Что такое направляющие косинусы вектора

Направляющие косинусы вектора.

Определение направляющих косинусов

Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора.

Соответственно координатам единичного вектора равны его направляющим косинусам.

Формулы вычисления направляющих косинусов вектора

Формула вычисления направляющих косинусов вектора для плоских задач

В случае плоской задачи (рис. 1) направляющие косинусы вектора a = < a_x ; a_y > можно найти воспользовавшись следующей формулой

Формула вычисления направляющих косинусов вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи (рис. 2) направляющие косинусы вектора a = < a_x ; a_y ; a_z > можно найти воспользовавшись следующей формулой

Примеры задач с направляющими косинусами вектора

Примеры плоских задач с направляющими косинусами вектора

Найдем модуль вектора a :
| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5.

Найдем направляющие косинусы вектора a :

Ответ: направляющие косинусы вектора cos α = 0.6, cos β = 0.8.

Примеры пространственных задач с направляющими косинусами вектора

Найдем модуль вектора a :
| a | = √ 2 2 + 4 2 + 4 2 = √ 4 + 16 + 16 = √ 36 = 6.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Источник

Направляющие косинусы вектора.

Определение направляющих косинусов

Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора.

Соответственно, координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам.

Формулы вычисления направляющих косинусов вектора

Формула вычисления направляющих косинусов вектора для плоских задач

В случае плоской задачи (рис. 1) направляющие косинусы вектора a = < a_x ; a_y > можно найти воспользовавшись следующей формулой

Формула вычисления направляющих косинусов вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи (рис. 2) направляющие косинусы вектора a = < a_x ; a_y ; a_z > можно найти воспользовавшись следующей формулой

Примеры задач с направляющими косинусами вектора

Примеры плоских задач с направляющими косинусами вектора

Найдем модуль вектора a :
| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5.

Найдем направляющие косинусы вектора a :

Ответ: направляющие косинусы вектора cos α = 0.6, cos β = 0.8.

Примеры пространственных задач с направляющими косинусами вектора

Найдем модуль вектора a :
| a | = √ 2 2 + 4 2 + 4 2 = √ 4 + 16 + 16 = √ 36 = 6.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Координаты вектора. Направляющие косинусы

Для решения задач с векторами необходимо определить вектор на плоскости или в пространстве, то есть дать информацию о его направлении и длине.

Координаты вектора

Сумма двух векторов, заданных координатами

Чтобы найти сумму двух векторов, заданных своими координатами, надо сложить их соответствующие координаты.

Координаты вектора. Направляющие косинусы не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Умножение вектора на число

Чтобы умножить вектор на число, надо каждую координату этого вектора умножить на заданное число.

Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат конца отнять соответствующие координаты начала.

Направляющие косинусы

Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образованных вектором с положительными направлениями осей координат.

Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами. Для единичного вектора направляющие косинусы равны его координатам.

Основное свойство направляющих косинусов

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

Источник

1.8 Направляющие косинусы вектора

§8. Направляющие косинусы вектора.

Рассмотрим еще одну важную характеристику вектора.

Определение 1. Направляющими косинусами вектора а в данном базисе называются косинусы

углов между вектором а и базисными ортами: .

Теорема 1. Направляющие косинусы единичного вектора равны его координатам.

Теорема 2. Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:

<Пусть а = (а₁,а₂,а₃). Обозначим Аналогично

>

Пример. Найти направляющие косинусы вектора а = (4, −2, 4).

Источник

Направляющие косинусы векторов

это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат. Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора. Если вектор имеет длину 1, то его направляющие косинусы равны его координатам. В общем случае для вектора с координатами (a; b; c) направляющие косинусы равны:

где a, b, g – углы, составляемые вектором с осями x, y, z соответственно.

21)Разложение вектора по ортам. Орт координатной оси обозначается через , оси — через , оси — через (рис. 1).

Для любого вектора , который лежит в плоскости , имеет место следующее разложение:

Если вектор расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид:

22)Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

23)Угол между двумя векторами

, :

Если угол между двумя векторами острый, то их скалярное произведение положительно; если угол между векторами тупой, то скалярное произведение этих векторов отрицательно. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны.

24)Условие параллельности и перпендикулярности двух векторов.

Условие перпендикулярности векторов
Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.Даны два вектора a(xa;ya) и b(xb;yb). Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение xaxb + yayb = 0.

