Что такое непрерывные дроби сообщение

НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ

Полезное

Смотреть что такое «НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ» в других словарях:

Периодические непрерывные дроби — см. Дробь … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Натуральный логарифм — График функции натурального логарифма. Функция медленно приближается к положительной бесконечности при увеличении x и быстро приближается к отрицательной бесконечности, когда x стремится к 0 («медленно» и «быстро» по сравнению с любой степенной… … Википедия

История арифметики — Арифметика. Роспись Пинтуриккьо. Апартаменты Борджиа. 1492 1495. Рим, Ватиканские дворцы … Википедия

История математики в Индии — Данная статья часть обзора История математики. Научные достижения индийской математики широки и многообразны. Уже в древние времена учёные Индии на своём, во многом оригинальном пути развития достигли высокого уровня математических знаний.… … Википедия

ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ — раздел теории чисел, в к ром изучаются приближения нуля значениями функций от конечного числа целочисленных аргументов. Первоначальные задачи Д. п. касались рациональных приближений к действительным числам, но развитие теории привело к задачам, в … Математическая энциклопедия

История математики — История науки … Википедия

Математика исламского средневековья — Данная статья часть обзора История математики. Арабский халифат (750 г.) Математика Востока, в отличие от древнегреческой математики, в … Википедия

Чебышев, Пафнутий Львович — (родился 14 мая 1821 года умер 26 ноября 1894 года в Петербурге) ординарный академик Императорской Академии Наук, действительный тайный советник. П. Л. Чебышев, профессор императорского С. Петербургского университета Тайный советник, доктор… … Большая биографическая энциклопедия

Математика в Древней Греции — Данная статья часть обзора История математики. Муза геометрии (Лувр) … Википедия

Математика в Древнем Египте — Данная статья часть обзора История математики. Статья посвящена состоянию и развитию математики в Древнем Египте в период примерно с XXX по III век до н. э. Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II… … Википедия

Источник

Непрерывные дроби

История и сущность цепных дробей как математического выражения. Принципы разложения в непрерывную дробь. Приближение вещественных чисел к рациональным, особенности разработки солнечного календаря. Доказательство иррациональности чисел с помощью уравнений.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://allbest.ru

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУК КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования Томь-Усинский энерготранспортный техникум

по дисциплине Математика

студент группы ТРУК-1-14

1. История цепных дробей

2. Разложение в непрерывную дробь

3. Приближение вещественных чисел к рациональным

4. Приложения цепных дробей

5. Свойства золотого сечения

где a0 есть целое число и все остальные an натуральные числа (положительные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.

1. История цепных дробей

Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение.

Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений.

Алгоритм Евклида дает возможность найти представление (или разложение) любого рационального числа в виде цепной дроби. В качестве элементов цепной дроби получаются неполные частные последовательных делений в системе равенств, поэтому элементы цепной дроби называются также неполными частными. Кроме того, равенства системы показывают, что процесс разложения в цепную дробь состоит в последовательном выделении целой части и перевертывании дробной части.

2. Разложение в непрерывную дробь

Последняя точка зрения является более общей по сравнению с первой, так как она применима к разложению в непрерывную дробь не только рационального, но и любого действительного числа.

Разложение рационального числа имеет, очевидно, конечное число элементов, так как алгоритм Евклида последовательного деления a на b является конечным.

Понятно, что каждая цепная дробь представляет определенное рациональное число, то есть равна определенному рациональному числу. Но возникает вопрос, не имеются ли различные представления одного и того же рационального числа цепной дробью? Оказывается, что не имеются, если потребовать, чтобы было.

Любое вещественное число может быть представлено (конечной или бесконечной, периодической или непериодической) цепной дробью

Для рациональных чисел может быть использован алгоритм Евклида для быстрого получения разложения в цепную дробь.

3. Приближение вещественных чисел к рациональным

Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству

Отсюда, в частности, следует:

· подходящая дробь является наилучшим приближением для среди всех дробей, знаменатель которых не превосходит ;

· мера иррациональности любого иррационального числа не меньше 2.

4. Приложения цепных дробей

При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:

· Доказательство иррациональности чисел. Например, с помощью цепных дробей была доказана иррациональность значения дзета-функции Римана

· Решение в целых числах уравнения Пелля

и других уравнений диофантова анализа

· Определение заведомо трансцендентного числа (см. теорема Лиувилля)

· Алгоритмы факторизации SQUFOF и CFRAC

· Характеристика ортогональных многочленов

· Характеристика устойчивых многочленов

5. Свойства золотого сечения

Интересный результат, который следует из того, что выражение непрерывной дроби для ц не использует целых чисел, больших 1, состоит в том, что ц является одним из самых «трудных» действительных чисел для приближения с помощью рациональных чисел.

Теорема Гурвица утверждает, что любое действительное число k может быть приближено дробью m/n так, что

Хотя практически все действительные числа k имеют бесконечно много приближений m/n, которые находятся на значительно меньшем расстоянии от k, чем эта верхняя граница, приближения для ц (то есть числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 и т. д.) в пределе достигают этой границы, удерживая расстояние на почти точно от ц, тем самым никогда не создавая столь хорошие приближения как, к примеру, 355/113 для р. Может быть показано, что любое действительное число вида (a + bц)/(c + dц), a,b, c и d являются целыми числами, причём

обладают тем же свойством, как и золотое сечение ц; а также, что все остальные действительные числа могут быть приближены намного лучше.

дробь математический число уравнение

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

презентация [1022,3 K], добавлен 21.01.2011

Первая дробь, с которой познакомились люди в Египте. Числитель и знаменатель дроби. Правильная и неправильная дробь. Смешанное число. Приведение к общему знаменателю. Неполное частное. Целая и дробная часть. Обратные дроби. Умножение и деление дробей.

презентация [48,9 K], добавлен 11.10.2011

Из истории десятичных и обыкновенных дробей. Действия над десятичными дробями. Сложение (вычитание) десятичных дробей. Умножение десятичных дробей. Деление десятичных дробей.

реферат [8,3 K], добавлен 29.05.2006

История арифметики остатков. Понятие остатка, наибольшего общего делителя, расширенного алгоритма Евклида и применение его для решения линейных диофантовых уравнений. Алгебраический подход к делимости в кольцах и разложение чисел в цепные дроби.

дипломная работа [466,7 K], добавлен 23.08.2009

Сумма n первых чисел натурального ряда. Вычисление площади параболического сегмента. Доказательство формулы Штерна. Выражение суммы k-х степеней натуральных чисел через детерминант и с помощью бернуллиевых чисел. Сумма степеней и нечетных чисел.

курсовая работа [8,2 M], добавлен 14.09.2015

презентация [2,5 M], добавлен 18.11.2013

Класс рациональных функций. Практический пример решения интегралов. Линейная замена переменной. Сущность и главные задачи метода неопределенных коэффициентов. Особенности, последовательность представления подынтегральной дроби в виде суммы простых дробей.

презентация [240,6 K], добавлен 18.09.2013

Источник

Исследовательский проект по математике Непрерывные дроби

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

История появления и развития непрерывных дробей

Применение непрерывных дробей в теории чисел

Применение непрерывных дробей в аналитической теории

Приложения непрерывных дробей

В вычислительной практике действительные числа заменяют рациональными, при этом рациональное число выбирают максимально простым в виде десятичной дроби с небольшим числом знаков после запятой или обыкновенной с небольшим знаменателем. В вопросах приближённого представления действительных чисел рациональными дробями большое значение имеет аппарат непрерывных (цепных) дробей.

Бесконечной цепной, или непрерывной, дробью общего вида называют разложение

где и могут принимать произвольные, отличные от нуля рациональные значения, может быть равно нулю. Если в данной дроби все , (), то дробь будет называться правильной цепной дробью.

Также различают ветвящиеся непрерывные дроби:

Дроби такого вида широко применяются во многих вопросах вычислительной математики.

В своей основе вопросы теории непрерывных дробей доступны учащимся основной школы. Её алгоритмы основаны на применении алгоритма Евклида, выделения целой части числа. Её задачи связаны с аппроксимацией действительных чисел и опираются на теорию рациональных и действительных чисел.

Цель проекта – изучить непрерывные дроби общего вида, рассмотреть возможные способы аппроксимации действительных чисел рациональными дробями и выбрать оптимальный, дающий наилучшие приближения.

1. рассмотреть вопросы истории, касающиеся появления и развития непрерывных дробей, а также их приложений;

2. овладеть алгоритмами нахождения подходящих дробей для действительных чисел;

3. изучить основные свойства подходящих дробей цепной дроби;

4. рассмотреть различные способы оценки погрешности, возникающие при аппроксимации действительных чисел рациональными дробями;

5. подобрать примеры для иллюстрации теоретических положений.

1. История появления и развития непрерывных дробей

По некоторым сведениям непрерывные дроби применялись уже математиками Древней Греции. Например, алгоритм Евклида (III в. до н.э.) тесно связан с цепными дробями. Возможно, что при нахождении приближения к числу Архимед (ок. 287-212 до н.э.) пользовался методом, близкому к разложению в цепную дробь.

Известно, что китайский астроном ЦзуЧун-чжи (V в. н.э.) показал, что π заключено между 3,1415926 и 3,1415927. он указал в качестве рационального приближения к π величину .

Из средневековых математиков близко подошёл к цепным дробям Омар Хайям (ок. 1048-1122). Он положил их в основу своей идеи реформы календаря. Продолжительность года по его приближениям составляла суток и составляла погрешность всего 19 секунд в год [4].

Но впервые непрерывные дроби как таковые появляются в «Алгебре» итальянского математика Рафаэль Бомбелли (1526-1572), вышедший в 1572 г. в статье, написанной в то время, когда в Италии и Франции впервые появились алгебраические понятия и обозначения. Бомбелли пришёл к цепным дробям, изучая извлечение квадратного корня из чисел. Первым известным использованием непрерывной дроби является приближённое выражение для следующего вида . Это частный случай формулы .

Следующее по времени применение цепной дроби, причём опять-таки к извлечению квадратных корней принадлежит итальянскому математику Пьетро Антонио Катальди (1552-1626), им был предложен второй частный случай данной формулы: . В 1613 г. он ввёл при записи цепной дроби повторное применение дробной черты, т.е. уже настоящее обозначение цепной дроби, только вместо + он употреблял перлюэт (&), т.е. сокращённое обозначение латинского союза et (и). И его запись разложения выглядела следующим образом: =4&&… Кроме разложения иррационального числа в ряд Катальди ещё и нашёл приближения этого числа: и , между которыми заключён (хотя он не знал способа последовательного вычисления подходящих дробей). При этом Катальди заметил, что значение цепной дроби всегда заключено между соседними подходящими дробями.

В середине XVII века английский математик Джон Валлис (1616-1703) первым по времени разложил трансцендентное число в бесконечное произведение: …, а У. Броункер (1620-1686), первый президент Королевского общества, около 1659 г. без доказательства опубликовал разложение его в цепную дробь: .

Следующий шаг в развитии теории непрерывных дробей был сделан Христианом Гюйгенсом (1629-1695). Он строил модель солнечной системы с помощью набора зубчатых колес. По расчетам оказалось, что отношение числа зубцов двух каких-либо колёс должно быть равным отношению времён обращения двух планет вокруг Солнца. Это отношение выражается достаточно точно в виде (несократимой) дроби с большим числителем и большим знаменателем. Изготовление же таких зубчатых колёс, практически очень сложно. Тогда Гюйгенс нашёл среди дробей с меньшим числителем и меньшим знаменателем подходящую дробь к числу . Как и Швентер, Гюйгенс решил эту задачу посредством разложения обыкновенной дроби в цепную дробь и поэтому ограничился рассмотрением правильных непрерывных дробей. Благодаря чему была найдена подходящая дробь , аппроксимирующая дробь с большими числителем и знаменателем, и имеющая погрешность, которая составляет лишь десятитысячную долю от единицы.Гюйгенс обратил внимание на то, что нельзя найти обыкновенную дробь с меньшими числителем и знаменателем, чем подходящая, которая была бы ближе к значению цепной дроби; а также, что подходящие дроби попеременно то больше, то меньше значения цепной дроби.

Можно сказать, что цепными дробями занимались от случая к случаю, и первым, кто систематизировал знания о непрерывных дробях и изложил полную их теорию, насколько это было возможно сделать в ту эпоху, был Леонард Эйлер (1707-1783). Он опубликовал свою первую работу в 1744 г., в которой рассматривал цепную дробь общего вида и впервые появляются соответствующие непрерывные дроби. Следует заметить, что сам термин «цепная дробь» появился лишь в XVIII веке, а до этого времени использовалось понятие «непрерывная дробь». Вторая работа Эйлера, вышедшая в 1750 г., фактически являлась её продолжением, в ней рассматривались вопросы о применении непрерывных дробей для решения дифференциальных уравнений, алгоритм нахождения подходящих дробей, преобразование числовых рядов в равноценные непрерывные дроби, представление иррациональных чисел в непрерывные дроби и нахождение для некоторых из них подходящих дробей. Из его работ стало ясно, что непрерывные дроби могут применяться как в теории чисел, так и в анализе. Эйлеру также принадлежат и многие другие работы, связанные с изучением и применением непрерывных дробей.

