Что такое наложение в геометрии 7 класс определение

Наложения и движения (окончание)

Рассмотрим произвольное движение (обозначим его буквой g) и докажем, что оно является наложением. Возьмём какой-нибудь треугольник АВС. При движении g он отображается на равный ему треугольник А₁В₁С₁. По определению равных треугольников существует наложение ƒ, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки А₁, В₁ и С₁.

Докажем, что движение g совпадает с наложением ƒ. Предположим, что это не так. Тогда на плоскости найдётся хотя бы одна такая точка М, которая при движении g отображается в точку М„ а при наложении ƒ — в другую точку М2. Так как при отображениях ƒ u g сохраняются расстояния, то AM = А₁М₁, AM = А₁М₂, поэтому A₁M₁ = А₁М₂, т. е. точка А₁ равноудалена от точек М₁ и М₂ (рис. 328). Аналогично доказывается, что точки В₁ и С₁ равноудалены от точек М₁ и М₂. Отсюда следует, что точки А₁, В₁ и С₁ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку М₁М₂. Но это невозможно, так как вершины треугольника А₁В₁С₁ не лежат на одной прямой. Таким образом, отображения ƒ u g совпадают, т. е. движение g является наложением. Теорема доказана.

Источник

«Наложение» в геометрии. Что это? Как объяснить?

Объясните, что такое наложение (в геометрии).

Наложение основано на аксиоме, утверждающей, что любые фигуры на плоскости можно передвигать, не меняя их вида и характеристик.

Процесс наложения одной фигуры на другую происходит путём передвижения плоскостей. При этом, плоскости могут и переворачиваться.

Фигуры будут равными, если их плоскости совпадут при наложении друг на друга.

Наложение можно проводить как в реальности, например взять два картонных кружочка и накладывать один на другой, так и в виртуальности, когда например на компьютере есть макеты этих фигур и там они также накладываются между собой.

С помощью наложения можно выяснить равны ли фигуры, все ли линии совпадают, есть или нет каких-то выпуклостей, которые присутствуют только на одной фигуре и т.д.

Более подробно смотрите здесь:

Под наложением подразумевают прием теоремных доказательств, когда передвигают и переворачивание фигуры по плоскости. Если все точки фигуры при этом совпадают, они считаются равными. Поверхность используется плоская и кривая. Тогда должны совпадать все складочки и разрывы.

Наложением могут сравниваться между собой две фигуры (геометрические). Для этого их (не меняя масштаба, но можно переворачивать) просто накладывают друг на друга. Это делается как непосредственно, так и приводя (с помощью компьютера) к какой-то единой фигуре.

Источник

§ 1. Понятие движения

Отображение плоскости на себя

Слово «движение» вам знакомо. Но в геометрии оно имеет особый смысл. Какой именно, об этом вы узнаете из данной главы. А пока отметим, что с помощью движений удаётся находить красивые решения многих геометрических задач. Примеры таких решений вы найдёте в этой главе.

Представим себе, что каждой точке плоскости сопоставляется (ставится в соответствие) какая-то точка этой же плоскости, причём любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. Тогда говорят, что дано отображение плоскости на себя.

Фактически мы уже встречались с отображениями плоскости на себя — вспомним осевую симметрию (см. п. 48). Она даёт нам пример такого отображения. В самом деле, пусть а — ось симметрии (рис. 321). Возьмём произвольную точку М, не лежащую на прямой а, и построим симметричную ей точку М₁ относительно прямой а. Для этого нужно провести перпендикуляр МР к прямой а и отложить на прямой МР отрезок РМ₁, равный отрезку МР, так, как показано на рисунке 321. Точка М₁ и будет искомой. Если же точка М лежит на прямой а, то симметричная ей точка М₁ совпадает с точкой М. Мы видим, что с помощью осевой симметрии каждой точке М плоскости сопоставляется точка М, этой же плоскости. При этом любая точка М₁ оказывается сопоставленной некоторой точке М. Это ясно из рисунка 321.

Итак, осевая симметрия представляет собой отображение плоскости на себя.

Рассмотрим теперь центральную симметрию плоскости (см. п. 48). Пусть О — центр симметрии. Каждой точке М плоскости сопоставляется точка М₁, симметричная точке М относительно точки О (рис. 322). Попытайтесь самостоятельно убедиться в том, что центральная симметрия плоскости также представляет собой отображение плоскости на себя.

Понятие движения

Осевая симметрия обладает следующим важным свойством — это отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояния между точками.

Поясним, что это значит. Пусть М и N — какие-либо точки, а М₁ и N₁ — симметричные им точки относительно прямой а (рис. 323). Из точек N и N₁ проведём перпендикуляры NP и N₁P₁ к прямой ММ₁. Прямоугольные треугольники MNP и M₁N₁P₁ равны по двум катетам: МР = М₁Р₁ и NP = N₁P₁ (объясните, почему эти катеты равны). Поэтому гипотенузы MN и M₁N₁ также равны.

Следовательно, расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными им точками М₁ и N₁. Другие случаи расположения точек М, N и М₁, N₁ рассмотрите самостоятельно и убедитесь в том, что и в этих случаях MN = M₁N₁ (рис. 324). Таким образом, осевая симметрия является отображением, которое сохраняет расстояния между точками. Любое отображение, обладающее этим свойством, называется движением (или перемещением).

Итак, движение плоскости — это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Почему отображение, сохраняющее расстояния, называют движением (или перемещением), можно пояснить на примере осевой симметрии. Её можно представить как поворот плоскости в пространстве на 180° вокруг оси а. На рисунке 325 показано, каким образом происходит такой поворот.

Отметим, что центральная симметрия плоскости также является движением (пользуясь рисунком 326, убедитесь в этом самостоятельно).

Докажем следующую теорему:

Пусть при заданном движении плоскости концы М и N отрезка MN отображаются в точки М₁ и N₁ (рис. 327). Докажем, что весь отрезок MN отображается на отрезок M₁N₁. Пусть Р — произвольная точка отрезка MN, Р₁ — точка, в которую отображается точка Р. Тогда МР + PN = MN. Так как при движении расстояния сохраняются, то

Из равенств (1) получаем, что М₁Р₁ + P₁N₁ = M₁N₁, и, значит, точка Р₁ лежит на отрезке M₁N₁ (если предположить, что это не так, то будет выполняться неравенство М₁Р₁ +P₁N₁ > M₁N₁). Итак, точки отрезка MN отображаются в точки отрезка M₁N₁.

Нужно ещё доказать, что в каждую точку Р₁ отрезка M₁N₁ отображается какая-нибудь точка Р отрезка MN. Докажем это. Пусть Р₁ — произвольная точка отрезка M₁N₁, и точка Р при заданном движении отображается в точку Р₁. Из соотношений (1) и равенства M₁N₁ = М₁Р₁ + P₁N₁ следует, что МР + PN = MN, и, значит, точка Р лежит на отрезке MN. Теорема доказана.

В самом деле, в силу доказанной теоремы при движении каждая сторона треугольника отображается на равный ей отрезок, поэтому и треугольник отображается на треугольник с соответственно равными сторонами, т. е. на равный треугольник.

Пользуясь доказанной теоремой, нетрудно убедиться в том, что при движении прямая отображается на прямую, луч — на луч, а угол — на равный ему угол.

Наложения и движения

Напомним, что в нашем курсе геометрии равенство фигур определяется с помощью наложений. Мы говорим, что фигура Ф равна фигуре Фп если фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Ф₁. Понятие наложения в нашем курсе относится к основным понятиям геометрии, поэтому определение наложения не даётся. Под наложением фигуры Ф на фигуру Ф₁ мы понимаем некоторое отображение фигуры Ф на фигуру Ф₁ Более того, мы считаем, что при этом не только точки фигуры Ф, но и любая точка плоскости отображается в определённую точку плоскости, т. е. наложение — это отображение плоскости на себя.

Однако не всякое отображение плоскости на себя мы называем наложением. Наложения — это такие отображения плоскости на себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах (см. приложение 1, аксиомы 7—13). Эти аксиомы позволяют доказать все те свойства наложений, которые мы себе представляем наглядно и которыми пользуемся при доказательстве теорем и решении задач. Докажем, например, что при наложении различные точки отображаются в различные точки.

В самом деле, предположим, что это не так, т. е. при некотором наложении какие-то две точки А и В отображаются в одну и ту же точку С. Тогда фигура Ф₁, состоящая из точек А и В, равна фигуре Ф₂, состоящей из одной точки С. Отсюда следует, что Ф₂ = Ф₁ (аксиома 12), т. е. при некотором наложении фигура Ф₂ отображается в фигуру Ф₁. Но это невозможно, так как наложение — это отображение, а при любом отображении точке С ставится в соответствие только одна точка плоскости.

Из доказанного утверждения следует, что при наложении отрезок отображается на равный ему отрезок. Действительно, пусть при наложении концы А и В отрезка АВ отображаются в точки А₁ и В₁. Тогда отрезок АВ отображается на отрезок А₁В₁ (аксиома 7), и, следовательно, отрезок АВ равен отрезку А₁В₁. Так как равные отрезки имеют равные длины, то наложение является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния, т. е. любое наложение является движением плоскости.

Докажем, что верно и обратное утверждение.

Рассмотрим произвольное движение (обозначим его буквой g) и докажем, что оно является наложением. Возьмём какой-нибудь треугольник АВС. При движении g он отображается на равный ему треугольник А₁В₁С₁. По определению равных треугольников существует наложение ƒ, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки А₁, В₁ и С₁.

Докажем, что движение g совпадает с наложением ƒ. Предположим, что это не так. Тогда на плоскости найдётся хотя бы одна такая точка М, которая при движении g отображается в точку М„ а при наложении ƒ — в другую точку М2. Так как при отображениях ƒ u g сохраняются расстояния, то AM = А₁М₁, AM = А₁М₂, поэтому A₁M₁ = А₁М₂, т. е. точка А₁ равноудалена от точек М₁ и М₂ (рис. 328). Аналогично доказывается, что точки В₁ и С₁ равноудалены от точек М₁ и М₂. Отсюда следует, что точки А₁, В₁ и С₁ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку М₁М₂. Но это невозможно, так как вершины треугольника А₁В₁С₁ не лежат на одной прямой. Таким образом, отображения ƒ u g совпадают, т. е. движение g является наложением. Теорема доказана.

Задачи

1148. Докажите, что при осевой симметрии плоскости:

а) прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии;
б) прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя.

1149. Докажите, что при центральной симметрии плоскости:

а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую;
б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

1150. Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол.

Пусть при данном движении угол АОВ отображается на угол A₁O₁B₁, причём точки А, О, В отображаются соответственно в точки A₁, О₁, В₁. Так как при движении сохраняются расстояния, то ОА = О₁А₁, ОВ = О₁В₁. Если угол АОВ неразвёрнутый, то треугольники АОВ и А₁О₁В₁ равны по трём сторонам, и, следовательно, ∠AOB = ∠A₁O₁B₁. Если угол АОВ развёрнутый, то и угол А₁О₁В₁ развёрнутый (докажите это), поэтому эти углы равны.

1151. Докажите, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.

1152. Докажите, что при движении: а) параллелограмм отображается на параллелограмм; б) трапеция отображается на трапецию; в) ромб отображается на ромб; г) прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат — на квадрат.

1153. Докажите, что при движении окружность отображается на окружность того же радиуса.

1154. Докажите, что отображение плоскости, при котором каждая точка отображается на себя, является наложением.

1155. АВС и А₁В₁С₁ — произвольные треугольники. Докажите, что существует не более одного движения, при котором точки А, В и С отображаются в точки А₁, В₁, С₁.

1156. В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ВС = В₁С₁. Докажите, что существует движение, при котором точки А, В и С отображаются в точки А₁, В₁ и С₁, и притом только одно.

По условию задачи треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по трём сторонам. Следовательно, существует наложение, т. е. движение, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки А₁, В₁ и С₁. Это движение является единственным движением, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки А₁, В₁ и C₁ (задача 1155).

1157. Докажите, что два параллелограмма равны, если смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны смежным сторонам и углу между ними другого параллелограмма.

1158. Даны две прямые а и b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при осевой симметрии с осью а.

1159. Даны прямая а и четырёхугольник ABCD. Постройте фигуру F, на которую отображается данный четырёхугольник при осевой симметрии с осью а. Что представляет собой фигура F?

1160 Даны точка О и прямая b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при центральной симметрии с центром О.

1161 Даны точка О и треугольник АВС. Постройте фигуру F, на которую отображается треугольник АВС при центральной симметрии с центром О. Что представляет собой фигура F?

Ответы к задачам

1151. Указание. Доказать методом от противного.

1154. Указание. Воспользоваться теоремой п. 119.

1155. Указание. Доказательство провести методом от противного (см. доказательство теоремы п. 119).

1157. Указание. Воспользоваться задачами 1156 и 1051.

1158. Указание. Сначала построить образы каких-нибудь двух точек прямой b.

1159. F — четырёхугольник.

1160. Указание. Задача решается аналогично задаче 1158.

Источник

Что такое наложение в геометрии 7 класс определение

Наложение, в геометрии

— Под этим названием в элементарной геометрии разумеют один из основных приемов доказательства теорем о равенстве фигур; в геометрии считается аксиомой, что плоские фигуры можно передвигать по плоскости без изменения их вида и свойств. Н. одной фигуры на другую достигается передвижением их по плоскости, причем это передвижение может иногда сопровождаться и переворачиванием; фигуры называются равными, если при Н. одной из них на другую они совпадают. Указанная аксиома, собственно говоря, выражает свойство плоскости, как предмета, на котором строится плоская геометрия, и в этом отношении понятие о Н. фигур может быть распространено и на кривые поверхности: говорят, что одна поверхность накладывается на другую без складок и разрывов, если точкам одной поверхности можно так сопоставить точки другой, что всевозможные соответственные линии на этих двух поверхностях имеют одинаковые длины. Из сказанного вытекает следующая задача, решаемая соображениями дифференциального исчисления: даны две поверхности; узнать, накладывается ли одна из них в сказанном смысле на другую? Для решения этой задачи необходимо пользоваться известной теоремой Гаусса о кривизне поверхностей (см.), если две поверхности накладываются одна на другую без складок и разрывов, то значение кривизны в соответственных точках этих двух поверхностей должны быть одинаковы. Легко понять, что обратное заключение не всегда имеет место, потому что каковы бы ни были данные поверхности, всегда можно на них выбрать такой закон соответствия точек, что кривизны поверхностей для этих соответственных точек будут одинаковы. В самом деле, обозначая через K кривизну одной поверхности, выраженной двумя независимыми переменными, в которых представлены координаты точки на этой поверхности, а через K₁ кривизну второй поверхности, выраженной в независимых переменных, соответствующих заданию другой поверхности, то всегда можно взять за одно уравнение, выражающее закон соответствия точек этих двух поверхностей, уравнение K=K₁. Чтобы убедиться, что одна поверхность накладывается на другую, нужно показать, что другое уравнение, выражающее закон соответствия точек, можно выбрать так, чтобы длины соответствующих кривых на этих двух поверхностях были одинаковы. Разбор таких условий составляет предмет прямой задачи о Н. поверхностей и относится к области дифференциального исчисления. Совершенно иные трудности представляет обратная задача: найти все поверхности, накладываемые на данную без складок и разрывов. Эта задача относится к области интегрального исчисления и решена вполне только для простейшего случая Н. на плоскость. Оказывается, что накладываются или, как говорят, развертываются на плоскость лишь те поверхности, которые представляют геометрическое место касательных к произвольной кривой двоякой кривизны в пространстве, так, например, геликоид (см.), образованный движением касательной к винтовой линии, есть поверхность, развертывающаяся на плоскость. Предельные случаи для указанных поверхностей представляют поверхности цилиндрические и конические, которые всегда развертываются на плоскость. Понятно, что развертывающиеся поверхности принадлежат к числу так называемых линейчатых, т.е. поверхностей, образованных движением прямой линии (см.). Так как плоскость есть такая поверхность, кривизна которой во всех ее точках равна нулю, то на основании теоремы Гаусса ясно, что кривизна поверхностей, развертывающихся на плоскость, во всех точках тоже равна нулю. До сих пор не удалось решить вполне даже ближайшей по простоте задачи развертывания на шар, т. е. на поверхность с постоянной положительной кривизной, не говоря уже о задаче более общей, о развертывании на любую данную поверхность. В этой в высшей степени трудной области приложения интегрального исчисления к геометрии замечательны изыскания Бура, который показал, что существует бесчисленное множество совершенно определенных винтовых поверхностей, развертывающихся на данную поверхность вращения.