25)Векторные произведение двух векторов.

Векторным произведением двух неколлинеарных векторов называется такой вектор c=a×b, который удовлетворяет следующим условиям: 1) |c|=|a|•|b|•sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) Векторы a, b, с образуют правую тройку векторов.

26) Коллинеарные и компланарные вектора..

Векторы коллинеарные, если абсцисса первого вектора относится к абсциссе второго так же, как ордината первого — к ординате второго.Даны два вектора a (xa;ya) и b (xb;yb). Эти векторы коллинеарны, если x_a = x_b и y_a = y_b, где R.

Векторы −→a,−→b и −→c называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

27) Смешанное произведение трех векторов. Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c. Найти смешанное произведение векторов a = <1; 2; 3>, b = <1; 1; 1>, c = <1; 2; 1>.

Решение:

28)Расстояние между двумя точками на плоскости. Расстояние между двумя данными точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек.

29)Деление отрезка в данном отношении. Если точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки ( , ) и ( , ), и дано отношение , в котором точка М делит отрезок , то координаты точки М определяются по формулам

, .

Если точка М является серединой отрезка , то ее координаты определяются по формулам

, .

30-31. Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой. Угловой коэффициент прямой обычно обозначают буквой k. Тогда по определению

33.Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение вида есть общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 < By + C = 0>— прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 < Ax + C = 0>– прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

35.Нормальное уравнение прямой имеет вид

где – расстояние от прямой до начала координат;  – угол между нормалью к прямой и осью .

Нормальное уравнение можно получить из общего уравнения (1), умножив его на нормирующий множитель , знак  противоположен знаку , чтобы .

Косинусы углов между прямой и осями координат называют направляющими косинусами,  – угол между прямой и осью ,  – между прямой и осью :

тем самым, нормальное уравнение можно записать в виде

Расстояние от точки до прямой определяется по формуле

36.Расстояние между точкой и прямой вычисляется по следующей формуле:

где x₀ и y₀ координаты точки, а A, B и С коэффициенты из общего уравнения прямой

37. Приведение общего уравнения прямой к нормальному. Уравнение и плоскость в данном контексте не отличаются друг от друга чем-то, кроме количества слагаемых в уравнениях и размерностью пространства. Поэтому сначала скажу все про плоскость, а в конце сделаю оговорку по поводу прямой.
Пусть дано общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0.
;. получаем систему:g;Mc=cosb, MB=cosaПриведем его к нормальному виду. Для этого умножим обе части уравнения на нормирующий множитель М. Получаем: Мах+Мву+МСz+MD=0. При этом МА=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa получаем систему:

M2 B2=cos2b
M2 C2=cos2g

Сложив все уравнения системы, получаем М*(А2 +В2+С2)=1 Теперь остается только выразить отсюда М, чтобы знать, на какой именно нормирующий множитель надо умножить исходное общее уравнение для приведения его к нормальному виду:
M=-+1/КОРЕНЬ КВ А2 +B2 +C2
MD должен быть всегда меньше нуля, следовательно знак числа М берется противоположный знаку числа D.
С уравнением прямой все то же самое, только из формулы для М следует просто убрать слагаемое С2.

38. Общим уравнением плоскости в пространстве называется уравнение вида

В трехмерном пространстве в декартовой системе координат любая плоскость описывается уравнением 1–ой степени (линейным уравнением). И обратно, любое линейное уравнение определяет плоскость.

40.Уравнение плоскости в отрезках. В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнение вида , где a, b и c – отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках. Абсолютные величины чисел a, b и cравны длинам отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях Ox, Oy и Ozсоответственно, считая от начала координат. Знак чисел a, b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) откладываются отрезки на координатных осях

41)Нормальное уравнение плоскости.

Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде

, (1)

где , , — направляющие косинусы нормали плоскоти, э

42)Расстояние от точки до плоскости.Пусть плоскость задана уравнением и дана точка . Тогда расстояние от точки до плоскости определяется по формуле

Доказательство. Расстояние от точки до плоскости — это, по определению, длина перпендикуляра , опущенного из точки на плоскость

Угол между плоскостями

Пусть плоскости и заданы соответственно уравнениями и . Требуется найти угол между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла: два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из

плоскостей проведем перпендикуляры и к линии пересечения.

Источник