Что такое непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример №19.1.

Найдите .

Решение:

Воспользуемся свойствами неопределенного интеграла: представим интеграл как сумму и разность соответствующих интегралов:

. Вынесем константы за знак интеграла:

и воспользуемся табличными интегралами. Получим, что

Пример №19.2.

Найдите .

Решение:

Каждое слагаемое, стоящее под знаком интеграла, представим в виде степени с рациональным показателем. Для этого применим следующие свойства степени: ; . Тогда . Представим данный интеграл как сумму и разность интегралов, вынесем константы за знак интеграла:

. Воспользовавшись табличным
интегралом , получим:

Пример №19.3.

Найдите .

Решение:

Разделив почленно числитель на знаменатель, получим

Представим данный интеграл как сумму и разность интегралов, вынесем константы за скобки:

Пример №19.4.

Найти .

Решение:

Раскрывая скобки и применяя табличные интегралы, получим:

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Источник

1.1. Способ непосредственного интегрирования

Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтенгольца «Основы математического анализа», т. I, главу X, п° 155—159. Обратите особое внимание на примеры, решенные в п° 159.

Способ непосредственного интегрирования опирается на таблицу основных интегралов и простейшие правила интегрирования.

Таблица I. Таблица основных интегралов

Все эти формулы справедливы независимо от того, является ли и независимой переменной, либо какой угодно функцией этой независимой переменной. По поводу формул 5), 6), 9), 11) и 12) смотрите учебник п° 159.

Простейшие правила интегрирования (здесь cl?*— постоянная величина,

Очень часто встречаются случаи, когда с= I либо 6=0.

При отыскании неопределенных интегралов полезно помнить таблицу дифференциалов, но не в том виде, как она дана в учебнике (см. п° 91), а в немного преобразованном следующем виде (здесь как бы правые и левые части поменялись местами).

Таблица 2. Таблица дифференциалов

Этой таблицей мы в дальнейшем будем широко пользоваться. При этом представление, например, выражения

в виде Или выражения В виде Мы будем называть подведением функций соответ ственно Или Под знак дифференциала.

Решение. Записываем подынтегральную функцию в виде степени с отрицательным дробным показателем и применяем формулу I из таблицы I:

Решение. Числитель подынтегральной функции делим почленно на знаменатель. Затем применяем правила

II, I и формулу I из таблицы I:

Решение. Возводим числитель в квадрат и делим почленно на знаменатель. Далее поступаем, как в задаче 2:

Решение. Сначала исключаем целую часть рациональной дроби, деля числитель на знаменатель. Имеем:

Применяя теперь правило II, получим:

Первые два интеграла правой части (I) вычисляются по формуле I из таблицы I:

К третьему же интегралу правой части применяем правило III интегрирования. В нашем случае Поэтому на основании формулы 2 из таблицы I имеем:

Укажем другой способ рассуждений при вычислении третьего интеграла в правой части равенства (I).

*) Произвольную постоянную мы учтем позднее при написании окончательного ответа. Мы будем поступать так и в дальнейшем.

Интеграл не изменился, так как мы подынтегральное выражение помножили на 2 и одновременно интеграл разделили на 2. Если мы теперь множитель 2 при dx подведем под знак дифференциала (см. формулу I из табл. 2), то получим:

где и = 2х—I. Мы получили табличный интеграл (см. формулу 2 из табл. I).

Замечание. Если подынтегральная функция представляет собой рациональную дробь, у которой степень многочлена числителя больше или равна степени многочлена знаменателя, то прежде всего следует исключить целую часть путем деления числителя рациональной дроби на знаменатель.

Решение. Освобождаемся от иррациональности в знаменателе:

Мы воспользовались здесь правилом III и формулой I из таблицы I.

Мы использовали здесь правило II; подведением соответствующего постоянного множителя под знак дифференциала мы привели интегралы к табличным (см. формулы 6 и 7 из табл. I).

Решение. Чтобы свести данный интеграл к табличному (см. формулу 9 из табл. I), достаточно подвести под дифференциал множитель И разделить весь интеграл на Тогда, сравнив полученный интеграле формулой 9, увидим, что А = 3. Следовательно, получим:

Замечание. Совершенно аналогично следует поступать с интегралами вида

Если в каждом из них мы введем под дифференциал множитель b и разделим интеграл на этот множитель, то приведем данные интегралы к табличным (см. формулы 10, 11, 12 в табл. I), причем и = Ьх.

Решение. Вряд ли кому-нибудь придет в голову мысль возвести данный двучлен в 27-ю степень и затем интегрировать сумму из 28-ми слагаемых, хотя такой путь вполне законен. Данный интеграл берется совсем легко с помощью правила III и формулы I из таблицы I. В самом деле, имеем:

Способ непосредственного интегрирования дает возможность брать интегралы вида

Данный интеграл можно свести к табличному, если ввести множитель 2 под дифференциал и разделить весь интеграл на 2:

В самом деле, так как f'(x)dx =Af (х), то

Итак, если числитель подынтегральной функщш равен производной ее знаменателя (или отличается от нее постоянным множителем), то интеграл равен логарифму модуля знаменателя плюс произвольная постоянная.

9. Найти интеграл: так как функция cos л: в числителе есть производная знаменателя sin х.

Применяя к равенству (2) правило III, мы легко возьмем и более сложный интеграл:

Так как производная знаменателя равна 6*, то достаточно в первом интеграле помножить числитель на 6, а весь интеграл разделить на 6:

Второй интеграл равенства (3) берется аналогично интегралу задачи 7:

так как после умножения числителя на 3 он стал равен производной знаменателя.

так как числитель подынтегральной функции равен производной знаменателя.

В задачах 13—26, пользуясь формулами таблицы I и правилами интегрирования I и II, найти заданные интегралы.

Указание. В задаче 25 числитель I подынтегральной функции замените по формуле I = sin2 х 4- cos8 х и разделите почленно на знаменатель. В задаче 26 воспользуйтесь формулой cos 2;r = cos8 х — — Sin2X и разложите на множители.

В задачах 27 — 30 найти интегралы, предварительно исключив целую часть рациональной дроби.

В задачах 29—41, пользуясь правилом интегрирования III или подведением под знак дифференциала, найти заданные интегралы.

При решении задач 42—47 посмотрите решения задач 9—12.

Указание. При решении задачи 43 воспользуйтесь указанием к задаче 25.

В задачах 48, 49 подведите предварительно числитель подынтегральной функции под знак дифференциала.

В задачах 50, 51 подведите предварительно множители х, х% под знак дифференциала.

Источник

Что такое непосредственное интегрирование

Вычисление неопределенных интегралов с помощью таблицы интегралов и их основных свойств называется непосредственным интегрированием.

Пример 1. Найдем интеграл

Применив второе и пятое свойства неопределенного интеграла, получим

Далее, используя формулы II , Ш, IV , VIII таблицы и третье свойство интегралов, находим каждый из слагаемых интегралов отдельно:

Проверим результат дифференцированием. Найдем производную полученного выражения:

Мы получили подынтегральную функцию, это доказывает, что интегрирование выполнено верно.

В таблице интегралов приведено следствие III а из формулы III :

Чтобы воспользоваться этим следствием, найдем дифференциал функции, стоящей в показателе степени:

Для создания этого дифференциала достаточно домножить знаменатель дроби под интегралом на число 2 (очевидно, чтобы дробь не изменилась, необходимо при этом умножить на 2 и числитель). После вынесения постоянного множителя за знак интеграла он становится готовым для применения табличной формулы III а :

следовательно, интегрирование выполнено правильно.

Так как из выражения, стоящего в числителе, можно сконструировать дифференциал квадратичной функции, то следует выделить в знаменателе такую функцию:

Для создания ее дифференциала достаточно умножить числитель на 4 (знаменатель при этом также умножим на 4 и вынесем этот множитель знаменателя за интеграл). В результате мы получим возможность использовать табличную формулу X :

т.е. интегрирование выполнено верно.

Заметим, что теперь квадратичная функция, дифференциал которой можно создать в числителе, является подкоренным выражением. Поэтому разумно будет записать подынтегральную функцию как степенную, чтобы воспользоваться формулой I таблицы интегралов:

Вывод: интеграл найден правильно.

