Что такое достоверное событие в теории вероятности

Что такое достоверное событие в теории вероятности

Событиями являются и результаты различных опытов, наблюдений и измерений.

1) из ящика с разноцветными шарами наугад вытаскивают белый шар;

2) на один из приобретенных лотерейных билетов выпал выигрыш;

3) при бросании игральной кости выпала цифра 6.

События делятся на достоверные, случайные и невозможные.

Достоверным называется событие, если оно обязательно произойдет в данном испытании.

Случайным называется событие, если оно может произойти, но может и не произойти в данном испытании.

Невозможным называется событие, если оно не может произойти в данном испытании.

За единицу принимают вероятность достоверного события, а вероятность невозможного события считают равной нулю. Тогда вероятность Р любого события А удовлетворяет неравенству:

Несовместными называются события, если появление одного из них

Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть фото Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть картинку Что такое достоверное событие в теории вероятности. Картинка про Что такое достоверное событие в теории вероятности. Фото Что такое достоверное событие в теории вероятности

Пример. Опыт состоит в подбрасывании монеты, событие А – выпадение орла, событие В – выпадение решки. Эти события несовместны, равновозможны и единственно возможны.

Равновозможными называются события, если ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Единственно возможными называются события, если в результате опыта хотя бы одно из них обязательно наступит. Говорят, что единственно возможные события образуют полную группу событий .

Рассмотрим классический метод определения вероятности некоторого случайного события. Пусть в результате некоторого опыта могут наступить события А1, А2, А3, …, Аn (элементарные исходы опыта), которые являются:

1)единственно возможными, т.е. в результате опыта хотя бы одно из них обязательно наступит;

2)несовместными, т.е. появление одного из них исключает появление всех остальных;

3)равновозможными, т.е. не существует никаких причин, в связи с которыми одно из событий появлялось бы чаще, чем остальные.

Пусть при появлении некоторых из этих событий наступает событие А. Обозначим число таких событий k (k≤n). А при появлении остальных (n-k) событий событие А не наступает. Говорят, что k событий (элементарных исходов), при которых появляется событие А, благоприятствуют событию А, а остальные (n-k) событий не благоприятствуют ему.

Вероятностью события А называется отношение числа k элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных исходов испытания n, если они равновозможны, несовместны и единственно возможны.

Источник

Теория вероятностей, формулы и примеры

Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть фото Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть картинку Что такое достоверное событие в теории вероятности. Картинка про Что такое достоверное событие в теории вероятности. Фото Что такое достоверное событие в теории вероятности

Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть фото Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть картинку Что такое достоверное событие в теории вероятности. Картинка про Что такое достоверное событие в теории вероятности. Фото Что такое достоверное событие в теории вероятности

Но если подкидывать монету много раз — окажется, что каждая сторона выпадает примерно равное количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: 50% на 50%, что выпадет «орел» или «решка».

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Вероятность — это степень возможности, что какое-то событие произойдет. Если у нас больше оснований полагать, что что-то скорее произойдет, чем нет — такое событие называют вероятным.

Ну, скажем, смотрим на тучи и понимаем, что дождь — вполне себе вероятное событие. А если светит яркое солнце, то дождь — маловероятное или невероятное событие.

Случайная величина — это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайные величины можно разделить на две категории:

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта). Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, которая нужна, чтобы проанализировать его через теорию вероятностей.

Формулы по теории вероятности

Теория вероятности изучает события и их вероятности. Если событие сложное, то его можно разбить на простые составные части — так легче и быстрее найти их вероятности. Рассмотрим основные формулы теории вероятности.

Случайные события. Основные формулы комбинаторики

Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть фото Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть картинку Что такое достоверное событие в теории вероятности. Картинка про Что такое достоверное событие в теории вероятности. Фото Что такое достоверное событие в теории вероятности

Классическое определение вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

Неприятная новость для любителей белого шоколада: в этом примере событие «вынуть конфету с белым шоколадом» — невозможное.

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть фото Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть картинку Что такое достоверное событие в теории вероятности. Картинка про Что такое достоверное событие в теории вероятности. Фото Что такое достоверное событие в теории вероятности

Геометрическое определение вероятности

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:

P(A)= m(A)/m(G), где m(G) и m(A) — геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов G и события А соответственно

Чаще всего, в одномерном случае речь идет о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, а в трехмерном — об объемах тел.

Пример. Какова вероятность встречи с другом, если вы договорились встретиться в парке в промежутке с 12.00 до 13.00 и ждете друг друга 5 минут?

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы — приглашаем на вводный урок!

Сложение и умножение вероятностей

Теорема о сложении вероятностей звучит так: вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B)

Эта теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть фото Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть картинку Что такое достоверное событие в теории вероятности. Картинка про Что такое достоверное событие в теории вероятности. Фото Что такое достоверное событие в теории вероятности

Если случайные события A1, A2. An образуют полную группу несовместных событий, то справедливо равенство:

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Вторая теорема о сложении вероятностей: вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей: вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

P(AB) = P(A) * P(B)

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8.

Найдем вероятности того, что формула содержится:

А — формула содержится в первом справочнике;

В — формула содержится во втором справочнике;

С — формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

Ответ: 1 — 0,188; 2 — 0,452; 3 — 0,336.

Формула полной вероятности и формула Байеса

Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть фото Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть картинку Что такое достоверное событие в теории вероятности. Картинка про Что такое достоверное событие в теории вероятности. Фото Что такое достоверное событие в теории вероятности

По теореме умножения вероятностей:

Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть фото Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть картинку Что такое достоверное событие в теории вероятности. Картинка про Что такое достоверное событие в теории вероятности. Фото Что такое достоверное событие в теории вероятности

Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть фото Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть картинку Что такое достоверное событие в теории вероятности. Картинка про Что такое достоверное событие в теории вероятности. Фото Что такое достоверное событие в теории вероятности

Аналогично, для остальных гипотез:

Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть фото Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть картинку Что такое достоверное событие в теории вероятности. Картинка про Что такое достоверное событие в теории вероятности. Фото Что такое достоверное событие в теории вероятности

Эта формула называется формулой Байеса. Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как — априорными вероятностями.

Пример. Одного из трех стрелков вызывают на линию огня, он производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5; для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто бывает, что одно и тоже испытание повторяется многократно, и исход каждого испытания независит от исходов других. Такой эксперимент называют схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы. А вероятность появления события А в каждом случае постоянна и не изменяется от испытания к испытанию.

Биномиальное распределение — распределение числа успехов (появлений события).

Пример. Среди видео, которые снимает блогер, бывает в среднем 4% некачественных: то свет плохой, то звук пропал, то ракурс не самый удачный. Найдем вероятность того, что среди 30 видео два будут нестандартными.

Опыт заключается в проверке каждого из 30 видео на качество. Событие А — это какая-то неудача (свет, ракурс, звук), его вероятность p = 0,04, тогда q = 0,96. Отсюда по формуле Бернулли можно найти ответ:
Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть фото Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть картинку Что такое достоверное событие в теории вероятности. Картинка про Что такое достоверное событие в теории вероятности. Фото Что такое достоверное событие в теории вероятности

Ответ: вероятность плохого видео приблизительно 0,202. Блогер молодец🙂

Наивероятнейшее число успехов

Биномиальное распределение ( по схеме Бернулли) помогает узнать, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов k (появлений события) выглядит так:

Пример. В очень большом секретном чатике сидит 730 человек. Вероятность того, что день рождения наугад взятого участника чата приходится на определенный день года — равна 1/365 для каждого из 365 дней. Найдем наиболее вероятное число счастливчиков, которые родились 1 января.

Формула Пуассона

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно. Например, 0.97 999 вычислить весьма затруднительно.

В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть фото Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть картинку Что такое достоверное событие в теории вероятности. Картинка про Что такое достоверное событие в теории вероятности. Фото Что такое достоверное событие в теории вероятности

Здесь λ = np обозначает среднее число появлений события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для p ≤ 0,1 и np ≤10.

События, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность, что они произойдут — очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

При больших np рекомендуют применять формулы Лапласа, которую рассмотрим чуть позже.

Пример. В айфоне 1000 разных элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

P1000(3) = λ 3 /3! * e −λ = 2 3 /3! * e −2 ≈ 0,18.

Ответ: ориентировочно 0,18.

Теоремы Муавра-Лапласа

Кроме того, пусть Pn(k1;k2) — вероятность того, что число появлений события А находится между k1 и k2.

Локальная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть фото Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть картинку Что такое достоверное событие в теории вероятности. Картинка про Что такое достоверное событие в теории вероятности. Фото Что такое достоверное событие в теории вероятности

Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть фото Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть картинку Что такое достоверное событие в теории вероятности. Картинка про Что такое достоверное событие в теории вероятности. Фото Что такое достоверное событие в теории вероятности

Интегральная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть фото Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть картинку Что такое достоверное событие в теории вероятности. Картинка про Что такое достоверное событие в теории вероятности. Фото Что такое достоверное событие в теории вероятности

Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть фото Что такое достоверное событие в теории вероятности. Смотреть картинку Что такое достоверное событие в теории вероятности. Картинка про Что такое достоверное событие в теории вероятности. Фото Что такое достоверное событие в теории вероятности

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые пригодятся, чтобы правильно пользоваться таблицей значений этих функций:

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при npq ≥ 9. Причем чем ближе значения q, p к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность по сравнению с исходной формулой Бернулли.

Источник

Что такое достоверное событие в теории вероятности

Теория вероятности

Навигация

Лекция 2: Основные понятия теории вероятностей. Теоремы сложения и умножения

1. Предмет теории вероятностей.

2. Краткая историческая справка.

3. Виды случайных событий.

4. Определение вероятности.

5. Теорема сложения вероятностей.

6. Теорема умножения вероятностей.

1. Предмет теории вероятностей.

Наблюдаемые нами явления (события) можно разделить на 3 вида: достоверные, невозможные и случайные.

Пример: Событие А- «Вода находится в сосуде в жидком состоянии» является достоверным, если она содержится при нормальном атмосферном давлении и температуре 20 градусов по Цельсию.

Пример: Событие А- «Вода находится в сосуде в твердом состоянии» является достоверным, если она содержится при нормальном атмосферном давлении и температуре 20 градусов по Цельсию.

Пример: Брошена монета. Событие А- «При бросании на монете выпал герб» является случайным.

Каждое случайное событие есть следствие действий многих случайных причин (сила, с которой брошена монета, форма монеты и т.д.). Учесть влияние всех этих причин невозможно, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому, теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет. Она просто не в силах этого сделать.

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Например, можно предсказать с небольшой погрешностью число появления герба при подбрасывании монеты большого числа раз.

2. Краткая историческая справка.

Задача кавалера де Мере: Два игрока поставили поровну, начали игру и условились, что тот кто раньше выиграет известное число партий, получит всю ставку. По некоторым обстоятельствам игра не могла быть окончена и прекратилась в тот момент, когда первому игроку не хватало до конца одной, а второму- двух побед. Спрашивается: «Как игроки должны поделить ставку между собой?». (Ответ: 3:1)

Эту задачу в 1654 году кавалер де Мере предложил для решения своему другу, знаменитому Блезу Паскалю. Тот решил ее и для более общего случая. Решив задачу сам, Паскаль предложил решить ее своему не менее знаменитому современнику Пьеру Ферма. Каждый из них решил задачу своим способом, и на основе этого у них завязалась переписка.

Таким образом, были положены основы математической теории вероятностей.

Страстный игрок в кости кавалер де Мере так же относится к числу основателей теории вероятностей. Заслуга его состоит в том, что он настойчиво заставлял известных математиков решать различные задачи, на которые наталкивался сам.

Следующий этап развития теории вероятностей связан с именами Якова Бернулли (доказанная им теорема, получившая название «Закон больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.), Карла Гаусса, Пьера-Симона Лапласса, Абрахама де Муавра и т.д.

Случайные события или просто события принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В, С и т.д.