Источник

Термины, определения и формулы по геометрии за 7 класс

Геометрия – наука, занимающаяся изучением геометрических фигур (в переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие»).

В планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости. В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве.

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка.

Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Лучи называются сторонами угла, а точка — вершиной угла.

Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром окружности.

Радиус окружности – отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной прямой. ( Развёрнутый угол равен 180°).

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Середина отрезка — это точка отрезка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка.

Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

Угол называется прямым, если он равен 90°.

Угол называется острым, если он меньше 90° (т.е. меньше прямого угла).

Угол называется тупым, если он больше 90°, но меньше 180°. (т.е. больше прямого, но меньше развёрнутого).

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180°.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к прямой.

Перпендикулярные прямые — прямые, которые при пересечении образуют прямой угол.

Параллельные прямые — прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков, соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.

Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным.

Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным.

Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две стороны, образующие прямой угол — катетами.

(Т. о соотношениях между сторонами и углами треугольника) В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

(Признак равнобедр. треугольника) Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

(Т. Неравенство треугольника) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.

Теорема – утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений. Сами рассуждения называются доказательством теоремы.

Первый признак равенства треугольников

«Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.»

Сокращенно его называют равенство «по двум сторонам и углу между ними».

На рисунке 1 представлен треугольник ABС. Который имеет три вершины (А, В и С). И стороны – АВ, АС и ВС.

Треугольники считаются равными, когда все их стороны и углы соответственно равны друг другу (в случае, когда равны лишь углы, а стороны пропорциональны, треугольники называются подобными). Таким образом очевидно, что равные треугольники можно наложить друг на друга – и они полностью совпадут.

Доказательство первого признака равенства треугольников

Два треугольника: ABC и DEF (рисунок 2).

По условию теоремы две пары отрезков этих треугольников равны между собой (АС = FD и СВ = EF). Углы между отрезками также равны (т.е. ∠АСВ = ∠EFD).

Доказать, что треугольник ABC равен треугольнику DEF.

Поскольку имеется равенство углов (∠АСВ = ∠EFD), треугольники можно наложить друг на друга, так чтобы вершина С совпадала с вершиной F.
При этом отрезки СА и СВ наложатся на отрезки FE и FD.
А поскольку отрезки двух треугольников равны между собой (АС = FD и СВ = EF по условию), то отрезок АВ также совпадёт со стороной ED.
Это в свою очередь даст совмещение вершин А и D, В и Е.
Следовательно, треугольники полностью совместятся, а значит, они равны.
Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Как и в доказательстве первого признака, нужно убедиться, достаточно ли этого для равенства треугольников, можно ли их полностью совместить?

1. Так как MN=PR, то эти отрезки совмещаются, если совместить их конечные точки.

2. Так как∡N=∡R и∡M=∡P, то лучи MK и NK наложатся соответственно на лучи PT и RT.

3. Если совпадают лучи, то совпадают точки их пересечения K и T.

4. Совмещены все вершины треугольников, то есть ΔMNK и ΔPRT полностью совместятся, значит они равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Опять попробуем совместить треугольникиΔMNK и ΔPRT наложением и убедится, что соответственно равные стороны гарантирует и равенство соответственных углов этих треугольников и они полностью совпадут.

