Что такое неравенство второй степени

То есть, это числа от минус бесконечности до 1,5 и от 1,5 до плюс бесконечности, так как точка 1,5 выколотая, а значит, она не входит в данный промежуток чисел. Запишем ответ: (-∞;-1,5)∪(1,5:+∞). Также данный ответ можно записать короче: х≠1,5.

Четвертый случай. D 0.

Пятый случай. D 2 +3х–2≤0

Находим дискриминант, он равен отрицательному числу (–71), значит, корней нет. В координатной плоскости покажем параболу, которая не пересекает ось х, то есть, расположена в нижней полуплоскости ветвями вниз, так как а=–10. Теперь для нахождения ответа определяем промежуток отрицательных чисел: так как парабола находится в нижней полуплоскости, а нам нужен промежуток отрицательных чисел (показан штриховкой), то данное неравенство имеет множество решений (искомый промежуток совпал с расположением параболы в нижней полуплоскости).

Записываем ответ: множество решений. Также ответ можно записать в виде промежутка (-∞;+∞) или записать так: х – любое число.

Источник

Решение неравенств второй степени

Решение неравенств второй степени

Неравенством второй степени называется неравенство вида ax2 + bx + c > 0 (или ax2 + bx + c 0. Если D > 0, то для решения неравенства ах2 + bх + с > 0 нужно разложить квадратный трехчлен на множители ах2 + bх + с по формуле ах +bх + с = а(х-х1)(х-х2), затем разделить обе части неравенства а(х-х1)(х-х2) > 0 на число а, сохранив знак неравенства, если а>0, и изменив знак неравенства на противоположный, если а 0.
Дальше используют тот факт, что произведение двух чисел положительно, если сомножители имеют одинаковые знаки (если (х-х1)(х-х2) 0.

↔↔ ↔ ↔ x (-;2)(3;).

Ответ: x (-;2)(3;).

Замечание. Рассмотренное выше неравенство второй степени обычно решают либо графически, либо методом интервалов, которые рассмотрены ниже. Однако приведенные выше способы также имеют право на существование, т. к. они достаточно просты и наглядны.

Графическое решение неравенств второй степени:

Графиком квадратичной функции y = ах2 +bх + с является парабола с ветвями, направленными вверх, если а > 0, и вниз, если а 0 и выпуклостью вверх, если а 0.

Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию у = x2. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (парабола направлена выпуклостью вниз). Парабола пересекает ось Ох в точке с абсциссой х = 0, так как х2 = 0 ↔ х = 0. Изобразив схематически параболу у = x2, найдем, что у > 0 при x (-;0) (0;). На чертеже искомое множество заштриховано.

Пример 3. Решить неравенство -2×2 + 3x + 2 > 0.

Источник

Решение неравенств второй степени с одной переменной

Урок 13. Алгебра 9 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Решение неравенств второй степени с одной переменной»

В левой части неравенства записан квадратный трёхчлен. Решение неравенства сводится к нахождению множества значений переменной х, при которых квадратный трёхчлен принимает положительные или отрицательные значения.

Алгоритм решения неравенств второй степени:

1. Определить направление ветвей параболы .

2. Найти корни квадратного уравнения .

3. Изобразить схематический график.

4. Выбрать множество значений х, соответствующих знаку неравенства.

Решим несколько неравенств второй степени, придерживаясь данного алгоритма.

Рассмотрим квадратичную функцию:

Так как а=1, значит ветви параболы направлены вверх.

Отметим эти значения на оси:

Решением данного неравенства будет объединение промежутков:

Рассмотрим квадратичную функцию:

Так как а=3, значит ветви параболы направлены вверх.

Решим соответствующее квадратное уравнение:

Отметим эти значения:

Решением данного неравенства будет:

Рассмотрим квадратичную функцию:

Так как а=-7, значит ветви параболы направлены вниз.

Решим соответствующее квадратное уравнение:

Данное неравенство не имеет решений.

Определить, при каком значении переменной b уравнение имеет корни:

Найдем дискриминант этого уравнения:

Тогда выполнение задания сводиться к решению неравенства второй степени. Причём с нестрогим знаком, больше либо равно.

Применив алгоритм, найдем корни уравнения:

Изобразим их на числовой прямой:

Уравнение имеет корни:

Решить систему неравенств:

Решим каждое неравенство в отдельности.

Мы получили решение двух неравенств второй степени. Вернёмся к системе. Решением системы будет пересечение двух решений. Значит, решением системы будет объединение промежутков:

Источник

Решение неравенств второй степени

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Описание слайда:

Решение неравенств второй степени
Исследовательская работа по алгебре

Описание слайда:

Цель урока
Обобщить, систематизировать и расширить знания по теме «Решение неравенств второй степени с одной неизвестной».

Описание слайда:

Ход исследования:
Определение неравенств второй степени
Методы решения неравенств:
Графический:
Решение неравенства второй степени при
Метод интервалов

Описание слайда:

Описание слайда:

Графический метод решения неравенств:
Решение неравенства второй степени с одной переменной можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.
При решении неравенства графическим способом важно знать как направлены ветви параболы – вверх или вниз и каковы абсциссы точек её пересечения с осью х, координаты вершины параболы нас не интересуют.

Описание слайда:

Решение неравенства второй степени при
Неравенство вида

Пример 1. Решим неравенство
Рассмотрим функцию
Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдем нули функции. Решим уравнение

Уравнение не имеет корней.
Значит парабола не имеет общих точек с осью х.
Показав схематически расположение параболы
в координатой плоскости, найдем, что функция
принимает положительные значения при любом х.
Ответ:

Описание слайда:

Решение неравенства второй степени при
Неравенство вида

Пример 2. Решим неравенство:
Рассмотрим функцию
Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдем нули функции. Решим уравнение

Уравнение не имеет корней.
Значит парабола не имеет общих точек с осью х.
Показав схематически расположение параболы
в координатой плоскости, найдем, что функция
принимает положительные значения при любом х.
Ответ:

Описание слайда:

Решение неравенства второй степени при
Неравенство вида

Пример 3. Решим неравенство:
Рассмотрим функцию
Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдем нули функции. Решим уравнение

Уравнение не имеет корней.
Значит парабола не имеет общих точек с осью х.
Показав схематически расположение параболы
в координатой плоскости, найдем, что функция
не принимает отрицательных значений.
Ответ: нет решений.

Описание слайда:

Решение неравенства второй степени при
Неравенство вида

Пример 4. Решим неравенство:
Рассмотрим функцию
Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдем нули функции. Решим уравнение

Уравнение не имеет корней.
Значит парабола не имеет общих точек с осью х.
Показав схематически расположение параболы
в координатой плоскости, найдем, что функция
не принимает отрицательных значений.
Ответ: нет решений.

Описание слайда:

Решение неравенства второй степени при
Неравенство вида

Пример 5. Решим неравенство:

Рассмотрим функцию
Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз.
Найдем нули функции. Решим уравнение

Уравнение не имеет корней.
Значит парабола не имеет общих точек с осью х.
Показав схематически расположение параболы
в координатой плоскости, найдем, что функция
не принимает положительных значений.
Ответ: нет решений.

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Курс повышения квалификации

Охрана труда

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Похожие материалы

Презентация на тему «Темперамент и его типы»

Технологическая карта по МДК

Дневник-отчет по учебной практике УП 05 Выполнение работ по одной или нескольким профессиям, должностям служащих. Выполнение работ по профессии 18545 Слесарь по ремонту сельскохозяйственных машин и оборудования.

Рабочая тетрадь для МДК 05.01

Инновационные технологии в деятельности педагога опыты и перспективы

Тарификация почтовых отправлений и денежных переводов, дополнительные услуги

Творческая работа «О вреде алкоголя»

Методические указания по выполнению заданий учебной практики и оформлению отчета по ПМ.03 Управление ассортиментом, оценка качества и обеспечение сохраняемости товаров (УП.03

Не нашли то что искали?

Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5380592 материала.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

До конца 2024 года в РФ построят около 1 300 школ

Время чтения: 1 минута

ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной

Время чтения: 1 минута

Учителям истории предлагают предоставить право бесплатно посещать музеи

Время чтения: 2 минуты

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

В МГПУ сформулировали новые принципы повышения квалификации

Время чтения: 4 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Алгебра. 9 класс

Неравенства, в одной части которых стоит квадратный трёхчлен, а в другой – нуль, называют неравенствами второй степени с одной переменной.

Для решения неравенств такого вида используют свойства квадратичной функции и её графика. А именно, нули функции и направление ветвей параболы.

Приведём пример. Решим неравенство 3x 2 – 11x – 4 > 0.

Рассмотрим функцию y = 3x 2 – 11x – 4. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при x 2 равен 4, а 4 > 0.

Для того чтобы выяснить, пересекает ли парабола ось абсцисс и в каких точках, решим квадратное уравнение 3x 2 – 11x – 4 = 0. Это уравнение имеет два корня: и 4.

Покажем схематически, как расположена парабола на координатной плоскости.

На оси абсцисс отметим нули функции, то есть те значения, которые мы получили при решении квадратного уравнения: и 4.

Так как ветви параболы направлены вверх, она будет расположена так.

Обратим внимание, что функция принимает положительные значения, когда или x ∈ (4; +∞), а отрицательные значения, когда .

Таким образом, множеством решений нашего неравенства будет .

Рассмотрим ещё один пример: x 2 – 3x + 4 > 0.

Рассмотрим функцию y = x 2 – 3x + 4. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Чтобы выяснить, как расположен график данной функции относительно оси абсцисс, решим квадратное уравнение x 2 – 3x + 4 = 0.

Дискриминант этого уравнения меньше нуля, а значит, уравнение не имеет корней.

Значит, парабола не имеет общих точек с осью x. Изобразим схематически расположение параболы на координатной плоскости. Очевидно, что при любом значении переменной x функция принимает положительные значения.

Таким образом, решением рассматриваемого неравенства является любое число.

Источник