Что такое дельта функция

Национальная библиотека им. Н. Э. Баумана
Bauman National Library

Персональные инструменты

Дельта-функция как математическое описание точечного источника сигнала

Содержание

Физическое определение дельта-функции

Классические решения уравнений математической физики, с помощью которых описываются распространение полей в ОЭС, РЭС и АЭС, определяются только вне особых точек. Однако именно эти сингулярные точки играют основную роль, так как в них расположены точечные источники электромагнитного и акустического излучений. Для модельного представления одномерного тракта любого КПС необходима модель «точечного» входного сигнала (воздействия). Дирак ввел физическое понятие δ-функции, которая удобна при адекватном математическом описании точечных источников излучения, точечных зарядов и коротких электрических импульсов.

При этом интеграл от нее, распространенный на сколько угодно малую область, содержащую особую точку, равен единице.

Дополнительно, по определению:

Пример применения дельта-функции при модельном описании пространственного сигнала

В качестве канонического типового пространственного сигнала в РЭС, ОЭС, АЭС, допустимо рассмотреть пространственный модулятор на выходе непрозрачного транспаранта с квадратным отверстием при освещении его плоской, нормально падающей волной электромагнитного, либо акустического излучения с единичной амплитудой. Такой сигнал задается амплитудным коэффициентом пропускания

Последовательность выходных сигналов с rect-образными коэффициентами пропускания и входной амплитудой n 2 ( a b ) <\displaystyle > имеет вид:

Таким образом, выражения ( 2.2 ) <\displaystyle

Одним из канонических типовых сигналом осесимметричных оптических и антенных систем является сигнал на выходе непрозрачного транспаранта с круглым отверстием, амплитудный коэффициент пропускания которого имеет вид

График этой функции в виде цилиндра приведен на рис. 4, а ее канонический характер проявляется в том, что объем цилиндра ( 1 π ) circ r <\displaystyle \left ( \frac<1> <\pi>\right) \mbox\, r \,\!> равен единице.

являющаяся пределом, к которому стягивается круглое отверстие при освещении плоской, нормально падающей волной с единичной амплитудой. Так как объем любого цилиндра ( 2.6 ) <\displaystyle

Свойства дельта-функции

Практическая реализация дельта-функции

В двумерном случае говорят о сигнале на выходе транспаранта, (антенны) с круглым отверстием радиуса ε :

Свойства симметрии

Фильтрующее свойство

\color (3.3.3)> удобно переписать в виде

В теории обобщенных функций левая часть ( 3.3.1 ) <\displaystyle

Умножение на дельта-функцию

Изменение масштаба дельта-функции

\color (3.5.1)> следует из того, что интегралы

приводят к одинаковому результату.

Спектральная плотность дельта-функции

На основании свойства преобразования Фурье:

Откуда спектры амплитуд и фаз имеют вид:

Источник