое значение сглаженного ряда, которое равно ошибке #Н/Д, отражаются как 0, и может ввести в заблуждение (особенно, если последующие значения ряда близки к 0). Поэтому его лучше удалить из ячейки D7.

Диаграмма позволяет визуально определить «выбросы», т.е. значения исходного ряда, которые существенно отличаются от средних значений. Такие «выбросы» могут быть следствием ошибки, но они оказывают существенное влияние на вид сглаженного ряда.

Вычисление погрешности

В столбце E, начиная с ячейки Е11, MS EXCEL разместил формулы для вычисления погрешностей (англ. Standard Errors):

Т.е. данная погрешность вычисляется по формуле:

Подробнее об этой погрешности см. соответствующий раздел в статье про Скользящее среднее.

Почему сглаживание называется экспоненциальным?

Как было показано в статье про Взвешенное скользящее среднее веса значений исходного ряда берутся в зависимости от их удаленности от текущего периода. Например, для 3-х периодов усреднения для Взвешенного скользящего среднего можно использовать формулу:

Экспоненциальное сглаживание по сути является модификацией Взвешенного скользящего среднего – при расчете значения сглаженного ряда используются ВСЕ предыдущие значения исходного ряда с весами уменьшающимися в геометрической прогрессии по мере удаления от текущего периода.

Чтобы это показать воспользуемся формулой

и вычислим Yэксп.5, т.е. значения сглаженного ряда для 5-го периода. После очевидных преобразований получим:

В файле примера для 26-го члена сглаженного ряда (t=26) вычислены веса всех предыдущих членов. На диаграмме ниже показано, что веса уменьшаются с ростом i в геометрической прогрессии, что соответствует экспоненциальной функции y=0,0038*exp(0,2231*x), где x=i. Вычисления параметров экспоненциальной кривой сделаны с помощью надстройки Поиск решения.

Экспоненциальное сглаживание с настраиваемым Фактором затухания

Недостатком формул, получаемых с помощью Пакета анализа, является то, что при изменении Фактора затухания (1-альфа) приходится перезапускать расчет. В файле примера на листе Формулы создана форма для быстрого пересчета Экспоненциального сглаживания в зависимости от значения Фактора затухания (полученный результат, естественно, полностью совпадает с расчетами надстройки Пакет анализа).

Значения ряда вычисляются с помощью формулы:

в ячейке В6 содержится значение Фактора затухания.

Выбор значения Фактора затухания для удобства осуществляется с помощью элемента управления Счетчик с шагом 0,1.

Источник

Нежное введение в экспоненциальное сглаживание для прогнозирования временных рядов в Python

Дата публикации 2018-08-20

Это мощный метод прогнозирования, который можно использовать в качестве альтернативы популярному семейству методов Box-Jenkins ARIMA.

В этом руководстве вы найдете метод экспоненциального сглаживания для одномерного прогнозирования временных рядов.

После завершения этого урока вы узнаете:

Обзор учебника

Этот урок разделен на 4 части; они есть:

Что такое экспоненциальное сглаживание?

Методы временных рядов, такие как семейство методов ARIMA Бокса-Дженкинса, развивают модель, в которой прогноз представляет собой взвешенную линейную сумму недавних прошлых наблюдений или лагов.

Методы прогнозирования с экспоненциальным сглаживанием похожи в том, что прогноз представляет собой взвешенную сумму прошлых наблюдений, но модель явно использует экспоненциально уменьшающийся вес для прошлых наблюдений.

В частности, прошлые наблюдения взвешены с геометрически убывающим коэффициентом.

Прогнозы, полученные с использованием методов экспоненциального сглаживания, представляют собой средневзвешенные значения прошлых наблюдений, причем веса уменьшаются по экспоненте по мере старения наблюдений. Другими словами, чем более недавнее наблюдение, тем выше ассоциированный вес.

Методы экспоненциального сглаживания можно рассматривать как одноранговые и альтернативу популярному классу методов ARIMA Бокса-Дженкинса для прогнозирования временных рядов.

В совокупности методы иногда называют моделями ETS, ссылаясь на явное моделирование ошибок, трендов и сезонности.

Типы экспоненциального сглаживания

Существует три основных типа методов прогнозирования временных рядов экспоненциального сглаживания.

Простой метод, который не предполагает систематической структуры, расширение, которое явно обрабатывает тренды, и самый продвинутый подход, который добавляет поддержку сезонности.

Одиночное экспоненциальное сглаживание

Единое экспоненциальное сглаживание, сокращенно SES, также называемое простым экспоненциальным сглаживанием, представляет собой метод прогнозирования временных рядов для одномерных данных без тренда или сезонности.

Требуется один параметр, называемыйальфа( ), также называемый коэффициентом сглаживания или коэффициентом сглаживания.

Этот параметр управляет скоростью, с которой влияние наблюдений на предыдущих временных шагах затухает экспоненциально. Альфа часто устанавливается на значение от 0 до 1. Большие значения означают, что модель обращает внимание в основном на самые последние прошлые наблюдения, тогда как меньшие значения означают, что при прогнозировании учитывается больше истории.

Значение, близкое к 1, указывает на быстрое обучение (т. Е. Только самые последние значения влияют на прогнозы), тогда как значение, близкое к 0, указывает на медленное обучение (прошлые наблюдения оказывают большое влияние на прогнозы).

Двойное экспоненциальное сглаживание

В добавок кальфаПараметр для управления коэффициентом сглаживания для уровня, добавлен дополнительный коэффициент сглаживания для управления затуханием влияния изменения тренда, называемогобета(б).

Метод поддерживает тренды, которые меняются по-разному: аддитивное и мультипликативное, в зависимости от того, является ли тренд линейным или экспоненциальным соответственно.

Двойное экспоненциальное сглаживание с аддитивным трендом классически называется моделью линейного тренда Холта, названной в честь разработчика метода Чарльза Холта.

Для более дальних (многошаговых) прогнозов тенденция может продолжаться нереально. Также, это может быть полезно, чтобы смягчить тренд с течением времени.

Демпфирование означает уменьшение размера тренда за будущие периоды времени до прямой линии (без тренда).

Прогнозы, генерируемые линейным методом Холта, отображают постоянную тенденцию (увеличивающуюся или уменьшающуюся) неприлично в будущее. Еще более экстремальными являются прогнозы, генерируемые методом экспоненциального тренда […], мотивированные этим наблюдением […], которые вводят параметр, который «гасит» тренд до плоской линии в будущем.

Как и при моделировании самого тренда, мы можем использовать те же принципы для демпфирования тренда, особенно аддитивно или мультипликативно для линейного или экспоненциального демпфирующего эффекта. Коэффициент демпфированияфита(п) используется для контроля скорости демпфирования.

Тройное экспоненциальное сглаживание

Этот метод иногда называют экспоненциальным сглаживанием Холта-Уинтерса, названным в честь двух участников метода: Чарльза Холта и Питера Уинтерса.

В дополнение к альфа- и бета-коэффициентам сглаживания добавлен новый параметр, который называетсягамма(г), который контролирует влияние на сезонную составляющую.

Как и в случае тренда, сезонность может быть смоделирована как аддитивный или мультипликативный процесс для линейного или экспоненциального изменения сезонности.

Тройное экспоненциальное сглаживание является наиболее совершенным вариантом экспоненциального сглаживания, и благодаря конфигурации оно также может разрабатывать модели с двойным и единичным экспоненциальным сглаживанием.

Будучи адаптивным методом, экспоненциальное сглаживание Холта-Винтера позволяет со временем изменять уровни, тренды и модели сезонности.

Кроме того, чтобы гарантировать, что сезонность моделируется правильно, количество временных шагов в сезонный период (период) должен быть указан. Например, если ряд был месячными данными и сезонный период повторялся каждый год, тогда Period = 12.

Как настроить экспоненциальное сглаживание

Все гиперпараметры модели могут быть указаны явно.

Это может быть сложным как для экспертов, так и для начинающих.

Вместо этого обычно используют числовую оптимизацию для поиска и финансирования коэффициентов сглаживания (альфа,бета,гамма, а такжефита) для модели, которая приводит к наименьшей ошибке.

[…] Более надежным и объективным способом получения значений для неизвестных параметров, включенных в любой метод экспоненциального сглаживания, является оценка их по наблюдаемым данным. […] Неизвестные параметры и начальные значения для любого метода экспоненциального сглаживания можно оценить путем минимизации SSE [суммы квадратов ошибок].

Параметры, которые определяют тип изменения тренда и сезонность, такие как погода, они являются аддитивными или мультипликативными и должны ли они быть ослаблены, должны быть указаны явно.

Экспоненциальное сглаживание в Python

В этом разделе рассказывается, как реализовать экспоненциальное сглаживание в Python.

Реализации экспоненциального сглаживания в Python представлены в библиотеке Python Statsmodels.

