Что такое геометрический модуль
Модули. Применение геометрического смысла модуля при решений уравнений и неравенств
Цель: Актуализировать знания школьников о смысле понятия «модуль». Учить их применять эти знания при решении уравнении, неравенств и систем уравнении с модулями.
Для того, чтобы научиться решать уравнения и неравенства с модулем, необходимо хорошо разобраться с понятием модуля, его геометрическим смыслом и свойствами.
С рассмотрения этого материала мы и начнем наше занятие.
1. Определение: Модулем числа называется само число, если оно неотрицательно, или число противоположное данному, если оно отрицательно.
Следовательно, при любых значениях переменной |а| есть число неотрицательное.
2. Рассмотрим основные свойства модуля, которые используются при решении уравнений и неравенств, содержащих модуль.
Свойства модуля
— Модуль числа есть величина неотрицательная: |а|>0 или равно 0.
— Модули противоположенных чисел равны: |а|= |-а|
— Модуль произведения равен произведению модулей множителей: |а*в|= |а|*|в|.
— Модуль частного равен частному модулей числителя и знаменателя: |а/в|=|а|/|в|, где в не равен нулю.
— Модуль суммы не больше суммы модулей ее слагаемых: |а+в|≤|а|+|в|.
При этом равенство |а+в|=|а|+|в| имеет место тогда и только тогда, когда слагаемые одного знака или одно из слагаемых равно нулю.
— Два числа, модули которых равны, либо равны между собой, либо отличаются только знаками, то есть являются противоположными: |а|=|в|, если, а=в или, а=–в.
Преобразование выражений, содержащих модули
При решении уравнении и неравенств с модулем, часто приходится преобразовывать их, раскрывая знак модуля.
Рассмотрим, по каким правилам раскрывается модуль.
Из определения модуля следует: чтобы раскрыть знак модуля, надо знать знак подмодульного выражения.
Составим схему раскрытия модуля:
а) если знак подмодульного выражения неотрицателен, то знак модуля опускается: |а| =а.
б) если знак подмодульного выражения отрицателен, то подмодульное выражение умножается на (-1), то есть заменяется противоположенным выражением: |а| =-1а.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.1
б) |3+х|, если х 5, то х-2 > 0, поэтому |х-2|=х-2;
4. Задания для самостоятельной работы
б) |- 3/7х|, если х 2 |, если а > 0;
3. Решить неравенство самостоятельно:
4. Решить уравнение:
5. Решить уравнение:
6. Решить неравенство:
7. Найдите наибольшее натуральное значение параметра с при котором решение неравенства
Это задание можно предложить сильным школьникам для домашней работы с последующей проверкой на уроке.
2. Для решения неравенства сделаем ещё два рисунка.
Значение выражения, стоящего под модулем, не должно превышать 2, значит
Значение выражения, стоящего под модулем, должно быть больше, чем 48 единиц, значит:
Что такое модуль действительного числа
В данной публикации мы рассмотрим определение, геометрическую интерпретацию, график функции и примеры модуля положительного/отрицательного числа и нуля.
Определение модуля числа
Модуль действительного числа (иногда называется абсолютной величиной) – это величина, равная ему же, если число положительное или равная противоположному, если оно отрицательное.
Модуль числа a обозначается вертикальными черточками с обеих сторон от него – |a|.
Противоположное число отличается от исходного знаком. Например, для числа 5 противоположным является -5. При этом ноль является противоположным самому себе, т.е.
Геометрическая интерпретация модуля
Модуль числа a – это расстояние от начала координат (O) до точки A на координатной оси, которая соответствует числу a, т.е.
График функции с модулем
График четной функции y = |х| выглядит следующим образом:
Чему равняются следующие модули |3|, |-7|, |12,4| и |-0,87|.
Решение:
Согласно приведенному выше определению:
Модуль числа
Модуль числа и уравнения с модулем — тема особенная, прямо-таки заколдованная 🙂 Она совсем не сложная, просто в школе её редко объясняют нормально. В результате без специальной подготовки почти никто из школьников не может дать правильное определение модуля и тем более решить уравнение с модулем. И эту картину мы наблюдаем на протяжении многих лет.
Поэтому осваивайте тему «Уравнения и неравенства с модулем» по нашим статьям и на наших занятиях! Вы сумеете обойти множество конкурентов на ЕГЭ, олимпиадах и вступительных экзаменах.
Модуль числа называют ещё абсолютной величиной этого числа. Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. В записи положительного числа и так нет. никакого знака, поэтому модуль положительного числа равен ему самому. Например, 
Модуль нуля равен нулю. А модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному
(без знака!). Например, 
Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: 
От большинства известных из школы определений оно отличается лишь одним: в нём есть выбор. Есть условие. И в зависимости от этого условия мы раскрываем модуль либо так, либо иначе.
Так же, как в информатике — в разветвляющихся алгоритмах с применением условных операторов. Как, вообще-то, и в жизни: сдал ЕГЭ на минимальный балл — можешь подавать документы в ВУЗ. Не сдал на минимальный балл — можешь идти в армию 🙂
Таким образом, если под знаком модуля стоит выражение, зависящее от переменной, мы раскрываем модуль по определению. Например,
В некоторых случаях модуль раскрывается однозначно. Например, 
так как выражение под знаком модуля неотрицательно при любых x и y. Или: 
так так как выражение под модулем неположительно при любых z.
Геометрическая интерпретация модуля
Нарисуем числовую прямую. Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. Например, 
То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5. 
Эта геометрическая интерпретация очень полезна для решения уравнений и неравенств с модулем.
Рассмотрим простейшее уравнение 
. Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно трём. Это точки 3 и −3. Значит, у уравнения есть два решения: x = 3 и x = −3.
Вообще, если имеются два числа a и b, то 
равно расстоянию между ними на числовой прямой. 
(В связи с этим нередко встречается обозначение 
длины отрезка AB, то есть расстояния от точки A до точки B.)
Ясно, что 
(расстояние от точки a до точки b равно расстоянию от точки b до точки a).
Решим уравнение 
. Эту запись можно прочитать так: расстояние от точки x до точки 3 равно 4. Отметим на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.
Мы видим, что наше уравнение имеет два решения: −1 и 7. Мы решили его самым простым способом — без использования определения модуля.
Перейдём к неравенствам. Решим неравенство 
.
Эту запись можно прочитать так: «расстояние от точки x до точки −7 меньше четырёх». Отмечаем на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.
Другой пример. Решим неравенство |10 − x| ≥ 7.
Расстояние от точки 10 до точки x больше или равно семи. Отметим эти точки на числовой прямой. 
Ответ: 
График функции 
Этот график надо знать обязательно. Для 
имеем y = x. Для 
имеем y = −x. В результате получаем: 
С помощью этого графика также можно решать уравнения и неравенства.
Корень из квадрата
Нередко в задачах ЕГЭ требуется вычислить 
, где – некоторое число или выражение. Не забывайте, что 
Действительно, по определению арифметического квадратного корня — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен 
. Оно равно при 
и при 
, т. е. как раз 
.
Примеры заданий ЕГЭ
1. Найдите значение выражения 
при 
.
Заметим, что 
при . Следовательно, значение нашего выражения равно: 
.
2. Найдите значение выражения 
при 
.
В следующей статье мы рассмотрим более сложные уравнения и неравенства с модулем.
Модуль числа
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение модуля числа
Алгебра дает четкое определение модуля числа. Модуль в математике — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.
Если мы возьмем некоторое число «a» и изобразим его на координатной прямой точкой A — расстояние от точки A до начала отсчёта (то есть до нуля) длина отрезка OA будет называться модулем числа «a».
Знак модуля: |a| = OA.
Разберем на примере:
Точка В, которая соответствует числу −3, находится на расстоянии 3 единичных отрезков от точки O (то есть от начала отсчёта). Значит, длина отрезка OB равна 3 единицам.
Число 3 (длину отрезка OB) называют модулем числа −3.
Обозначение модуля: |−3| = 3 (читают: «модуль числа минус три равен трём»).
Точка С, которая соответствует числу +4, находится на расстоянии четырех единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка OС равна четырем единицам.
Число 4 называют модулем числа +4 и обозначают так: |+4| = 4.
Также можно опустить плюс и записать значение, как |4| = 4.
Записывайся на занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы.
Свойства модуля числа
Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. Независимо от того, в какой класс перешел ребенок — эти правила пригодятся всегда.
1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:
2. Модуль положительного числа равен самому числу.
3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
4. Модуль нуля равен нулю.
5. Противоположные числа имеют равные модули.
6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.
Геометрическая интерпретация модуля
Как мы уже знаем, модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.
Нарисуем числовую прямую и отобразим это на ней.
Эта геометрическая интерпретация используется для решения уравнений и неравенств с модулем. Давайте рассмотрим на примерах.
Решим уравнение: |х| = 5.
Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно 5. Это точки 5 и −5. Значит, уравнение имеет два решения: x = 5 и x = −5.
График функции
График функции равен y = |х|.
Для x > 0 имеем y = x.
Этот график можно использовать при решении уравнений и неравенств.
Корень из квадрата
Оно равно a при а > 0 и −а, при а
Модуль комплексного числа
Чему равен модуль числа в данном случае? Это арифметический квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части комплексного числа:
Свойства модуля комплексных чисел
Модуль рационального числа
Как найти модуль рационального числа — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, которая соответствует этому числу.
Модуль рационального числа, примеры:
Модуль вещественных чисел
Модуль противоположного числа, нуля, отрицательного и положительного чисел
Закрепим свойства модуля числа, которые мы рассмотрели выше:
Модуль числа
Модуль числа
Модуль действительного числа – это абсолютная величина этого числа.
Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак.
Модуль числа a обозначается |a|. Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: |a|≥ 0.
|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45
Определение модуля
Свойства модуля
| 1. Модули противоположных чисел равны |
| 2. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа |
| 3. Квадратный корень из квадрата числа есть модуль этого числа |
