Что такое график функции одной переменной 10 класс алгебра мордкович

Урок алгебры в 10-м классе по теме «Числовые функции. Область определения и множество значений функций»

Разделы: Математика

Тип урока: введение нового материала.

Цели урока:

Оборудование: учебное пособие «Алгебра и начала анализа. 10 класс (профильный уровень)» А.Г. Мордкович. Таблицы числовых функций. Презентация к уроку.

План урока:

Ход урока

I. Организационный момент.

Учитель сообщает учащимся цель урока и средства ее достижения.

II. Повторение.

В различных сферах жизни мы нередко имеем дело со всевозможными соответствиями, т.е. правилами, по которым одним объектам (элементам) сопоставляются другие. Вот некоторые примеры таких соответствий.

Все эти соответствия можно разделить на группы по различным признакам. Но есть среди них совершенно особенные, такие как 1, 2 и 5. Это такие соответствия, при которых каждому элементу одного множества сопоставляется единственный элемент другого множества. Такие соответствия и называются функциями.

III. Изучение нового материала.

IV. Закрепление.

Дана функция у = f(х), где

Решение.

Дана кусочная функция.

в) значение f( 1, 25) удовлетворяет условию 0 3, значит f(6) надо вычислять по формуле 3/х +1

2. Область определения D (f) состоит из трех промежутков: [-2;0], (0;3], (3; +∞). Объединив их, получим луч [-2; +∞).

Чтобы найти область значений функции, построим ее график. Он состоит из трех кусочков заданной функции. Спроецировав этот график на ось у, получим область значений функции.

3. Выясним, сколько корней имеет уравнение f(х) =а при различных значениях а.

Для этого нужно определить, сколько точек пересечения имеет построенный график функции с прямой у=а при различных значениях параметра а.

V. Итог урока.

VI. Домашнее задание. Инструктаж по домашнему заданию.

§7. № 7.12 (а,б); 7.13(а,б); 7.23; 7.24.

Источник

Презентация по математике для 10 класса по теме «Функции. Область определения и множество значений»

Выбранный для просмотра документ Функции область определения и область значений.pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

Функции. Область определения и множество значений. 10 класс Выполнила учитель математики Кирияк Галина Михайловна КГБОУ НПО «Профессиональный лицей № 47» г. Рубцовск

Цели урока 1. Повторить и обобщить основные сведения о функциях, полученные в 7-9 классах 2. Развивать навыки работы с графиками функций

Что же такое функция? В различных сферах жизни мы нередко имеем дело с разными соответствиями, т.е. правилами, по которым одним объектам сопоставляются другие. Вот несколько примеров

1. Каждому месяцу в году ставится в соответствие число дней в этом месяце. 2. Каждой дате рождения ставится в соответствие знак зодиака. 3. Каждому числу ставятся в соответствие его делители. 4. Каждому числу сопоставляется его модуль.

Определение. Если даны числовое множество X и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу x из множества X определенное число y, то говорят, что задана функция y=f(x), где x – независимая переменная (аргумент) y – зависимая переменная (значение функции)

Определение. Все значения, которые принимает независимая переменная x, образуют область определения. Обозначается D(f).

y o x D(f)- область определения функции E(f) – множество значений функции y=f(x)

Способы задания функции 4. Описательный способ. Удобно использовать тогда, когда задание другими способами затруднительно. X 2 3 4 5 6 y 6 9 12 15 18

1. По рисунку определите какие из данных линий являются функцией. Ответ обоснуйте.

Найдите область определения и множество значений функций, заданных графически D(f) = (-∞;+∞) D(f) = [-1;8] E(f)= [-2;+∞) E(f)= [-3,5; 15] y=f(x)

Найдите область определения и множество значений функций, заданных графически D(f)=[-4;7] E(f)=[-3; 3,5] D(f)=(-∞; 4] E(f)=(-∞; 4] y=f(x) y=g(x)

Найдите область определения и множество значений функции, заданной графически E (f) = (-∞; +∞)

D(f)= [-5; 5] E(f)= [-2; 6] Найдите область определения и множество значений функции, заданной графически

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Эта презентация может быть использована учителем математики на вводном уроке по теме «Числовые функции. Область определения и множество значений» в 10 классе.

В презентации наглядно иллюстрируются такие понятия как «функция», «область определения функции», «множество значений функции».

Презентация содержит основные понятия по данной теме, задания для закрепления этих понятий, а также творческое задание для учащихся.

Номер материала: 13297100255

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Дума приняла закон о бесплатном проживании одаренных детей в интернатах при вузах

Время чтения: 1 минута

Итоговое сочинение успешно написали более 97% выпускников школ

Время чтения: 2 минуты

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Рособрнадзор не намерен упрощать ЕГЭ в 2022 году из-за пандемии

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

При детском омбудсмене в России создадут платформу для взаимодействия с родителями

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

1. Построение графиков функций

Теория:

Построение графиков любых функций выполняется по точкам. Однако не всегда заранее мы знаем как выглядит график. В этих случаях выделяют особо значимые точки графика, которые и задают его вид.

К особо значимым точкам графика функции y = f ( x ) относят:

— стационарные и критические точки;

— точки пересечения графика с осью \(x\) (нули функции) и с осью \(y\);

— точки разрыва функции.

Таким образом, для построения сложной функции сначала нужно исследовать свойства этой функции, найти важные её точки и уже потом по этим точкам строить график.

Существует чёткий план исследования свойств функции, позволяющий определить поведение функции на области определения и построить её график.

1) Когда функция y = f ( x ) непрерывна на всей числовой прямой, тогда определяют точки пересечения графика с осями координат, стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки монотонности и несколько контрольных точек, если это необходимо.

2) Когда функция y = f ( x ) определена не на всей числовой прямой, тогда в первую очередь находят область определения функции и точки разрыва.

3) Проверяют функцию на чётность, т. к. график чётной функции симметричен относительно оси \(y\) и график нечётной функций симметричен относительно начала координат. Значит, можно построить только ветвь графика при \(x>0\), а затем симметрично её отобразить.

2. Проведём исследование функции на чётность/нечётность:

Функция чётная. Следовательно, можно построить ветви графика функции для x ≥ 0 и отобразить их симметрично относительно оси ординат.

3. Определим асимптоты. Вертикальная асимптота: прямая \(x=1\), т. к. при \(x=1\) знаменатель дроби равен нулю, а числитель при этом не равен нулю. Для определения горизонтальной асимптоты вычисляем lim x → ∞ f ( x ) :

Следовательно, \(y=1\) — горизонтальная асимптота.

4. Определим стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:

Производная существует на всей области определения функции, следовательно, критических точек у функции нет.

5. Найдём несколько точек, принадлежащих графику функции f ( x ) = x 2 + 4 x 2 − 4 при x ≥ 0 :

Источник

Разработки уроков «Свойства функций» 10 класс алгебра

Название предмета Алгебра и начала математического анализа

Уровень обучения. Базовый

Тема урока Свойства функций (3 часа)

Цель: актуализировать и сформулировать определения монотонности и ограниченности функции на множестве

Задачи : формировать умение определять данные свойства по графику и аналитической записи функции

Развивать вычислительные навыки, правильную математическую речь, логическое мышление учащихся.

Прививать самостоятельность, внимание и аккуратность. Воспитывать ответственное отношение к обучению.

Уметь применять изученный теоретический материал при выполнении письменной работы.

Техническое обеспечение урока Компьютер, экран, проектор, учебник, задачник.

Психологический настрой учащихся.

2. Проверка домашнего задания вызвавшие затруднения у учащихся

1. Сопоставьте графики функций и задающих их формул.

2. Найдите область определения функции, заданной формулой.

III. Объяснение нового материала.

1. Объяснение проводим согласно пункту учебника. Напоминаем известные из курса алгебры основной школы такие свойства функции, как монотонность (возрастание либо убывание на множестве), ограниченность (снизу или сверху на множестве).

2. При рассмотрении понятия монотонности функции особое внимание следует уделить словесной формулировке, так как она является «рабочей». Прежде чем вводить сами определения, можно предложить учащимся выполнить следующие задания:

1) Укажите промежутки возрастания и убывания функций.

2) Нарисуйте схематично график функции, возрастающей на промежутках (–  ; –2) и (5; +  ) и убывающей на промежутке (–2; 5).

3. Разбираем на примере 1 со с. 11 учебника исследование функции на монотонность с использованием неравенств.

4. Напоминая определение ограниченной функции, просим учащихся схематично изобразить графики элементарных функций и выбрать среди них ограниченные.

5. Разбираем пример 2 со с. 12 учебника исследования функции на ограниченность с помощью неравенств.

IV. Формирование умений и навыков.

Задания, выполняемые на этом уроке, можно разбить на 2 группы.

№ 2.1 (а; б), № 2.2 (а; б), № 2.3 (а; б), № 2.4 (а; б), № 2.5 (а; б).

Обозначим Если то, по свойствам числовых неравенств, и, далее, то есть значит, данная функция убывает на всей числовой прямой.

Обозначим

Обозначим

значит, данная функция убывает на всей числовой прямой.

Обозначим

значит, данная функция убывает на D ( f ).

Если х > 0, то график функции представляет собой ветвь гиперболы и ограничен снизу, а функция – ограничена сверху прямой у = 0.

График данной функции получен сдвигом графика функции на две единицы вверх, значит, функция ограничена сверху прямой у = 2.

Ответ : ограничена сверху.

С одной стороны, очевидно, что значит, функция ограничена снизу.

Рассмотрим функцию Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина в точке с координатами ( х ₀ ; у ₀ ), где Значит, функция сверху не ограничена.

Ответ : ограничена снизу.

– Дайте определение функции убывающей (возрастающей) на множестве.

– Какая функция называется монотонной?

– Какая функция называется ограниченной снизу (сверху) на множестве?

– Какие способы исследования функции на монотонность и ограниченность?

Домашнее задание: §2 стр11.№ 2.1 (в; г) – № 2.7 (в; г).

Цель: актуализировать и сформулировать определения наибольшего и наименьшего значения функции на множестве; четной и нечетной функции; формировать умения исследовать наличие данных свойств

Задачи : формировать умение определять данные свойства по графику и аналитической записи функции

Развивать вычислительные навыки, правильную математическую речь, логическое мышление учащихся.

Прививать самостоятельность, внимание и аккуратность. Воспитывать ответственное отношение к обучению.

Уметь применять изученный теоретический материал при выполнении письменной работы.

Техническое обеспечение урока Компьютер, экран, проектор, учебник, задачник.

Психологический настрой учащихся.

2. Проверка домашнего задания № 2.1 (в; г) – № 2.7 (в; г).

II. Математический диктант.

1. Функция у = f ( х ) возрастающая. Сравните f (3) и f (5).

2. Начертите график какой-нибудь функции, убывающей на [–3; 1] и [3; 5] и возрастающей на [1; 3].

1. Функция у = f ( х ) убывающая. Сравните f (2) и f (–3).

2. Начертите график какой-нибудь функции, возрастающей на [–1; 2] и [5; 7] и убывающей на [2; 5].

III. Объяснение нового материала.

1. Объяснение проводить согласно пункту учебника. Авторы отмечают, что метод отыскания наибольшего и наименьшего значения функции с помощью элементарных приемов или с помощью графика функции внедрен в учебники 7–9 классов. Кроме того, используются на наглядно-интуитивном уровне понятия выпуклости и непрерывности. Само понятие выпуклости на формальном уровне в дальнейшем рассматриваться не будет, а точное определение непрерывности будет получено в § 26.

2. Давая определение четности и нечетности функции, авторы учебника, вопреки сложившейся традиции, не включают в него требование симметричности области определения. Это необходимое условие четности или нечетности функции, оно оформлено в виде отдельного утверждения.

3. Геометрический смысл четности и нечетности функции следует установить с широким применением наглядности.

Работа на готовых чертежах.

После выполнения задания и рассмотрения примеров из учебника учащиеся сами формулируют алгоритм исследования функции у = f ( х ), х  Х на четность.

4. Вводится понятие «прочитать график функции» как перечисление свойств функции в определенном порядке:

4) наибольшее и наименьшее значение функции;

6) четность / нечетность;

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения, выполняемые на этом уроке, направлены на отработку следующих умений:

а) нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на множестве;

б) исследование функции на четность;

в) построение и чтение графика функции.

№ 2.8 (а; б), № 2.9 (а; б), № 2.10 (а; б), № 2.11 (а; б), № 2.12, № 2.14.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз и вершина находится в точке с координатами ( х ₀ ; у ₀ ), где

На [–3; 0,5] функция монотонно возрастает, а на [0,5; 2] – убывает, значит, наименьшее значение она примет на одном из концов отрезка [–3; 2].

Функция убывает на всей области определения, значит, наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах отрезка [1; 9]. 1 . Следовательно,

Построим график данной функции:

у _наиб. = 3; наименьшего значения на данном отрезке не существует.

– симметричное множество.

Обозначим

значит, функция нечетная.

1)

2) Функция убывает на (–  ; 0) и возрастает на [0; +  ].

3) Функция не ограничена.

4) Наибольшего и наименьшего значений не существует.

5) Разрыв функции в точке х = 0.

6) Функция ни четная, ни нечетная.

7)

– Какое число называют наибольшим (наименьшим) значением функции на множестве?

– Какая функция называется выпуклой на промежутке? Непрерывной на промежутке?

– Дайте определение четной / нечетной функции. В каком случае можно утверждать, что функция ни четная, ни нечетная?

– В чем геометрический смысл четности / нечетности функции?

– Что значит «прочитать график»?

Домашнее задание: §2 стр.11. № 2.8 (в; г) – 2.11 (в; г), № 2.13, № 2.15.

Источник