В дальнейшем, «совокупность условий» будем заменять на краткое выражение «произошло испытание».

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Полной группой случайных событий называется группа всевозможных, равновозможных и единственно-возможных событий.

События называются равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

4. Определение вероятности.

4.1 Классическое определение вероятности (определяет количественные шансы наступления случайного события)

Вероятностью случайного события А называется отношение числа благоприятных случаев к общему числу всевозможных, равновозможных и единственно-возможных случаев.

Свойство 1: Вероятность достоверного события равна 1.

Свойство 2: Вероятность невозможного события равна 0.

Доказательство: т.к. m =0, то:

Свойство 3: Вероятность случайного события есть положительно число, заключенное между 0 и 1.

1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найдите вероятность того, что набрана нужная цифра.

2. В партии из 10 изделий- 7 нестандартных. Найдите вероятность того, что среди 6-ти взятых наудачу изделий:

а) все шесть нестандартные;

3. На карточках написаны буквы И, В, А, Н, О, В. Карточки перемешивают и раскладывают в ряд. Найдите вероятность того, что при этом получится фамилия «Иванов»?

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо.

4.2 Статистическое определение вероятности (экспериментальное, опытное определение).

Статистической вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих исходов опытов к общему числу проведенных опытов (испытаний).

4.3 Геометрическое определение вероятности (вероятность попадания точки в заданную область).

Пример: На территории крытой военной базы стоит 4 цистерны. Какова вероятность прямого попадания с воздуха в одну из цистерн?

5. Теорема сложения вероятностей.

Суммой случайных событий А и В называется событие А+В, состоящее как из исходов, благоприятствующих событию А, так и из исходов, благоприятствующих событию В. (Исходы, благоприятствующие событиям А и В одновременно, считаются только один раз.)

Понятие суммы распространяется на любое число случайных событий А, В, С и т.д.

Пример: Из орудия произведено 2 выстрела. Событие А- «Зафиксировано попадание при первом выстреле», Событие В- «Зафиксировано попадание при втором выстреле», Событие А+В – «Зафиксировано попадание хотя бы при одном из двух выстрелов».

Теорема: Если случайные события А и В несовместны, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Пример: В урне имеется 30 шаров: 10- красных, 5- синих, 15- белых. Найдите вероятность появления цветного (не белого) шара.

Решение: Пусть событие А-«Случайным образом вынули красный шар», событие В- «Случайным образом вынули синий шар, событие А+В- «Случайным образом вынули красный или синий (цветной) шар». Т. К. события А и В- несовместны, то:

Случайные события А и называются противоположными, если они несовместны и в сумме образуют достоверное событие.

Пример: Вероятность того, что день будет дождливым равна 0,7. Найдите вероятность того, что день будет не дождливым.

Решение: p =0,7, q =1- p =1-0,7=0,3.

Пример: В XVII веке во Франции страстный игрок в кости рыцарь де Мере хотел разбогатеть при помощи игры в кости и для этого он придумывал различные усложненные правила игры. Однажды, де Мере придумал следующие правила:

Первая игра де Мере: Игральная кость подбрасывается 4 раза. Рыцарь бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадет 6 очков.

Рыцарь стал часто выигрывать и с ним перестали играть. Тогда он придумал вторую игру.

Вторая игра де Мере: 2 игральные кости подбрасывают 24 раза. Рыцарь бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадут две шестерки.

Эта игра его разорила.

Теорема: Если случайные события не совместны в совокупности, то

Следствие: Если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна…

. События образуют полную группу случайных событий.

Произведением случайных событий А и В называют событие A*B, состоящее из тех и только тех исходов, которые благоприятствуют одновременно и событию А, и событию В.

Пример: Бросают 2 игральные кости и рассматривают случайные события А- «На первой кости выпало четное число очков (2 k )» и В- «На второй кости выпало число очков, кратное трем (3 l )». всех возможным исходов при этом- 36 (6 * 6). Событию А благоприятствует 18 исходов. Событию В благоприятствует 12 исходов. Событию A*B благоприятствует 6 исходов. (2-3; 4-3; 6-3; 2-6; 4-6; 6-6).