Совместим, например, одинаковые отрезки MK иPT. Допустим, что точки N и R при этом не совмещаются.

Пусть O — середина отрезка NR. Соответственно данной информацииMN=PR, KN=TR. Треугольники MNR и KNR равнобедренные с общим основанием NR.

Поэтому их медианы MO и KO являются высотами, значит перпендикулярны NR. Прямые MO и KO не совпадают, так как точки M, K, O не лежат на одной прямой. Но через точку O прямой NR можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.

Доказано, что должны совместиться и вершины N и R.

Третий признак позволяет назвать треугольник очень сильной, устойчивой фигурой, иногда говорят, что треугольник — жёсткая фигура. Если длины сторон не меняются, то углы тоже не меняются. Например, у четырёхугольника такого свойства нет. Поэтому разные поддержки и укрепления делают треугольными.

Перпендикуляр к прямой

Из точки не лежащей на прямой можно провести перпендикуляр к этой прямой и притом только один

Медианы,биссектриссы и высоты треугольника

В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке. Биссектрисы пересекаются в одной точке. Высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке

Свойства равнобедренного треугольника

Признаки параллельности двух прямых. Теорема 1

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны то прямые параллельны.

Признаки параллельности прямых.Теорема 2

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Признаки параллельности прямых. Теорема 3.

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180⁰ то прямые параллельны.

Теорема об углах образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Аксиома параллельных прямых.

В одной плоскости с заданной прямой через точку, не лежащую на этой прямой, можно провести только одну прямую, параллельную заданной прямой.

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Теорема Сумма углов треугольника равна 180°.

Рассмотрим произвольный треугольник KLM и докажем, что ∡K+∡L+∡M=180°.

Проведём через вершину L прямую a, параллельную стороне KM.

Углы, обозначенные 1, являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых a и KMсекущей KL, а углы, обозначенные 2 — накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ML.

Очевидно, сумма углов 1, 2 и 3 равна развёрнутому углу с вершиной L, т. е.
∡1+∡2+∡3= 180°или ∡K+∡L+∡M=180°.

Следствия из теоремы о сумме углов треугольника

Следствие 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Следствие 2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°.

Следствие 3. В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.

Следствие 4. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий — тупой или прямой.

Следствие 5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Из равенств ∡KML+∡BML= 180° и ∡K+∡L+∡KML=180° получаем, что ∡BML=∡K+∡L.

Четырёхугольники

Многоугольник — фигура, состоящая из нескольких точек плоскости, поочередно соединённых между собой непересекающимися отрезками.

Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который весь лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Теорема:Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n-2)*1800.

Параллелограмм- это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойство:в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Свойство:диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Теорема(признакпараллелограмма): Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема(признак параллелограмма): Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема(признак параллелограмма): Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.Параллельные стороны-основания, непараллельные стороны-боковые.

Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой один из углов прямой.

Теорема Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пресекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство: диагонали прямоугольника равны.

Теорема(признакпрямоугольника): если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойство: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Площадь

Площадь плоской фигуры-это количество единичных квадратов, вмещающихся в данную фигуру.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов.

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Площадь трапеции равна полусумме её оснований на высоту.

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема(обр.): если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный.

Подобные треугольники

Отрезки m и n пропорциональны отрезкам m1и n1,если отношения их длин равны m:m1= n: n1.

Подобные треугольники — это треугольники,у которых соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Коэффициент подобия — это число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Теорема: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Свойство биссектрисы тр-ка: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Теорема(первый признак подобия треугольников): если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Теорема(второй признак подобия треугольников): если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Теорема(первый признак подобия треугольников): если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

С. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Среднее пропорциональное(среднее геометрическое)двух величин – это квадратный корень из произведения этих величин.

С. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

С. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы,заключённым между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Синус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника- это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Окружность

Касательная к окружности – это прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Т. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Т.(обр.) Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Центральный угол – это угол с вершиной в центре окружности.

Дуга окружности измеряется центральным углом, который на неё опирается.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Т.Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

С. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

С. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

Т. Если две хорды окружности пересекаются, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Источник