2. Применение непрерывных дробей в теории чисел

Задачами, относящимися к теории чисел, являются разложения действительных чисел в правильные непрерывные дроби и аппроксимации действительных чисел с помощью непрерывных (непрерывных) дробей. Здесь наиболее важным является вопрос о степени приближения, которое обеспечивает n-я подходящая дробь и об оценке погрешности при замене действительного числа подходящей дробью.

Эварист Галуа (1811-1832) в своей первой опубликованной работе исследовал некоторые периодические правильные непрерывные дроби. Он дал определение двойственных периодических правильных непрерывных дробей.

Жозеф Лиувилль (1809-1882) первым доказал существование трансцендентных чисел. В 1851 г. он отметил, что алгебраические числа не могут быть достаточно точно аппроксимированы рациональными числами. Он доказал, что для — корня неприводимого полинома с целыми коэффициентами степени n существует константа с: 0

Результат, полученный Адольф Гурвицем (1859-1919) в 1891 заключается в том, что неравенство всегда имеет бесконечное число рациональных решений . Эмиль Борель (1871-1956) дал простое доказательство этого факта, заметив, что среди любых трёх следующих одна за другой последующих дробей правильного непрерывно-дробного разложения имеется хотя бы одна, которая удовлетворяет данному неравенству.

Оттенок теории меры придали этим результатам Борель и Феликс Бернштейн (1878-1956), которые доказали, что для почти всех х: 0

3 Применение непрерывных дробей в аналитической теории

Значительный вклад в аналитическую теорию внёс Эйлер. Им были получены разложения в непрерывные дроби для интегралов и степенных рядов, включая и расходящиеся, а также показал, как разложение Броункера для может быть выведено либо из формулы приведения Валлиса, либо из знакопеременного ряда Грегори – Лейбница для. Другим вкладом Эйлера было решение дифференциального уравнения Риккати при помощи непрерывных дробей. В аналитическом направлении теории непрерывных дробей работали Иоганн Генрих Ламберт (1728-1777) (разложил в непрерывные дроби ln(1+x), arctgx и tgx ; и полностью исследовал вопросы сходимости непрерывных дробей к этим функциям), Лагранж, Гаусс, Карл Густав Якоби (1804-1851). Девятнадцатый век стал временем бурного развития аналитической теории непрерывных дробей. Методы непрерывных дробей использовались при изучении специальных функций, для нахождения конкретных численных результатов. В области теории разложения и сходимости непрерывных дробей, элементами которых являются линейные функции комплексного переменного, работали такие математики, как Пьер Симон Лаплас, Лежандр, Якоби, Эйзенштейн, Лаггер, Бернхард Риман (1826-1866), Томас Иоаннес Стилтьес, П.Л. Чебышев (1821-1894), Фробениус (1849-1917) и Анри Пуанкаре (1854-1912). Эти исследования оказали далеко идущее влияние на дальнейшее развитие математики. Особенно это относится к работам Стилтьеса, которые привели к таким важным исследованиям, как проблема моментов, теория интеграла Стилтьеса, начало систематического изучения сходимости последовательностей голоморфных функций и первое применение Гильбертом и его школой аппарата спектральной теории самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве к проблеме моментов. В работах Пуанкаре и Стилтьеса, в которых разложения в непрерывные дроби применялись в связи с расходящимися рядами, по-видимому, впервые появились асимптотические разложения.

Методы, разработанные Фробениусом и Паде в конце XIX века для приближения аналитических функций подходящими дробями непрерывных дробей под общим названием аппроксимаций Паде, стали главным вычислительным средством в задачах статистической механики и физики твёрдого тела, быстро распространяясь на другие разделы теоретической физики.