Теорема: Для любых случайных событий А и В справедливо равенство:

Доказательство: т.к. число A*B при суммировании исходов, благоприятствующих каждому из событий считается дважды, то один раз это число необходимо отнять.

Пример: Найдите вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет грань с четным числом очков или числом очков кратным трем.

Решение: Событие А-« На кости выпало четное число очков», событие В- «На кости выпало число очков кратное трем». События А и В- совместны.

6. Теорема умножения вероятностей.

Случайное событие А называется независимым от события В, если вероятность наступления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Пример: Подбросили 2 монеты. Появление герба на второй монете не зависит от того, что выпало на первой и наоборот. Это два независимых друг от друга события.

Вероятность случайного события А, вычисленная при условии, что событие В имело место, называется условной вероятностью и обозначается Р(А/В).

Если А и В- независимые случайные события, то Р(А/В)=Р(А) и Р(В/А)=Р(В).

Теорема: Вероятность произведения двух случайных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.

В урне 15 белых шаров и 20- черных. Найдите вероятность того, что оба шара, вынутых наудачу- белые.

Решение: Событие А- «Первым вынули белый шар», событие В- «вторым вынули белый шар». Тогда,

Теорема: Вероятность произведения нескольких случайных событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.

Теорема: Вероятность произведения двух независимых случайных событий равна произведению вероятностей этих событий. P(A*B)=P(A)*P(B)

Доказательство: P(A*B)=P(A)*P(B/A)= P(A)*P(B), т.к. А и В- независимы. Ч.т.д.

Пример: В урне 7 белых шаров и 6- черных. Вынули первый шар, запомнили его цвет и вернули его обратно. После этого вынули второй шар. Найдите вероятность, что оба шара были белые.

Решение: Событие А- «Первым вынули белый шар», событие В- «Вторым вынули белый шар». События А и В – независимы. Тогда

Теорема: Вероятность произведения нескольких независимых случайных событий равна произведению их вероятностей.

Пример: Производится 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,7, при втором- 0,8, при третьем- 0,9. Найдите вероятность того, что в результате этих трех выстрелов будет ровно одна пробоина.

Событие А- «будет одна пробоина в результате трех выстрелов».

Р(А)=0, 7*0,2 * 0,1+0,3 * 0,8 *0,1+0,3 * 0,2 * 0,9=0,014+0,024+0,054=0,092

Рассмотрим решение задачи кавалера де Мере.

Событие А- «Победил первый игрок».

Первый игрок может победить в первой же игре или во второй (потерпев в первой игре поражение). Тогда

Т.е. вероятность, что первый игрок одержит победу, равна 3/4. Для второго игрока эта вероятнсоть равна 1/3. Ставку необходимо разделить 3:1.

1. По преданию, когда-то в сельской местности России среди девушек существовало гадание. Одна из подруг зажимала в руке 6 травинок так, чтобы концы травинок торчали сверху и снизу, а другая девушка связывала эти травинки попарно между собой сверху и снизу. Если при этом все шесть травинок оказывались связанными в одно кольцо, то это должно было означать, что девушка в текущем году выйдет замуж. Какова вероятность этого события?

Гадание чаще всего сбывалось, т.к. в этом возрасте действительно примерно 50 % девушек выходило замуж.

2. В XVII веке в Генуе возникла знаменитая лотерея. Генуэзская лотерея в XVIII веке разыгрывалась во Франции, Германии и других европейских странах. В лотерее разыгрывается 90 номеров, из которых выигрывают 5. По условию можно ставить ту или иную ставку на любой из 90 номеров или на любую совокупность 2-ух, 3-ех,4-ех или 5-ти номеров. Если участник лотереи ставит на один номер, то он получает при выигрыше в 15 раз больше ставки, если на 2 номера (амбо), то в 270 раз, если на 3 (терн)- в 5500 раз, если на 4 (катерн)- в 75000 раз, елс на 5 (квин)- в 1000000 раз. Какова вероятность выиграть в каждом из указанных 5-ти случаев.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *