Национальная библиотека им. Н. Э. Баумана
Bauman National Library
Персональные инструменты
Дельта-функция как математическое описание точечного источника сигнала
Содержание
Физическое определение дельта-функции
Классические решения уравнений математической физики, с помощью которых описываются распространение полей в ОЭС, РЭС и АЭС, определяются только вне особых точек. Однако именно эти сингулярные точки играют основную роль, так как в них расположены точечные источники электромагнитного и акустического излучений. Для модельного представления одномерного тракта любого КПС необходима модель «точечного» входного сигнала (воздействия). Дирак ввел физическое понятие δ-функции, которая удобна при адекватном математическом описании точечных источников излучения, точечных зарядов и коротких электрических импульсов.
При этом интеграл от нее, распространенный на сколько угодно малую область, содержащую особую точку, равен единице.
Дополнительно, по определению:
Пример применения дельта-функции при модельном описании пространственного сигнала
В качестве канонического типового пространственного сигнала в РЭС, ОЭС, АЭС, допустимо рассмотреть пространственный модулятор на выходе непрозрачного транспаранта с квадратным отверстием при освещении его плоской, нормально падающей волной электромагнитного, либо акустического излучения с единичной амплитудой. Такой сигнал задается амплитудным коэффициентом пропускания
Последовательность выходных сигналов с rect-образными коэффициентами пропускания и входной амплитудой n 2 ( a b ) <\displaystyle
Таким образом, выражения ( 2.2 ) <\displaystyle
Одним из канонических типовых сигналом осесимметричных оптических и антенных систем является сигнал на выходе непрозрачного транспаранта с круглым отверстием, амплитудный коэффициент пропускания которого имеет вид
График этой функции в виде цилиндра приведен на рис. 4, а ее канонический характер проявляется в том, что объем цилиндра ( 1 π ) circ r <\displaystyle \left ( \frac<1> <\pi>\right) \mbox
являющаяся пределом, к которому стягивается круглое отверстие при освещении плоской, нормально падающей волной с единичной амплитудой. Так как объем любого цилиндра ( 2.6 ) <\displaystyle
Свойства дельта-функции
Практическая реализация дельта-функции
В двумерном случае говорят о сигнале на выходе транспаранта, (антенны) с круглым отверстием радиуса ε :
Свойства симметрии
Фильтрующее свойство
\color
В теории обобщенных функций левая часть ( 3.3.1 ) <\displaystyle
Умножение на дельта-функцию
Изменение масштаба дельта-функции
\color
приводят к одинаковому результату.
Спектральная плотность дельта-функции
На основании свойства преобразования Фурье:
Откуда спектры амплитуд и фаз имеют вид:
