Что такое динамичная система
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ – системы, под действием внешних и внутренних сил изменяющие во времени свои состояния. Представления о динамических системах возникли как обобщение понятия механической системы, поведение которой описывается законами динамики Ньютона. В современной науке понятие динамической системы охватывает системы практически любой природы – физические, химические, биологические, экономические, социальные и др. При этом системы характеризуются различной внутренней организацией – жестко-детерминированные, стохастические, нелинейные, системы с элементами самоорганизации, самоорганизующиеся.
Важнейшим свойством динамических систем является их устойчивость, т.е. сохранение системой своей базовой структуры и основных выполняемых функций в течение определенного времени и при относительно небольших и разнообразных внешних воздействях и внутренних возмущениях. Устойчивость есть внутреннее свойство систем, а не результат внешнего воздействия. Представления же о развитии этих систем отражают такие изменения их структурной организации, которые ведут к более эффективному выполнению системой своих основных функций. Качественные перестройки систем анализируются в теории катастроф, которая рассматривается как ветвь общей теории динамических систем.
Развитие представлений о динамических системах связано с переходом к познанию все более сложных систем. При этом особую роль приобретает изучение динамики внутренних свойств систем. В случае механических систем действие внутренних факторов сводилось к силам инерции. По мере усложнения систем возрастает значение внутренних факторов. На первый план выходят проблемы изучения источников внутренней активности систем и природы их целенаправленного функционирования и поведения. См. ст. Система [СИСТЕМА].
Динамическая система
Динамическая система — математическая абстракция, предназначенная для описания и изучения систем, эволюция во времени которых однозначно определяется начальным состоянием.
Содержание
Введение
Динамическая система представляет собой математическую модель некоторого объекта, процесса или явления.
Динамическая система также может быть представлена как система, обладающая состоянием. При таком подходе, динамическая система описывает (в целом) динамику некоторого процесса, а именно: процесс перехода системы из одного состояния в другое. Фазовое пространство системы — совокупность всех допустимых состояний динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояние в другое.
Различают системы с дискретным временем и системы с непрерывным временем.
В системах с дискретным временем, которые традиционно называются каскадами, поведение системы (или, что то же самое, траектория системы в фазовом пространстве) описывается последовательностью состояний. В системах с непрерывным временем, которые традиционно называются потоками, состояние системы определено для каждого момента времени на вещественной или комплексной оси. Каскады и потоки являются основным предметом рассмотрения в символической и топологической динамике.
Динамическая система (как с дискретным, так и с непрерывным временем) является по существу синонимом автономной системы дифференциальных уравнений, заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Положениям равновесия динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутые фазовые кривые — его периодическим решениям.
Основное содержание теории динамических систем — это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (аттракторы) и отталкивающих (репеллеры) множеств (многообразий). Важнейшие понятие теории динамических систем — это устойчивость (способность системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии) и грубость (сохранение свойств при малых изменениях структуры динамической системы).
Привлечение вероятностно-статистических представлений в эргодической теории динамических систем приводит к понятию динамической системы с инвариантной мерой.
Современная теория динамических систем является собирательным названием для исследований, где широко используются и эффективным образом сочетаются методы из различных разделов математики: топологии и алгебры, алгебраической геометрии и теории меры, теории дифференциальных форм, теории особенностей и катастроф.
Определение
Пусть 
— произвольное гладкое многообразие.
Динамической системой, заданной на гладком многообразии , называется отображение 
, записываемое в параметрическом виде 
, где 
, которое является дифференцируемым отображением, причём 
— тождественное отображение пространства . В случае стационарных обратимых систем однопараметрическое семейство 
образует группу преобразований топологического пространства , а значит, в частности, для любых 
выполняется тождество 
.
Из дифференцируемости отображения 
следует, что функция 
является дифференцируемой функцией времени, её график расположен в расширенном фазовом пространстве 
и называется интегральной траекторией (кривой) динамической системы. Его проекция на пространство , которое в носит название фазового пространства, называется фазовой траекторией (кривой) динамической системы.
Задание стационарной динамической системы эквивалентно разбиению фазового пространства на фазовые траектории. Задание динамической системы в общем случае эквивалентно разбиению расширенного фазового пространства на интегральные траектории.
Способы задания динамических систем
Для задания динамической системы необходимо описать её фазовое пространство , множество моментов времени 
и некоторое правило, описывающее движение точек фазового пространства со временем. Множество моментов времени может быть как интервалом вещественной прямой (тогда говорят, что время непрерывно), так и множеством целых или натуральных чисел (дискретное время). Во втором случае «движение» точки фазового пространства больше напоминает мгновенные «скачки» из одной точки в другую: траектория такой системы является не гладкой кривой, а просто множеством точек, и называется обычно орбитой. Тем не менее, несмотря на внешнее различие, между системами с непрерывным и дискретным временем имеется тесная связь: многие свойства являются общими для этих классов систем или легко переносятся с одного на другой.
Фазовые потоки
Пусть фазовое пространство представляет собой многомерное пространство или область в нем, а время непрерывно. Допустим, что нам известно, с какой скоростью движется каждая точка 
фазового пространства. Иными словами, известна вектор-функция скорости 
. Тогда траектория точки 
будет решением автономного дифференциального уравнения 
с начальным условием 
. Заданная таким образом динамическая система называется фазовым потоком для автономного дифференциального уравнения.
Каскады
Пусть — произвольное множество, и 
— некоторое отображение множества на себя. Рассмотрим итерации этого отображения, то есть результаты его многократного применения к точкам фазового пространства. Они задают динамическую систему с фазовым пространством и множеством моментов времени 
. Действительно, будем считать, что произвольная точка за время 
переходит в точку 
. Тогда за время 
эта точка перейдет в точку 
и т. д.
Если отображение 
обратимо, можно определить и обратные итерации: 
, 
и т. д. Тем самым получаем систему с множеством моментов времени 
.
Примеры
задает динамическую систему с непрерывным временем, называемую «гармоническим осциллятором». Её фазовым пространством является плоскость 
, где 
— скорость точки . Гармонический осциллятор моделирует разнообразные колебательные процессы — например, поведение груза на пружине. Его фазовыми кривыми являются эллипсы с центром в нуле.
Вопросы теории динамических систем
Имея какое-то задание динамической системы, далеко не всегда можно найти и описать ее траектории в явном виде. Поэтому обычно рассматриваются более простые (но не менее содержательные) вопросы об общем поведении системы. Например:
Динамические системы и их типы
Динамические системы
Люди принимают решения, которые изменяют мир вокруг. Собираем информацию о реальном мире с использованием новой информации, а также пересматриваем наше понимание мира и решений, принятых для подведения восприятия состояния системы ближе к целям.
Продолжить исследование можно только в случае обращения к новому шагу, который заключается в исследовании систем, их понимании и описании того, ка эта система функционирует, что с ней происходит, а также что происходит с окружающей средой в процессе реализации конкретной цели. Логично предположить, что подход к описанию, степень подробного описания происходящих процессов и многое другое может быть совершенно различными. Но их объединяет одно правило, которое является общим для всех и оно гласит, что нужно отражать поведение систем, описывать происходящие изменения, последовательность этапов операций действий, а также причинно-следственные связи.
Динамические системы – это системы, в которых со временем происходят какие-либо изменения.
Обязательно нужно сделать акцент на то, что в русском языке термин «динамический» не имеет единого смысла. В данной случае он использован как обозначение любых изменений во времени.
Типы динамики
Существует всего два типа динамики системы:
Функционирование системы – это все процессы, которые протекают в системе, а также во всей окружающей её среде, которая стабильно реализует фиксированную цель, например, часовой механизм, работа метро или станка на заводе.
Развитие системы – это процессы, которые происходят с системой при изменении её целей.
Характеризует развитие факт существования структуры, которая перестаёт отвечать требованиям новой цели, а для того, чтобы обеспечить её новой функцией необходимо изменить структуру, а иногда даже и состав системы, или вовсе перекроить всю систему.
Не нужно утверждать, что система всегда находится в стадии развития, или в состоянии функционирования.
При реконструкции одного цеха другие находятся в стадии функционирования или развития. Следовательно, в целом система развивается.
Даже при большой реконструкции или при полной перестройки системы некоторые её элементы могут активно функционировать, а в новой работать точно также. Также стоит заметить, что существуют и такие системы, которым для функционирования необходимы подсистемы в процессе постоянного развития.
Динамические системы и их свойства
Динамические системы довольно популярны в экономическом моделировании. 
Типы процессов, происходящих в экономических системах:
Для макроуровня, благодаря действиям объективных экономических законов и регуляторных воздействий государства, более характерные детерминированные процессы.
При хаотичном характере исследуемой системы применения методов экономической динамики позволяет несколько облегчить изучение объекта за счет определения детерминированного механизма его поведения. Это, в свою очередь, позволяет уменьшить неопределенность познания системы.
Важнейшие свойства сложных динамических систем
Рассмотрим самые важные свойства динамических систем.
1. Целостность (эмерджентность) динамических систем
В системе отдельные части функционируют совместно, составляя в совокупности процесс функционирования системы как целого.
Совокупное функционирование разнородных взаимосвязанных элементов порождает качественно новые функциональные свойства целого, не имеющие аналогов в свойствах его элементов. Это означает принципиальную невозможность сведения свойств системы к сумме свойств ее элементов.
2. Взаимодействие динамической системы с внешней средой
Система реагирует на воздействие окружающей среды, эволюционирует под этим влиянием, но при этом сохраняет качественную определенность и свойства, отличающие ее от других систем.
3. Структура динамической системы
При исследовании системы структура выступает как способ описания ее организации. В зависимости от поставленной задачи исследования осуществляется декомпозиция системы на элементы и вводятся существенные для решаемой проблемы отношения и связи между ними.
Декомпозиция системы на элементы и связи определяется внутренними свойствами данной системы. Структура динамична по природе, ее эволюция во времени и пространстве отражает процесс развития систем.
4. Бесконечность познания динамической системы
Под этим свойством понимается невозможность полного познания системы и всестороннего представления ее конечной множеством описаний, т.е. конечной количеством качественных и количественных характеристик.
Поэтому система может быть представлена множеством структурных и функциональных вариантов, отражающих различные аспекты системы.
5. Иерархичность динамической системы
6. Элемент динамической системы
Под элементом понимается наименьшее звено в структуре системы, внутреннее строение которой не рассматривается на выбранном уровне анализа. Согласно свойства 5 любой элемент является системой, но на заданном уровне анализа эта система характеризуется только целостными характеристиками.
Целостность, структура, элемент, бесконечность и иерархичность составляют ядро системообразующих понятий общей теории систем и является основой системного представления объектов и формирования концепций системных исследований.
Для более подробного изучения свойств динамических экономических систем (ЭС) необходимо рассмотреть еще ряд дополнительных ее свойств характеристик.
Динамическая система
Состояние динамической системы в любой момент времени описывается множеством вещественных чисел (или векторов), соответствующим определённой точке в пространстве состояний. Эволюция динамической системы определяется детерминированной функцией, то есть через заданный интервал времени система примет конкретное состояние, зависящее от текущего.
Связанные понятия
Упоминания в литературе
Связанные понятия (продолжение)
В математике особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Особая точка векторного поля является положением равновесия или точкой покоя динамической системы, определяемой данным векторным полем: фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая представляет собой прямую, параллельную оси времени.
В математике решение дифференциального уравнения (или, шире, траектория в фазовом пространстве точки состояния динамической системы) называется устойчивым, если поведение решений, с условиями, близкими к начальным, «не сильно отличается» от поведения исходного решения. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по Ляпунову, асимптотическую устойчивость и т.д. (см. ниже). Обычно рассматривается задача об устойчивости.
Параболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Один из видов уравнений, описывающих нестационарные процессы.