Что такое дуга большого круга в судовой навигации

Плавание по дуге большого круга

Наивыгоднейший путь судна совпадает с кратчайшим расстоянием между точками на земле, те с ДБК. Трудность заключается в том, что ортодромия на меркаторских картах в виде прямой не изображается, на них для прокладки курсов удобней использовать локсодромию.

При плавании по экватору или меридиану или вблизи их ортодромии и локсодромии либо совпадают либо разняться по величине незначительно. Но с увеличением широты и на курсах, отличающихся от 0° или 180°, эта разница между ними становится всё ощутимее.

y1-ортодромическая поправка для всей локсодромии (выбирается по j1, jn, sl=ln-l1),

На генеральной карте в меркаторской проекции соединяют прямой линией (локсодромией) точку отхода 1 и точку прихода n.

Для нанесения ортодромии на карту локсодромию от точки 1 разбивают меридиальными линиями на равные участки так, чтобы разность долгот каждого не превышала 10°. Для получения т.2 ортодромии из т.1 проводят прямую 1-2 до пересечения с меридианом первого участка, определяемую углом К1х.
Получив т.2 первого участка, вновь соединяют её с точкой n и рассчитав ортодромическую поправку y2 по координатам точек 2 и n, проводят направление второй хорды ортодромии. Найдя конечную точку 3 второго участка, опять соединяют её с точкой n. такие последовательные построения и рассчёты Кi выполняют до тех пор, пока прокладываемая ДБК не достигнет конечной точки.

Направление хорды участка ортодромии, принимая его в дальнейшем за истиный курс судна, рассчитывают каждый раз по формуле:

Kix = Ki + y1- (y1 \ n-(i-1)).

Знак ортодромической поправки в северном полушарии отрицательный при курсах от 0 до 180, а положительный при курсах от 180 до 360. В южном полушарии знаки поправки меняются на обратные.

Источник

Ортодромия. Способы нанесения дуги большого круга на меркаторскую карту

В статье рассмотрены понятия локсодромии и ортодромиии и рассмотрены нанесения дуги большого круга на меркаторскую карту.

Ортодромия – дуга большого круга (ДБК) – кратчайшее расстояние между двумя точками на земной сфере – кривая, обращенная (на МНК в проекции Меркатора) выпуклостью к ближайшему полюсу (рис.4.1). На картах в гномонической проекции – прямая линия.

Рассмотрим элементы дуги большого круга – ортодромии (рис. 4.2):

Рис. 4.2. Элементы дуги большого круга – ортодромии

Аналитический способ расчета координат точек ортодромии:

Координаты промежуточных точек рассчитываются аналитически и наносятся на карту

Нанеся по координатам начальную точку (т. А), промежуточных точки и конечную точку (т. В) на морскую навигационную карту, получим маршрут перехода судна с изменением курса через каждые 10° долготы (плавание по хордам ортодромии).

Рис. 4.3. Схема плавания судна по хордам ортодромии

Использование ортодромических поправок:

Определить долготный интервал изменения курса Δλ и провести соответствующие ему меридианы от пункта отхода к пункту прихода. По координатам начальной и конечной точек плавания на карте в меркаторской проекции проложить отрезок локсодромии между этими точками и измерить исходный локсодромический курс К₀. (рис.4.4) Начальную ортодромическую поправку ψ₀ выбрать из таб.2.12 МТ-2000 или рассчитать по формуле.

Рассчитать направление ортодромии в пункте отхода:

Рассчитать направление первой хорды:

где ψ₁-ортодромическая поправка для первого курса, выбираемая по широте начальной точки В₁ и принятому долготному интервалу Δλ. От исходной точки В₁ по направлению К₁ до пересечения с меридианом λ_а=λ₁+Δλ провести первую хорду дуги большого круга. В полученной точке а рассчитать направление второй хорды:

где ψ₂-ортодромическая поправка второго курса, выбираемая по широте точки а и принятому долготному интервалу Δλ. Провести вторую хорду от точкт а до меридиана λb=λa+ Δλ Аналогичным способом рассчитать и проложить все последующие хорды.

Использование карт в гномоноческой проекции:

Дуга большого круга изображается на картах в гномонической проекции прямой линией. Это позволяет, соединив прямой линией пункты отхода и прихода, убедиться, что проложенная ортодромия проходит в стороне от опасностей. Далее следует по измеренным с карты координатам отдельных точек ортодромии перенести ДБК на меркаторскую путевую карту.

Использование специальной номограммы:

Определение начального направления ДБК производится по специальной номограмме (адмиралтейский номер 90199). Порядок работы с номограммой указан в ее описании. Дальнейшая методика расчета курсов не отличается от описанной в способе ортодромической поправки.

Источник

§ 46. ПЛАВАНИЕ ПО ДУГЕ БОЛЬШОГО КРУГА

Сущность плавания по дуге большого круга

Переход судна, следующего постоянным курсом, совершается до локсодромии. Плавание по локсодромии очень удобно, так как судно весь переход удерживают на постоянном курсе. Однако локсодромия не является кратчайшим расстоянием между выбранными пунктами перехода.

При небольших переходах разность расстояний по локсодромии и по ортодромии настолько незначительна, что ею пренебрегают и плавание осуществляют по локсодромии.

При большом океанском переходе судна, когда расстояние между отшедшим и пришедшим пунктами измеряется тысячами миль, необходимо выбирать путь наиболее короткий.

Например, при плавании из пункта А в пункт В (рис. 112, а) необходимо проложить путь судна по дуге А В большого круга ABCD, проведенного через пункты отхода и прихода, так как кратчайшим расстоянием между двумя точками на шаре будет меньшая из дуг большого круга, проходящая через эти точки.

Если же судно при переходе из пункта A в В будет идти не по дуге большого круга, а по локсодромии AFB или по дуге какого-либо малого круга, проходящего через те же точки, то оно будет проходить большее расстояние.

Выигрыш в длине пути при плавании по локсодромии и ортодромии определяется сравнением расстояний между точками по локсодромии и ортодромии.

Из формул письменного счисления длина пути по локсодромии определяется

Длину дуги большого круга (АВ ) — расстояние по ортодромии можно рассчитать по формуле косинуса стороны из сферического треугольника PNA В:

Для приближенного суждения о разности между длинами дуги большого круга и локсодромии рассмотрим рис. 112, б, дающий равноугольное, с малым искажением изображение. Для небольших расстояний ортодромические поправки w в конечных пунктах можно принять одинаковыми. Тогда локсодромия изобразится дугой окружности, проведенной радиусом R.

Разность между длиной локсодромии и ортодромии будет

Для относительного значения этой разности при выражении w в градусах получим

Расчеты показывают, что плавание по дуге большого круга даст сокращение расстояния на 0,5% и более только начиная со значения w = 10°.

Когда плавание происходит по ортодромии, курс во время перехода будет непрерывно изменяться в пределах от КH до КK (см. рис. 112, а), т. е. от направления дуги большого круга в пункте отхода, называемого начальным курсом КH, до направления ее в пункте прихода, называемого конечным курсом КK.

Любой большой круг, проведенный на поверхности земного шара, пересекает линию экватора в двух точках О и О1 и имеет по одной точке (V и V1) в каждом полушарии с наибольшей широтой — кратчайшим расстоянием от земных полюсов.

Точка на дуге большого круга, находящаяся в кратчайшем расстоянии от земного полюса (имеющая наибольшую широту), называется вертексом данной дуги большого круга. Долготы вертексов отличаются друг от друга на 180°, а широты их численно равны, но противоположны по наименованию.

Прокладка дуги большого круга на карте меркаторской проекции

Выполняется по известным координатам промежуточных точек. Координаты промежуточных точек можно вычислить по формулам сферической тригонометрии, снять с карт гномонической проекции или определить с помощью ортодромической поправки.

В практике судовождения используют два последних способа.

Способ нанесения дуги большого круга по точкам, координаты которых сняты с гномонической карты, служит для общей ориентировки о возможном кратчайшем пути судна. Для этого наносят на карту гномонической проекции начальную и конечную точки (см. рис. 112, а), соединяют их прямой линией и снимают с этой карты начальный (КН) и конечный (КК) курсы, а в случае пересечения ортодромией экватора, то и курс в точке пересечения (К0). Затем по разности курсов рассчитывают число промежуточных точек и наносят их на карте гномонической проекции.

Число промежуточных точек рассчитывают исходя из изменения курса на 2—3° по формуле:

а если ортодромия пересекает экватор, то

т. е. отдельно до и после экватора. После, сняв координаты промежуточных точек с гномонической карты, переносят их на карту меркаторской проекции и соединяют линиями курсов (локсодромией).

Для того чтобы учесть ортодромическую поправку, вначале на карте меркаторской проекции прокладывают локсодромический курс между начальной и конечной точками. Он изобразится прямой АВ (рис. 113).

Затем из табл. 23-а (МТ—63) выбирают ортодромическую поправку W1 и рассчитывают направление дуги большого круга в точке Р1 (LА1 = K1 — W1), где К1 — направление локсодромии из точки Р1 в точку В. При этом необходимо помнить, что знак ортодромической поправки в северном полушарии при курсах 0—180° минус, при курсах 180 — 360° плюс, а в южном полушарии знаки меняются на обратные.

Далее прокладывают отрезок ортодромии в виде прямой под углом А1 к меридиану в точке Р1 и откладывают по нему расстояние 200—300 миль.

Полученную точку Р2 вновь соединяют с конечной точкой 5, определяют направление К2, выбирают по табл. 23-а (МТ—63) ортодромическую поправку W2 и прокладывают отрезок ортодромии из точки Р2 под углом A2 = К2 — W2. Затем, отложив от точки Р2 расстояние 200—300 миль, получают точку Р3. Так поступают до тех пор, пока прокладываемая ортодромия не достигнет точки В. Плавание по дуге большого круга, являясь самым коротким по расстоянию, не всегда бывает самым выгодным, поскольку путь судна может пролегать по областям океана с неблагоприятными гидрометеорологическими условиями для плавания (встречные ветры и течение, сильное волнение, туманы, льды и т. п.).

Поэтому при выборе наивыгоднейшего пути для осуществления большого океанского перехода необходимо руководствоваться картами наивыгоднейших путей и рекомендациями лоций.

Источник

Плавание по дуге большого круга

Наивыгоднейший путь судна совпадает с кратчайшим расстоянием между точками на земле, те с ДБК. Трудность заключается в том, что ортодромия на меркаторских картах в виде прямой не изображается, на них для прокладки курсов удобней использовать локсодромию.

При плавании по экватору или меридиану или вблизи их орт и локс либо совпадают либо разняться на по величине незначительно. Но с увеличением широты и на курсах, отличающихся от 0° или 180°, эта разница между ними становится всё ощутимее.

Сущность плавания по ДБК сводится к следующему. ДБК непрерывно меняет своё направление относительно меридианов, пересекая их под различными углами. Следовательно курс судна при плавании по ортодромии должен постоянно меняться, начиная от начального курса при выходе из пункта отхода и до конечного – при подходе к пункту назначения. Но к частому изменению курсов не прибегают, т.к. на коротких участках разность длин ортодромии и локсодромии незначительна. Поэтому практическое плавание по ДБК осуществляется постоянными курсами по отдельным участкам локсодромии, представляющим собой хорды дуги ортодромии. В этом случае изображение дуги ортодромии в виде ломаной линии наносят на меркаторскую карту по её начальным и конечным координатам и по координатам заранее выбраных промежуточных точек

К1х = К1 + y1 – y1\n,

К1х – курс судна по первой хорде ортодромии,

К1 – локсодромический курс из т.1 в т.n (снимается с карты),

y1-ортодромическая поправка для всей локсодромии (выбирается по j1, jn,

sl=ln-l1),

К2х = К2 – y2– (y2/n–1).

На генеральной карте в меркаторской проекции соединяют прямой линией (локсодромией) точку отхода 1 и точку прихода n. Для нанесения ортодромии на карту локсодромию от точки 1 разбивают меридиальными линиями на равные участки так, чтобы разность долгот каждого не превышала 10°. Для получения т.2 ортодромии из т.1 проводят прямую 1-2 до пересечения с меридианом первого участка, определяемую углом К1х. Получив т.2 первого участка, вновь соединяют её с точкой n и рассчитав ортодромическую поправку y2 по координатам точек 2 и n, проводят направление второй хорды ортодромии. Найдя конечную точку 3 второго участка, опять соединяют её с точкой n. такие последовательные построения и рассчёты Кi выполняют до тех пор, пока прокладываемая ДБК не достигнет конечной точки.

Направление хорды участка ортодромии, принимая его в дальнейшем за истиный курс судна, рассчитывают каждый раз по формуле:

Kix = Ki + y1– (y1 \ n-(i-1)).

Знак ортодромической поправки в северном полушарии отрицательный при курсах от 0 до 180, а положительный при курсах от 180 до 360. В южном полушарии знаки поправки меняются на обратные.

Источник

masterok

Мастерок.жж.рф

Хочу все знать

Вот еще один, казалось бы странный пример:

Путь по пунктирной линии на картинке короче, чем по сплошной. А теперь чуть чуть подробнее на примере морских маршрутов:

Если совершать плавание постоянным курсом, то траектория перемещения судна по земной поверхности будет представлять собой кривую, называемую в математике логарифмической спиралью.

В навигации эта сложная двоякой кривизны линия называется локсодромией, что в переводе с греческого языка означает «косой бег».

Однако кратчайшее расстояние между двумя точками на земном шаре измеряется по дуге большого круга.

Дуга большого круга получается как след от пересечения земной поверхности с плоскостью, проходящей через центр Земли, принимаемой за шар.

В навигации дуга большого круга получила название ортодромия, что в переводе означает «прямой бег». Второй особенностью ортодромии является то, что она пересекает меридианы под различными углами (рис. 29).

Разность расстояний между двумя точками на земной поверхности по локсодромии и ортодромии имеет практическое значение только при больших океанских переходах.

Рис. 29. Ортодромия и локсодромия

Рис. 30. Локсодромия и ее изображение на меркаторской проекции

В обычных же условиях этой разностью пренебрегают и плавание совершают на постоянном курсе, т.е. по локсодромии.

Для вывода уравнения возьмем на локсодромии (рис. 30, а) две точки А и В, расстояние между которыми элементарно мало. Проведя через них меридианы и параллель, получим элементарный прямоугольный сферический треугольник ABC. В этом треугольнике угол, образованный пересечением меридиана и параллели, прямой, а угол, P_nAB равен курсу судна К. Катет АС представляет отрезок дуги меридиана и его можно выразить

где R — радиус Земли, принятой за шар;

Δφ — элементарное приращение широты (разность широт).

Катет СВ представляет отрезок дуги параллели

где r — радиус параллели;

Δλ — элементарная разность долгот.

Из треуголника OO₁C можно найти, что

Тогда в окончательном виде катет СВ можно выразить так:

Принимая элементарный сферический треугольник ABC за плоский, напишем

После сокращения R и замены элементарно малых приращений координат бесконечно малыми будем иметь

Проинтегрируем полученное выражение в пределах от φ₁, λ₁ до φ₂, λ₂ считая значение tgK величиной постоянной:

В правой части имеем табличный интеграл. После подстановки его значения получим уравнение локсодромии на шаре

Анализ этого уравнения позволяет сделать следующие выводы:

— при курсах 0 и 180° локсодромия превращается в дугу большого круга — меридиан;

— при курсах 90 и 270° локсодромия совпадает с параллелью;

— локсодромия пересекает каждую параллель только один раз, а каждый меридиан — бесчисленное количество раз. т.е. спиралеобразно приближаясь к полюсу она его не достигает.

Плавание постоянным курсом, т. е. по локсодромии, хотя она и не является кратчайшим расстоянием между двумя точками на Земле, представляет для судоводителя значительные удобства.

Требования, предъявляемые к морской навигационной карте, можно сформулировать, основываясь на преимуществе плавания по локсодромии и результатах анализа ее уравнения следующим образом.

1. Локсодромия, пересекая меридианы под постоянным углом, должна изображаться прямой линией.

2. Картографическая проекция, используемая для построения карт, должна быть равноугольной, чтобы курсы, пеленги и углы на ней соответствовали своему значению на местности.

3. Меридианы и параллели, как линии курсов 0, 90, 180° и 270°, должны быть взаимно перпендикулярными прямыми линиями.

Кратчайшим расстоянием между двумя данными точками на поверхности Земли, принятой за шар, является меньшая из дуг большой окружности, проходящей через эти точки. Кроме случая следования судна по меридиану или экватору, ортодромия пересекает меридианы под разными углами. Поэтому судно, следующее по такой кривой, должно всё время изменять свой курс. Практически удобнее следовать по курсу, составляющему постоянный угол с меридианами и изображаемому на карте в проекции Меркатора прямой линией — локсодромией. Однако на больших расстояниях различие в длине ортодромии и локсодромии достигает значительной величины. Поэтому в таких случаях рассчитывают ортодромию и намечают на ней промежуточные точки, между которыми совершают плавание по локсодромии.

Картографическая проекция, удовлетворяющая перечисленным требованиям, была предложена голландским картографом Герардом Крамером (Меркатором) в 1569 г. В честь ее создателя проекция получила название меркаторской.

А кто хочет почерпнуть еще больше интересной информации узнайте подробнее кто такой был МЕРКАТОР

Источник