Что такое неравенства в геометрии

Презентация по математике на тему «Неравенства в геометрии» (6 класс, внеурочная деятельность).

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

«Неравенства в геометрии» Внеурочная деятельность по математике. Выполнила: учитель математики МБОУ Бурмакинской СОШ №1 Короткова О.М.

Теоретические сведения Рассмотрим некоторые геометрические неравенства. Неравенство треугольника в геометрии и смежных дисциплинах – это одно из свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его сторон. Длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других.

Задача №1 а, в, с – стороны треугольника. а = 3,17; в = 0,75; с – целое число. Найдите с.

Решение задачи №1 Из неравенства треугольника с а – в, т.е. c > 3,17 – 0,75; с > 2,42. Так как с – целое число, то оно равно 3.

Задача №2 Докажите, что в четырёхугольнике диагональ меньше половины периметра.

Задача №3 Докажите, что в четырёхугольнике любая сторона меньше суммы остальных.

Решение задачи №3 Рассмотрим четырёхугольник АВСD. Из неравенства треугольника АВ

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1280716

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Апробацию новых учебников по ОБЖ завершат к середине 2022 года

Время чтения: 1 минута

ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной

Время чтения: 1 минута

Международный конгресс-выставка «Молодые профессионалы» пройдет с 12 по 14 декабря в Москве

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

До конца 2024 года в РФ построят около 1 300 школ

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Подготовка к олимпиаде по математике. Геометрические неравенства.

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Геометрические неравенства в планиметрии. Елабуга 2020 Санникова Г.И. Учитель математики МБОУ «СОШ №10» РТ Г. Елабуги

Задача №1 В треугольнике ABC серединный перпендикуляр к стороне BC пересекает Сторону AB в точке D и продолжение стороны AC в точке E. Докажите, что AD

Доказательство: Треугольник CDM – равнобедренный, так как медиана DM является высотой и биссектрисой. ∠CDM=∠BDM,∠BDM=∠ADE (вертикальные углы) ∠CDM – внешний для треугольника CED. Значит ∠СDM=∠CDE+∠ECD,∠CDM ∠AED+∠EAD Следовательно ∠ADE >∠AED, так как напротив большего угла лежит большая сторона, то AE>AD Что и требовалось доказать.

Задача №2 На сторонах угла A взяты точки B и C. Через середину отрезка BC проведена прямая, пересекающая стороны угла AB и AC в точках D и E соответственно. Докажите, что площадь треугольника ADE больше площади треугольника ABC.

Доказательство: Рассмотрим отрезки DK и KE. D лежит между точками A и B. DK S ABC

Задача №3 (Олимп. 8 кл.) Докажите, что у равнобедренного треугольника, с углом напротив основания в 20°, боковая сторона больше удвоенного основания.

Задача №4 Отрезки AB и CD длиной, равные 1, пересекаются в точке O, ∠AOC=60°. Докажите, что AC+BD ≥ 1.

Доказательство: Рассмотрим геометрическое решение. Пусть ACB1B-параллелограмм. AC=BB1, AB=CB1, AB//CB1 и ∠AOC=∠DCB1=60° (накрест лежащие углы при секущей OC) Треугольник DCB1- равнобедренный, CD=CB1, так как AB=CD=B1C=1, Треугольник DCB1- равносторонний, то есть DC=B1C=B1D=1, в треугольнике DBB1 BB1+ BD ≥ B1D, но BB1=AC (противоположные стороны параллелограмма) или AC+BD ≥ 1 Что и требовалось доказать.

Задача №5 Докажите, что сумма медиан треугольника больше полупериметра, но меньше периметра.

Доказательство: Обозначим стороны AB=c, BC=a, AC=b, AL=Ma, BM=Mb, CK=Mc Докажем: Ma+Mb+Mc=a+b+c D принадлежит медиане BM, BM=M,ABCD-параллелограмм, так как DD и AC диагонали), AD//BC, AD=BC=a, AB=CD=c В треугольнике ABC, BC+AB>AC, т.е a+c=2Mb В треугольнике MABC, AC+BC>AB,т.е. a+b=2Mc В треугольнике ABC, AC+AB>BC,т.е. b+c=2Ma a+c+a+b+b+c>2Mb+2Mc+2Ma  a+b+c>Mb+Mc+Ma В треугольнике ABM, AM+BM>AB, то есть Mb+b:2>с, В треугольнике ALC ma+a:2>b. В треугольнике BKC mc+c:2>a ma+mb+mc+(a+b+c):2> a+b+c  ma+mb+mc> (a+b+c):2 Что и требовалось доказать.

Задача №6 Пусть точки B и C принадлежат отрезку AD. Докажите, что, если AB=CD, то для любой произвольной точки P верно неравенство PA+PD ≥ PB+PC.

Доказательство: Если точка P лежит на AD, то неравенство очевидно. Рассмотрим, если P не принадлежит AD, O-середина AD и BC. C и B принадлежат отрезку AD. Точка Q симметрична точке P. CQ и PB параллельны, а четырёхугольник CPBQ-параллелограмм. Аналогично в четырёхугольнике APDQ, APDQ-параллелограмм. Параллелограмм CPBQ находится внутри параллелограмма APDQ Papdq>Pcpbq  PA+PD ≥ PC+PB. Что и требовалось доказать.

Задача №7 В треугольнике ABC ∠B= ∠С=40 ° BD-биссектриса. Докажите, что BD+DA=BC. Соотношение между элементами треугольника. Подобие.

Доказательство: Из условия задачи знаем, что треугольник ABC-равнобедренный. ∠B=∠С=40° BD-биссектриса угла B, D принадлежит AC. Треугольник DEC равнобедренный, так как DE=EC. Треугольник ABC подобен CDE  по свойству биссектрисы AB:BC=AD:DC, но так AB:BC=DE:DC(по двум пропорциональным сторонам и углу между ними) AB:BC=AD:DC=DE:DC  AD=DE=EC. Если рассмотреть углы треугольников, то выясним, что треугольник BDE-равнобедренный, BD=BE  BD+DA=BE+EC=BC. Что и требовалось доказать.

Задача №8 В треугольнике ABC c углом B, равным 60°, проведены биссектрисы AD и CE, пересекающиеся в точке O. Докажите, что OD=OE.

Доказательство: Если ∠B равен 60°, то сумма ∠A и ∠С равна 120°. Значит сумма углов AOC и EOD равна 60°. Следовательно по теореме о сумме углов треугольника ∠AOC и ∠EOD равны 120° (вертикальные). ON ⊥ AB, OD ⊥ BС. Отрезки OM и ON равны, как радиусы вписанной окружности. Угол MON=120°, потому что можно провести окружность описанную около четырёхугольника BMON. ∠EON=∠MOD и треугольники EON и DOM равны  OD=OE. Что и требовалось доказать.

Задача №9 Основание треугольника равно √98. Найдите длину отрезка, параллельного основанию, который делит треугольник На две равновеликие части.

Доказательство: Пусть в треугольнике ABC сторона AC-основание, равна √98. Прямая, пересекающая стороны AB и BC соответственно в точках D и E, параллельна AC, делит треугольник ABC на две равновеликие фигуры  Sbde=Sadec. Треугольники BDE и BAC подобны (по двум равным углам) И их площади относятся как 1:2, DE:AC=1: √2  DE: √98=1: √2 Или DE= √98: √2= √49=7. Ответ:DE=7.

Задача № 10 Стороны пятиугольника ABCDE равны. Если угол ACE равен половине угла BCD, то найдите угол ACE

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1161444

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Международный конгресс-выставка «Молодые профессионалы» пройдет с 12 по 14 декабря в Москве

Время чтения: 1 минута

В МГПУ сформулировали новые принципы повышения квалификации

Время чтения: 4 минуты

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Педагогам Северной Осетии в 2022 году будут выплачивать надбавки за стаж

Время чтения: 2 минуты

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Геометрические неравенства. Большая сторона и больший угол в треугольнике

Автор: 8906532 • Ноябрь 21, 2020 • Реферат • 3,333 Слов (14 Страниц) • 245 Просмотры

1.Понятие геометрических неравенств……………………………………4

1.1.Исторические сведения о возникновении неравенств…………. 4-6

2.Большая сторона и больший угол в треугольнике………….………7-14

3. Неравенство треугольника ………………………………………….15-19

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ……………………. 28

Данная тема объединяет вместе совершенно разные и далекие друг от друга понятия. Действительно, часть учащихся считает, что алгебра и геометрия — совершенно разные науки, и ничего общего между ними нет. Но это, конечно, неверно. Есть много пунктов, в которых алгебра соприкасается с геометрией. Один из них — это геометрические неравенства, т.е. неравенства между числовыми мерами (или измерениями) различных геометрических объектов. Геометрические неравенства –это тема, на изучение которой в программном школьном курсе отводится недостаточное количество времени, поэтому они вызывают трудности у обучающихся.

Разделение курса математики на модули алгебры и геометрии, зачастую приводит к тому, что навыки, приобретаемые при изучении геометрии, не используются при решении алгебраических задач, а тем более не переносятся на другие предметные области и не применяются в жизни.

В данной работе я постараюсь объединить геометрические и аналитические подходы при изучении некоторых аспектов темы «Неравенства», рассмотрев задачи на геометрические неравенства, поскольку они являются наиболее сложными для понимания обучающимися. Развитие дискретной математики, линейного программирования, динамического планирования и оптимального управления говорит об актуальности геометрических экстремальных задач в окружающей нас действительности, где школьник должен формировать метапредметные компетенции необходимые для жизни. Геометрические неравенства призваны развивать их. Все это объясняет актуальность рассматриваемой темы, что особенно важно при развитии творческих математических способностей в системе общего и дополнительного образования в условиях реализации ФГОС нового поколения.

1.Понятие геометрических неравенств.

1.1. Исторические сведения о возникновении неравенств.

Геометрические неравенства довольно специальная тема, количество различных фактов и задач в ней очень велико. Геометрические неравенства имеют широкую область применения как в самой геометрии, так и за ее пределами. Теория функций комплексного переменного, вариационное исчисление в целом, теоремы вложения функциональных пространств, получение априорных оценок решений дифференциальных уравнений дают тому множество примеров. Используемые в разных целях геометрические неравенства применяются в окружении разного технического аппарата, при равных требованиях к исследуемым объектам.

История развития неравенств и их систем тесно связана с историей развития уравнений и систем уравнений. Знаки неравенств «>», «

Источник

Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Неравенства

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.

Примеры линейных неравенств:

3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0

Решить линейное неравенство – получить выражение вида:

x c x ≤ c x > c x ≥ c

где c – некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

Таблица числовых промежутков

Алгоритм решения линейного неравенства

a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )

№2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14

6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4

x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).

№1. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

№2. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

x + 6 − 9 x > − 8 x + 48

Квадратные неравенства

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

Примеры решения квадратных неравенств:

№1. Решить неравенство x 2 ≥ x + 12.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3

x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ )

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1

− x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 0

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1

− x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 0

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№4. Решить неравенство x 2 − 5 x 6.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1

x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 = 44 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

№5. Решить неравенство x 2 4.

Решение:

Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2

x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

№6. Решить неравенство x 2 + x ≥ 0.

Решение:

Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x 2 + x = 0.

x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1

x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ )

Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.

Дробно рациональные неравенства

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

x − 1 x + 3 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

3 ( x + 8 ) − 5 \ x + 8 ≤ 0

3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0

x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

− 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 0

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )

№3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.

x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

Системы неравенств

Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы неравенств:

Алгоритм решения системы неравенств

Примеры решений систем неравенств:

№1. Решить систему неравенств < 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

− 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ), поскольку − 3 0, знак неравенства после деления меняется на противоположный.

Графическая интерпретация решения:

Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

№2. Решить систему неравенств < 2 x − 1 ≤ 5 1 − 3 x − 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

Графическая интерпретация решения:

№3. Решить систему неравенств < 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 >5 − x

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Графическая интерпретация решения:

Графическая интерпретация решения:

Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.

№4. Решить систему неравенств < x + 4 >0 2 x + 3 ≤ x 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Графическая интерпретация решения первого неравенства:

Решаем методом интервалов.

D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1

Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.

Графическая интерпретация решения второго неравенства:

Источник

• ← Что такое гражданская война кратко и понятно
• Что такое поступки для девушки →