Гейне в 1846-1847 гг. занимался гипергеометрическими функциями. Проблемой сходимости непрерывных дробей для отношений этих функций – Риман, и более полно этот вопрос был рассмотрен Томе. Решение задача представления произвольных степенных рядов цепными дробями было начато Штерном в 1832 г. и Хейлерманом в 1846 и продолжено Фробениусом и Стилтьесом. Интерес к этой теме проявляли многие математики, их работы играли большую роль для науки. Ею также активно занимались и русские учёные: в XIX веке работы П.Л. Чебышева, А.А.Маркова (1856-1922), И.В.Слешинского и других математиков внесли значительный вклад в теорию непрерывных дробей.

В Марийском педагогическом институте под руководством А.Н.Хованского в 50-60-е годы XX века работала аспирантура, в которой занимались исследованием аналитических вопросов непрерывных дробей. В последствии успешно защитили кандидатские диссертации и опубликовали ряд работ Г.В. Маурер, Л.П. Шутова, C.С. Хлопонин, В.К. Смышляев.

Таким образом, благодаря систематическому изучению Эйлером непрерывных дробей, многие математики, работающие в России и за её пределами, заинтересовались этим вопросом и продолжили его изучение в своих работах. Огромное количество работ, посвящённых теории непрерывных дробей, говорит о широких возможностях применения её к различным областям науки.

4 Приложения непрерывных дробей

Непрерывные и ветвящиеся непрерывные дроби обладают рядом уникальных свойств, обеспечивающих им широкое использование в теоретической и прикладной математике. Этим и объясняется повышенный интерес математиков к данной теории на протяжении нескольких веков.

В настоящее время в теоретическом плане непрерывные дроби играют существенную роль, так как позволяют усилить и развить результаты классической математики на случай многих аргументов, причём сам аппарат непрерывных дробей зачастую подсказывает формулировки такого рода обобщений, в частности, в теории чисел.

Непрерывные дроби широко применяются в теории чисел: обобщены некоторые основные алгоритмы (алгоритм Евклида, Остроградского, Эйлера), найдено решение классической задачи об алгебраических иррациональностях высших степеней, найдены отдельные решения некоторых диофантовых уравнений и их систем.

Непрерывные дроби дают большое преимущество в точности при приближённом нахождении корней квадратных уравнений; вычислении логарифмов чисел.

Непрерывные дроби позволяют строить алгоритмы для вычисления корней алгебраических уравнений произвольной степени. В вычислительной практике используются при решении сравнений первой степени, также удобны в использовании дробно-рациональные аппроксимации функций одного аргумента цепными дробями с помощью формул Обрешкова или Тиле по методу Паде. Они также используются в теории сравнений.

На базе непрерывных дробей построены некоторые эффективные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений, неопределённых уравнений вида , , уравнений рекуррентного типа, и других типов уравнений. Решение задачи Коши для линейных систем дифференциальных уравнений с частными производными можно представить ветвящимися цепными дробями, при наложении некоторых условий к системе и начальным условиям.

Непрерывные дроби используются для нахождения приближенных представлений функций. Эти приближения, являющиеся дробно-рациональными функциями от независимых переменных успешно заменяют данную функцию в тех областях изменения аргумента, где, например, разложение этой функции в степенной ряд расходится и где, следовательно, приближения в виде многочленов в большинстве случаев неприменимы. При использовании дробно-рациональных приближений отпадает необходимость вычислять высокие степени аргумента и появляется возможность вычислять значения отдельных функций.

Теория матричных ветвящихся непрерывных дробей позволяет решить следующие задачи: извлечение квадратного корня, корня третьей, четвёртой степени и корня любой рациональной степени с помощью матриц, решение уравнений с помощью матриц второго порядка, решение уравнений высших степеней с помощью матриц. (Матричные рекуррентные уравнения применяются в задачах экономики, физики, плазмы и др.)

В настоящее время непрерывные дроби находят всё большее применение в вычислительной технике, так как позволяют строить эффективные алгоритмы для решения ряда задач на ЭВМ.

Помимо теоретического использования правильных непрерывных дробей существуют и практические приложения непрерывных дробей. Среди всего их множества можно отметить следующие:

1.Решение обратных задач теплопроводности;

2.Исследование механических колебаний в валопроводах различных энергетических установок;

3.Синтез устройств частотной селекции на функциональных времязадающих элементах;

4.Исследование устойчивости, исследование установившихся и переходных процессов, стабилизация систем, исследование и обеспечение качества систем, исследование случайных процессов, оптимизация параметров и ряд других проблем в технике, в частности, в автоматике, радиоэлектронике, приборостроении и др.

Источник