Реализации основаны на описании метода в превосходной книге Роба Хиндмана и Джорджа Афанасопулоса «Прогнозирование: принципы и практика, 2013 и их реализации R в их «прогнозПакет.

Одиночное экспоненциальное сглаживание

Одиночное экспоненциальное сглаживание или простое сглаживание могут быть реализованы в Python через класс SimpleExpSmoothing Statsmodels.

Во-первых, экземплярSimpleExpSmoothingкласс должен быть создан и передан данные обучения.поместиться()Затем вызывается функция, обеспечивающая подходящую конфигурацию, а именноальфазначение называетсяsmoothing_level, Если это не предусмотрено или установленоНиктомодель автоматически оптимизирует значение.

этопоместиться()функция возвращает экземплярHoltWintersResultsкласс, который содержит изученные коэффициенты.прогноз()илипредсказать, ()функция на объекте результата может быть вызвана, чтобы сделать прогноз

Двойное и тройное экспоненциальное сглаживание

Одиночное, двойное и тройное экспоненциальное сглаживание может быть реализовано в Python с помощью класса ExponentialSmoothing Statsmodels.

Во-первых, необходимо создать экземпляр класса ExponentialSmoothing, указав как обучающие данные, так и некоторую конфигурацию для модели.

В частности, вы должны указать следующие параметры конфигурации:

Затем модель можно подогнать по тренировочным данным, вызвавпоместиться()функция.

Эта функция позволяет либо указать коэффициенты сглаживания модели экспоненциального сглаживания, либо оптимизировать их. По умолчанию они оптимизированы (например,оптимизированная = True). Эти коэффициенты включают в себя:

Кроме того, функция подгонки может выполнять базовую подготовку данных до моделирования; в частности:

поместиться()функция вернет экземплярHoltWintersResultsкласс, который содержит изученные коэффициенты.прогноз()илипредсказать, ()Функция на объекте результата может быть вызвана, чтобы сделать прогноз.

Дальнейшее чтение

Этот раздел предоставляет больше ресурсов по теме, если вы хотите углубиться.

книги

статьи

Резюме

В этом уроке вы обнаружили метод экспоненциального сглаживания для одномерного прогнозирования временных рядов.

В частности, вы узнали:

У вас есть вопросы?
Задайте свои вопросы в комментариях ниже, и я сделаю все возможное, чтобы ответить.

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Базовое (простое) экспоненциальное сглаживание (линейное по Холту)

Простейший вид экспоненциального сглаживания дается формулой:

Эта простая форма экспоненциального сглаживания также известна как экспоненциально взвешенное скользящее среднее (EWMA). Технически ее также можно классифицировать как модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) (0,1,1) без постоянного члена.

Постоянная времени

Выбор начального сглаженного значения

Оптимизация

Для каждого метода экспоненциального сглаживания нам также необходимо выбрать значение для параметров сглаживания. Для простого экспоненциального сглаживания существует только один параметр сглаживания ( α ), но для последующих методов обычно используется более одного параметра сглаживания.

«Экспоненциальное» именование

Название «экспоненциальное сглаживание» связано с использованием экспоненциальной оконной функции во время свертки. Его больше не приписывают Holt, Winters & Brown.

Путем прямой подстановки определяющего уравнения для простого экспоненциального сглаживания обратно в себя находим, что

Сравнение со скользящей средней

В литературе по обработке сигналов использование непричинных (симметричных) фильтров является обычным явлением, и экспоненциальная оконная функция широко используется в этом виде, но используется другая терминология: экспоненциальное сглаживание эквивалентно бесконечному импульсу первого порядка. фильтр отклика (БИХ) и скользящее среднее эквивалентны фильтру с конечной импульсной характеристикой с равными весовыми коэффициентами.

Двойное экспоненциальное сглаживание

Один из методов работает следующим образом:

Прогноз дальше дается приближением: Икс т <\ displaystyle x_>

Второй метод, называемый либо линейным экспоненциальным сглаживанием Брауна (LES), либо двойным экспоненциальным сглаживанием Брауна, работает следующим образом.

Тройное экспоненциальное сглаживание (Холт Винтерс)

При тройном экспоненциальном сглаживании применяется трехкратное экспоненциальное сглаживание, которое обычно используется, когда из исследуемого временного ряда нужно удалить три высокочастотных сигнала. Есть разные типы сезонности: «мультипликативная» и «аддитивная» по своей природе, так же как сложение и умножение являются основными операциями в математике.

Если каждый декабрь мы продаем на 10 000 квартир больше, чем в ноябре, сезонность носит аддитивный характер. Однако, если в летние месяцы мы продаем на 10% больше квартир, чем в зимние, сезонность носит мультипликативный характер. Мультипликативная сезонность может быть представлена ​​как постоянный фактор, а не абсолютная величина.

Тройное экспоненциальное сглаживание с аддитивной сезонностью определяется по формуле:

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Базовое (простое) экспоненциальное сглаживание (линейное по Холту)

Простейший вид экспоненциального сглаживания дается формулой:

Эта простая форма экспоненциального сглаживания также известна как экспоненциально взвешенное скользящее среднее (EWMA). Технически ее также можно классифицировать как модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) (0,1,1) без постоянного члена.

Постоянная времени

Выбор начального сглаженного значения

Оптимизация

Для каждого метода экспоненциального сглаживания нам также необходимо выбрать значение для параметров сглаживания. Для простого экспоненциального сглаживания существует только один параметр сглаживания ( α ), но для последующих методов обычно используется более одного параметра сглаживания.

«Экспоненциальное» именование

Название «экспоненциальное сглаживание» связано с использованием экспоненциальной оконной функции во время свертки. Его больше не приписывают Holt, Winters & Brown.

Путем прямой подстановки определяющего уравнения для простого экспоненциального сглаживания обратно в себя находим, что

Сравнение со скользящей средней

В литературе по обработке сигналов использование непричинных (симметричных) фильтров является обычным явлением, и экспоненциальная оконная функция широко используется в этом виде, но используется другая терминология: экспоненциальное сглаживание эквивалентно бесконечному импульсу первого порядка. фильтр отклика (БИХ) и скользящее среднее эквивалентны фильтру с конечной импульсной характеристикой с равными весовыми коэффициентами.

Двойное экспоненциальное сглаживание

Один из методов работает следующим образом:

Прогноз дальше дается приближением: Икс т <\ displaystyle x_>

Второй метод, называемый либо линейным экспоненциальным сглаживанием Брауна (LES), либо двойным экспоненциальным сглаживанием Брауна, работает следующим образом.

Тройное экспоненциальное сглаживание (Холт Винтерс)

При тройном экспоненциальном сглаживании применяется трехкратное экспоненциальное сглаживание, которое обычно используется, когда из исследуемого временного ряда нужно удалить три высокочастотных сигнала. Есть разные типы сезонности: «мультипликативная» и «аддитивная» по своей природе, так же как сложение и умножение являются основными операциями в математике.

Если каждый декабрь мы продаем на 10 000 квартир больше, чем в ноябре, сезонность носит аддитивный характер. Однако, если в летние месяцы мы продаем на 10% больше квартир, чем в зимние, сезонность носит мультипликативный характер. Мультипликативная сезонность может быть представлена ​​как постоянный фактор, а не абсолютная величина.

Тройное экспоненциальное сглаживание с аддитивной сезонностью определяется по формуле:

Источник

Адаптивная модель экспоненциального сглаживания

Введение

В данной статье буду рассматривать модель экспоненциального сглаживания временного ряда. Эта модель является одной из самых распространенных моделей для прогнозирования значений временного ряда не содержащего трендов и сезонности. В статье будет рассмотрена теоретическая часть, практика, а также реализация этой модели на одном из языков программирования.

Теоретическая часть.

Экспоненциальное сглаживание один из распространенных приемов выравнивания временного ряда. Данный прием основан на расчете экспоненциальных средних, и является простейшей адаптивной моделью.

Модель вычисляется рекурентной формулой:

$$S_t = \alpha x_t + \beta S_$$

Поэтому рекурентная для прогнозирования:

При этом необхлдимо еще раз отметить, что если ряд имеет тенденцую роста (линейную или праболическую) от данной модели нельзя ожидать хороших прогнозов и лучше использовать другую модель.

Практика.

Для практической иллюстрации применения данной модели будет использоваться цена закрытия Bitcoin за последние 2 месяца (01.03.2018-13.05.2018).

На основе полученной информации получился следующий прогноз:

Реализация на С++

Реализация функции данной модели выглядит следующим образом:

Вывод

Была построена и разобрана адаптивная модель экспоненциального сглаживания для прогнозирования цены Bitcoin. В итоге средняя ошибка прогноза получившийся модели находится в районе 4% что является хорошим результатом.

В последующих статьях я буду рассматривать другие адаптивные модели для рядов с трендом и сезонностью.

Источник