Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.
Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.
Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).
Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.
Свойства касательной к окружности
Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.
Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярны.
Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:
Докажем, что касательная и радиус АВ перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.
Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.
В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.
Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.
Задача
У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.
Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.
Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.
Поскольку ∠АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, ⌒АВ = 62°.
Если провести две касательных к окружности из одной точки, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.
Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично должны быть равны.
Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.
Задача 1
У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.
Решение
sin BDA = AB : AD = 4,5 : 9 = 0,5
Мы знаем, что прямая, проложенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проложенными из этой же точки, пополам. Другими словами:
∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°
Итак, угол между касательными составляет 60°.
Задача 2
К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN между ними равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.
Решение
Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.
Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.
Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.
Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.
Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.
Задача 1
Из точки М к окружности опускаются две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.
Решение
Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.
Найдем длину внешней части секущей:
МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64
Задача 2
Решение
Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.
В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.
Поскольку МВ = 2 МА, значит:
МА = МВ : 2 = (у + R) : 2
Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.
Сократим уравнение на (у + R) и получим:
Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).
Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.
Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.
Задача 1
Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.
Решение
Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ ⌒АВ.
⌒АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°
Задача 2
У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.
Решение
Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:
⌒КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°
Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.
Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:
Что такое наклонная к прямой? Сколько наклонных можно провести из одной точки к данной прямой? Как найти расстояние между основаниями наклонных?
Наклонной, проведенной из точки A к прямой a, называется отличный от перпендикуляра отрезок, соединяющий точку A с некоторой точкой на прямой a.
Рисунок наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой, начинают с изображения перпендикуляра (даже если в условии задачи о перпендикуляре не упоминается).
Чтобы нарисовать наклонную, нужно соединить точку, из которой проводится наклонная, с любой точкой на данной прямой.
На рисунке 1 AB — перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой a, AC — наклонная.
Точка B — основание перпендикуляра, точка C — основание наклонной AC.
Отрезок BC, соединяющий основание перпендикуляра с основанием наклонной, — проекция наклонной AC на прямую a.
Из точки к прямой можно провести бесконечно много наклонных.
Две наклонные проведенные из данной точки к данной прямой, могут быть расположены как по одну сторону от перпендикуляра, так и по разные стороны от него.
На рисунке 2 наклонные AC и AD расположены по одну сторону от перпендикуляра AB.
BC — проекция наклонной AC на прямую a,
BD — проекция наклонной AD на прямую a.
CD — расстояние между основаниями наклонных
Если наклонные расположены по одну сторону от перпендикуляра, чтобы найти расстояние между основаниями наклонных, надо найти разность между длинами их проекций.
На рисунке 3 наклонные AC и AD расположены по разные стороны от перпендикуляра AB.
BC — проекция наклонной AC на прямую a,
BD — проекция наклонной AD на прямую a.
CD — расстояние между основаниями наклонных
Если наклонные расположены по разные стороны от перпендикуляра, расстояние между основаниями наклонных равно сумме длин проекций этих наклонных.
В следующий раз рассмотрим свойства наклонных.
2 Comments
Если наклонные расположены по разные стороны от перпендикуляра, расстояние между основаниями наклонных равно сумме длин проекций этих наклонных.
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Определение окружности
Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.
Отрезки в окружности
Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.
Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.
Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).
O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.
Теорема 1: Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.
Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.
Теорема 2: Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).
Теорема 3: Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
Дуга в окружности
Теорема 4: Равные хорды стягивают равные дуги.
Углы в окружности
В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.
Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.
∠ A O B – центральный.
Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2
∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °
Длина окружности, длина дуги
Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.
Длина окружности находится по формуле:
Площадь круга и его частей
Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.
Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.
Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.
Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.
Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.
Площадь круга находится по формуле: S = π R 2
Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.
Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α
Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.
Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.
Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.
S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α
Теорема синусов
Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.
наклонная — сущ., кол во синонимов: 1 • линия (182) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
наклонная — к прямой l, прямая, пересекающая прямую l под углом, отличным от прямого. Наклонная к плоскости прямая, пересекающая эту плоскость под углом, отличным от прямого. * * * НАКЛОННАЯ НАКЛОННАЯ к прямой l, прямая, пересекающая прямую l под углом,… … Энциклопедический словарь
Наклонная — ж. разг. Наклонная плоскость. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
Наклонная — к прямой l, прямая, пересекающая прямую l под углом, отличным от прямого. Н. к плоскости прямая, пересекающая эту плоскость под углом, отличным от прямого … Большая советская энциклопедия
НАКЛОННАЯ — к прямой I прямая, пересекающая прямую Iпод углом, отличным от прямого. Н. к плоскости прямая, пересекающая эту плоскость под углом, отличным от прямого. БСЭ 3 … Математическая энциклопедия
НАКЛОННАЯ — к прямой l, прямая, пересекающая прямую l под углом, отличным от прямого. Н. к плоскости прямая, пересекающая эту плоскость под углом, отличным от прямого … Естествознание. Энциклопедический словарь
НАКЛОННАЯ — Характеристика линии или плоскости, которая, пересекав другую линию или плоскость под углом, отличным от угла в 90°. В графически представлениях факторного анализа две оси, представляющие коррелир щие факторы, являются наклонными … Толковый словарь по психологии
наклонная поверхность подошвы рельса — Ндп. наклонная грань подошвы рельса Поверхность, соединяющая шейку рельса с боковой гранью подошвы. Примечания 1. В рельсах типов Р75, Р65, Р50, Р38, Р33, Р24, Р18, P11, Р8 и Р5 наклонная поверхность подошвы выполнена в виде прямой линии под… … Справочник технического переводчика
наклонная орбита — Любая орбита спутника, кроме экваториальных и полярных. Наклонные орбиты бывают эллиптические и круговые, синхронные и несинхронные. Термин “наклонная орбита” применим и к геостационарным спутникам, орбита которых из за нестабильности … Справочник технического переводчика
НАКЛОННАЯ ПЛОСКОСТЬ — НАКЛОННАЯ ПЛОСКОСТЬ, простейшее устройство, представляющее собой плоскость, приподнятую с одного края. Проще толкать груз (массой ) вверх по наклонной плоскости (под углом к горизонтали), чем поднимать его вертикально это дает МЕХАНИЧЕСКИЙ… … Научно-технический энциклопедический словарь
Наклонная плоскость — это плоская поверхность, установленная под углом, отличным от прямого и/или нулевого, к горизонтальной поверхности. Наклонная плоскость позволяет преодолевать значительное сопротивление, прилагая сравнительно малую силу на большем расстоянии, чем то, на которое нужно поднять груз.
Наклонная плоскость — один из широко известных простых механизмов.
Содержание
Примеры наклонных плоскостей
Примерами наклонных плоскостей служат:
Наиболее канонический пример наклонной плоскости — наклонная поверхность, например, въезд на мост с перепадом высоты.
История
Пандусы, или наклонные плоскости, широко использовались при строительстве ранних каменных сооружений, дорог и акведуков. Также они применялись при штурме военных укреплений.
Эксперименты с наклонными плоскостями помогли средневековым физикам (таким, как Галилео Галилей) изучить законы природы, связанные с гравитацией, массой, ускорением и т. д.
Формулы для наклонной плоскости
здесь — коэффициент трения тела о поверхность, — угол наклона плоскости.
Критический угол
Род передвижения тела зависит от критического угла. Тело покоится, если угол наклона плоскости меньше критического угла, покоится или движется равномерно, если угол наклона плоскости равен критическому углу, и движется равноускоренно, при условии что угол наклона плоскости больше критического угла.
Далее описаны все три возможные ситуации, в них: — коэффициент трения, — угол наклона плоскости, β — критический угол.
— коэффициент трения тела о поверхность, 
— угол наклона плоскости.
.