Что такое взаимно обратные числа

Взаимно обратные числа

Взаимно обратные числа — это два числа, произведение которых равно единице:

Обратное число к данному числу — это число, умножение которого на данное число, даёт в результате единицу. Так, если числа p и q взаимно обратные, то можно сказать, что число p — это число, обратное числу q, а число q — это число, обратное числу p:

Как находить обратные числа

Если взять обыкновенную дробь и перевернуть её, т. е. поменять местами числитель со знаменателем, то мы получим дробь обратную данной.

Возьмём дробь и перевернём её, получится дробь :

Проверить, правильно ли найдено обратное число к данному можно с помощью умножения:

Теперь рассмотрим, как найти число, обратное натуральному числу: возьмём к примеру число 15, представим его в виде дроби , затем «перевернём» эту дробь, получится дробь .

Из сказанного следует, что:

Число, обратное данному натуральному числу, получается от деления единицы на это натуральное число.

Чтобы найти число обратное смешанному числу нужно:

Найдём обратное число для :

Обратное число для десятичной дроби находится точно так же, как и для смешанного числа:

Для единицы обратным числом является сама единица, так как:

Для нуля не существует обратного числа, так как невозможно умножить нуль на какое-то число и получить единицу.

Таким образом, для любого числа, кроме нуля, существует обратное число.

Источник

Взаимно обратные числа, нахождение числа, обратного данному числу.

Сейчас мы тщательно изучим взаимно обратные числа. Сначала дадим определение и приведем примеры взаимно обратных чисел. Дальше на примерах разберем, как находится число, обратное данному числу. В частности, найдем число, обратное обыкновенной дроби, число, обратное натуральному числу, и т.п. В заключение приведем и докажем неравенство, характерное для суммы взаимно обратных чисел.

Навигация по странице.

Взаимно обратные числа, определение, примеры

Сразу дадим определение взаимно обратных чисел.

Из рассмотренных примеров взаимно обратных чисел понятно, что определение взаимно обратных чисел относится к любым числам – и к натуральным, и к целым и к действительным, и даже к комплексным.

Нахождение числа, обратного данному числу

Иногда число, обратное данному числу, очевидно, как, например, для натуральных чисел или обыкновенных дробей. В других случаях приходится проводить вычисления, как, например, при отыскании числа, обратного иррациональному числу, или обратного комплексному числу.

Остановимся на наиболее часто встречающихся случаях нахождения числа, обратного данному числу.

Число, обратное обыкновенной дроби

Число, обратное натуральному числу

Нахождение числа, обратного данному натуральному числу, можно свести к нахождению числа, обратного дроби. Для этого нужно лишь записать данное натуральное число как дробь со знаменателем 1.

Нахождение числа, обратного смешанному числу

Чтобы найти число, обратное данному смешанному числу, можно представить данное смешанное число в виде неправильной дроби, после чего найти число, обратное этой дроби. Рассмотрим применение этого правила на примере.

Найдите число, обратное смешанному числу .

и 9/65 взаимно обратные числа.

Нахождение числа, обратного десятичной дроби

Мы знаем, что конечная десятичная дробь или периодическая десятичная дробь может быть заменена обыкновенной дробью. Поэтому, нахождение числа, обратного конечной или периодической десятичной дроби, может быть сведено к нахождению числа, обратного обыкновенной дроби. Рассмотрим примеры.

Источник

Основные сведения о взаимно обратных числах в математике

Что такое обратное число

На уроках алгебры в средних классах школы ученики узнают массу математических закономерностей. Например, при умножении или делении некого числа на единицу получается то же самое число.

Единица является нейтральным элементом для действий умножения и деления. Симметричными числами называют такие числа, результатом умножения которых является единица. Например:

Пару чисел можно назвать взаимно обратными, когда при умножении они дают единицу.

Обратным числом к данному числу является такое, результат произведения которого с данным числом равен единице.

Рассмотрим взаимно обратные числа а и b:

Допустима и такая формулировка: если число а обратно числу b, то число b является обратным числу а.

Зная, что при умножении единицы на единицу результат равен единице, можно сделать вывод о том, что 1 и 1 являются взаимно обратными.

Взаимно обратные числа:

log 3 15 и log 15 3

Понятие взаимно обратных чисел распространяется на следующие множества чисел:

Взаимно обратные числа, определение, примеры

Взаимно обратные числа — это пара чисел, которые при умножении дают единицу.

Взаимно обратные числа:

4 7 × 7 4 = 4 × 7 7 × 4 = 28 28 = 1

В этом примере записаны два дробных числа. Заметим, что если поменять числитель и знаменатель местами в первой дроби, то получится вторая дробь. Таким способом можно определить взаимообратную дробь для заданной дроби.

Для проверки результата необходимо умножить начальную дробь на полученное дробное число. В том случае, когда в результате получается единица, действие по поиску обратного числа выполнено верно.

Далее рассмотрим метод определения обратного числа для некоторого натурального числа. К примеру, имеется число 15. Если записать его в виде дроби, то получим:

Если поменять местами числитель и знаменатель этой дроби, то в результате получается дробь:

Число, которое является обратным данному натуральному числу, представляет собой результат деления единицы на это натуральное число.

Алгоритм нахождения обратного числа для смешанного числа:

Попробуем вычислить обратное число для числа 2 2 3 :

2 2 3 = 2 × 3 + 1 3 = 7 3

Проверим полученный результат путем умножения полученных чисел:

7 3 × 3 7 = 7 × 3 3 × 7 = 21 21 = 1

Найти число, которое является обратным для некой десятичной дроби можно аналогичным методом, как и в случае смешанного числа. Рассмотрим наглядный пример:

4 10 × 10 4 = 4 × 10 10 × 4 = 40 40 = 1

Обратное число для единицы равно единице:

Нуль не имеет обратного числа. Это связано с отсутствием возможности умножить нуль на какое-либо число, чтобы в результате получилась единица.

Таким образом, это значит, что для любого числа, за исключением нуля, существует обратное число.

Взаимно обратные числа со степенями

Предположим, что имеется некое число, равное определенной степени числа а (число а, возведенное в степень со значением b). В таком случае, обратными являются следующие числа:

В качестве примера определим число, являющееся обратным для числа

Исходя из правила, согласно которому нужно находить обратное число, искомым числом является:

Взаимно обратные числа с корнями

Попробуем определить, являются ли данные числа взаимно обратными. Для этого умножим их:

В результате получилась единица. Известно, что произведение взаимно обратных чисел равно 1. Можно сделать простой вывод о том, что данные числа являются взаимно обратными.

Сумма взаимно обратных чисел. Неравенство

При разборе темы взаимно обратных чисел невозможно обойтись без специальной теоремы. В ней идет речь о сумме взаимно обратных чисел.

При сложении пары положительных чисел, которые являются взаимно обратными, получается число больше или равное 2.

Попробуем доказать записанную теорему. Зная, что среднее арифметическое положительных чисел а и b в любом случае будет больше или равно среднему геометрическому данных чисел, можно записать справедливое неравенство:

Подставим в выражение вместо b число, которое является обратным а. Тогда неравенство примет следующий вид:

Попробуем решить наглядный пример. Предположим, что даны два обратных числа, требуется вычислить их сумму:

Найдем сумму данных чисел:

В результате получилось число, которое > 2.

Источник

Взаимно обратные числа – примеры (6 класс, математика)

Взаимно обратные числа это очень интересная тема математики 6 класса. Умение обращаться с взаимно обратными числами лежит в основе правильного деления дробей. К тому же существует ряд задач направленных на нахождение числа обратного заданному, поэтому разберемся в вопросе вместе.

Что такое обратное число?

Обратным числом называют число, при умножении на которое в результате получается 1.

Как найти число, обратное данному?

Разберем различные ситуации нахождения обратного числа.

Общий случай

В общем случае формула для нахождения обратного числа выглядит так:

В математике эту операцию иногда называют словом «перевернуть»

$18*<1over<18>>=1$ – значит формула работает.

Смешанное число

Обыкновенная дробь

Чтобы найти обратное число для обыкновенной дроби, нужно ее просто перевернуть, так же, как и во втором пункте предыдущего алгоритма.

Десятичная дробь

Куда интереснее способ нахождения обратного числа для десятичной дроби. Приведем небольшой алгоритм на примере нахождения числа, обратного для 3,14:

Проверку нужно выполнять всегда. Причем важно именно проводить вычисления, а не писать ответ сразу, «для галочки». В простых выражениях это кажется не нужным, но именно на простых выражениях вырабатывается навык. Так, в последнем выражении вполне можно было ошибиться, например, не перевернуть дробь в самом конце расчета.

Что мы узнали?

Мы поговорили о взаимно обратных числах. Рассмотрели все варианты нахождения таких чисел, привели примеры взаимно простых чисел и указали на места возможных ошибок.

Источник