Обратим внимание на то, что подынтегральное выражение содержит

Поэтому разумно представить дробь в виде степени:

Тогда после домножения числителя и знаменателя на (-1) мы получим степенной интеграл (табличная формула I ):

Дифференцированием результата убеждаемся, что интегрирование выполнено верно.

Легко убедиться, что в этом интеграле из выражения дифференциал подкоренной функции не удастся получить с помощью числовых коэффициентов. Действительно,

где k —константа. Зато, по опыту примера 3, можно сконструировать интеграл, совпадающий по виду с формулой X из таблицы интегралов:

Обратим внимание на то, что в числителе легко создается дифференциал кубической функции d ( x 3 ) = 3 x 2 dx . После чего мы получаем возможность использовать табличную формулу VI :

Известно, что производной функции arcsin x является дробь

воспользуемся той же табличной формулой I и тем, что

Пример 11. Для нахождения интеграла

воспользуемся последовательно: тригонометрической формулой

и формулой II таблицы интегралов:

Заметим, что степень переменной в числителе на единицу меньше, чем в знаменателе. Это позволяет в числителе создать дифференциал знаменателя. Найдем

После вынесения постоянного множителя за знак интеграла домножим числитель и знаменатель подынтегральной дроби на (-7), получим:

(Здесь использовалась та же формула II из таблицы интегралов).

Пример 14. Найдем интеграл

Представим числитель в ином виде: 1 + 2х 2 = (1 + х 2 ) + х 2 и выполним почленное деление, после чего используем пятое свойство интегралов и формулы I и VIII таблицы:

Вынесем постоянный множитель за знак интеграла, вычтем и прибавим в числителе 5, затем выполним почленное деление числителя на знаменатель и воспользуемся пятым свойством интеграла:

Для вычисления первого интеграла используем третье свойство интегралов, а второй интеграл представим в виде, удобном для применения формулы IX :

Отметим, что показатель степени переменной в числителе на единицу меньше, чем в знаменателе (что характерно для производной), а значит, в числителе можно сконструировать дифференциал знаменателя. Найдем дифференциал выражения, стоящего в знаменателе:

Здесь мы использовали II табличный интеграл.

Рассмотрим подобную же ситуацию в следующем примере.

Вычислим дифференциал знаменателя:

Создадим его в числителе с помощью четвертого свойства интегралов:

Более сложная подобная ситуация будет рассмотрена в примере 19.

Выделим в знаменателе полный квадрат:

После выделения полного квадрата в знаменателе мы получили интеграл, близкий по виду к формулам VIII и IX таблицы интегралов, но в знаменателе формулы VIII слагаемые полные квадраты имеют одинаковые знаки, а в знаменателе нашего интеграла знаки слагаемых различны, хотя и не совпадают со знаками девятой формулы. Добиться полного совпадения знаков слагаемых в знаменателе со знаками в формуле IX удается вынесением коэффициента (-1) за интеграл. Итак, чтобы применить формулу IX таблицы интегралов, проведем следующие мероприятия:

1) вынесем (-1) за скобки в знаменателе и затем за интеграл;

2) найдем дифференциал выражения

;

3) создадим в числителе найденный дифференциал;

4) представим число 2 в виде, удобном для применения формулы IX таблицы:

Используя IX формулу таблицы интегралов, получим

Используя опыт, приобретенный при отыскании интегралов в предыдущих двух примерах, и полученные в них результаты, будем иметь

Обобщим некоторый опыт, полученный в результате решения примеров 17,18,19.

Итак, если мы имеем интеграл вида

( пример 19 ) после создания в числителе производной знаменателя распадается на два интеграла: первый – вида

Подкоренное выражение имеет вид выражения

Для применения формулы XI в числителе должен стоять дифференциал

;

поэтому следует создать его, домножив числитель и знаменатель дроби на число 4:

Пример 21. Найдем теперь

Используя опыт предыдущих примеров, создадим в числителе дифференциал знаменателя и разобьем интеграл на два, вынеся ненужные числовые коэффициенты за интегралы: