Что такое нормальная и аномальная дисперсия

Дисперсия света: нормальная и аномальная.

(или )

(10.2.1)

соответствуют нормальной дисперсии света(с ростом частоты ν показатель преломления n увеличивается). Нормальная дисперсия наблюдается у веществ, прозрачных для света. Например, обычное стекло прозрачно для видимого света, и в этой области частот наблюдается нормальная дисперсия света в стекле. На основе явления нормальной дисперсии основано «разложение» света стеклянной призмой монохроматоров.

Дисперсия называется аномальной, если

(или ),

(10.2.2)

т.е. с ростом частоты ν показатель преломления n уменьшается. Аномальная дисперсия наблюдается в областях частот, соответствующих полосам интенсивного поглощения света в данной среде. Например, у обычного стекла в инфракрасной и ультрафиолетовой частях спектра наблюдается аномальная дисперсия.

Зависимости n от ν и λ показаны на рис. 10.4 и 10.5.

В зависимости от характера дисперсии групповая скорость u в веществе может быть как больше, так и меньше фазовой скорости υ (в недиспергирующей среде u=V).

Групповая скорость u связана с циклической частотой ω и волновым числом k соотношением: , где ω=2πv, . Тогда

. Отсюда можно записать:

.

(10.2.3)

Таким образом, при нормальной дисперсии u

При аномальной дисперсии u > υ, и, в частности, если , то u > c. Этот результат не противоречит специальной теории относительности. Понятие групповой скорости правильно описывает распространение только такого сигнала (волнового пакета), форма которого не изменяется при перемещении сигнала в среде. (Строго говоря, это условие выполняется только для вакуума, т.е. в недиспергирующей среде). В области частот, соответствующих аномальной дисперсии, групповая скорость не совпадает со скоростью сигнала, так как вследствие значительной дисперсии форма сигнала так быстро изменяется, что не имеет смысла говорить о групповой скорости.

34. Теория дисперсии

Дисперсиейсвета называется зависимость фазовой скорости света в среде от его частоты v.

Так как v=с/n, то дисперсией света можно назвать также зависимость показателя преломления n среды от частоты v световой волны.

Согласно электронной теории дисперсии луч белого света «раскачивает» электроны в атомах, причем сильнее всего «раскачивает» в том случае, когда частота световой волны близка к собственной частоте колебаний электрона в среде v₀, т.е.в случае резонанса.

Согласно электронной теории дисперсии справедлива следующая приближенная формула для показателя преломления

,(3)

На рис. 2 приведен график зависимости n от v при b =0 (штриховая линия) и с учетом b (сплошная линия). Области А и С для которых с увеличением частоты v показатель преломления возрастает, называются областями нормальной дисперсии, т.е. для них

или (4)0

Область В, для которой с увеличением частоты v показатель преломления уменьшается называется областью аномальной дисперсии, т.е. для нее

или (5)

В области аномальной дисперсии поглощение света очень велико.

Групповая скорость

В результате суперпозиции нескольких синусоидальных волн образуется несинусоидальная волна с каким-то набором частот и волновых чисел. За скорость распространения такой волны в пространстве берётся скорость распространения фиксированной амплитуды. Но если в случае простой синусоидальной волны эта скорость совпадает со скоростью распространения фиксированной фазы (мы назвали эту скорость фазовой), то в случае сложной несинусоидальной волны сама амплитуда зависит от времени и координат (см. предыдущий пример). Амплитуда сложной волны есть:

Фиксированная амплитуда А будет удовлетворять условию:

Взяв полный дифференциал от этого выражения, получим (независимые координаты у нас x и t):

Скорость распространения фиксированной амплитуды в несинусоидальной волне получается следующей:

Эта скорость называется ГРУППОВОЙ СКОРОСТЬЮ волны. Она в общем случае отличается от фазовой скорости n:

Связь между этими скоростями можно легко получить (учтя зависимость частоты и волнового числа от длины волны):

Среда называется ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ, если в ней волны разной длины распространяются с разной скоростью. Зависимость скорости волны (фазовой) от длины волны (или, что то же самое, от частоты) называется ДИСПЕРСИЕЙ.

Видно, что групповая скорость будет совпадать с фазовой только в недиспергирующих средах, где составляющие сложной волны будут перемещаться с одинаковой скоростью, и сама сложная волна не будет менять своей формы (не будет «расплываться»).

Для МОНОХРОМАТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ (так называется простая синусоидальная волна, имеющая одну частоту) фазовая и групповая скорости всегда совпадают, даже в диспергирующих средах.

Фазовая скорость есть чисто абстрактное математическое понятие, эта скорость не связана с перемещением в пространстве чего-либо материального.

Групповая скорость связана с перемещением в пространстве возмущения фиксированной амплитуды; поскольку энергия волны связана с её амплитудой, групповая скорость есть скорость распространения энергии в пространстве.

В общем случае фазовая скорость может превышать скорость света (в случае, например, электромагнитной волны, или волн Де Бройля). Групповая же скорость, в полном согласии с теорией относительности, всегда меньше либо равна скорости света.

Дата добавления: 2018-02-15 ; просмотров: 4164 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Что такое нормальная и аномальная дисперсия

Абсолютный показатель преломления вещества равен отношению фазовой скорости света в вакууме к фазовой скорости света в веществе:

Относительным показателем преломления двух сред (второй среды по отношению к первой) называется величина n21, равная отношению абсолютных показателей преломления этих сред:

Было установлено, что показатель преломления не является постоянной величиной, одинаковой для всех длин волн λ, что связано с явлением дисперсии. Дисперсия света как физическое явление – это зависимость фазовой скорости света в среде от частоты ν световой волны или от длины волны λ (или зависимость показателя преломления вещества n от этих же величин).

Зависимость n = n(λ) или n = n(ν) оказывается различной для разных веществ, что учитывают введением термина дисперсия вещества (D), которая характеризует скорость изменения n в зависимости от λ (длина волны света в вакууме):

Дисперсией света объясняется ряд явлений, в числе которых радуга, разноцветный блеск драгоценных камней, разложение белого света на цвета при прохождении через стеклянную призму и т.д.

Явление дисперсии удалось объяснить в рамках электромагнитной теории света и электронной теории вещества.

Элементарная теория дисперсии света.

Максвелл показал, что свет представляет собой электромагнитную волну. Фазовые скорости распространения такой волны в веществе V и в вакууме C различны. Соотношение между ними в соответствии с теорией Максвелла определяется значениями диэлектрической \(\epsilon\) и магнитной \(\mu\) проницаемостей вещества:

Для немагнитных сред можно принять μ = 1. Тогда имеем:

Таким образом, фазовая скорость света в веществе в \(\sqrt<\epsilon>\) раз меньше, чем в вакууме. Учитывая (1), получим:

Из курса «Электричество» известно, что

Для диэлектриков в первом приближении явление поляризации в электрическом поле высокой частоты можно рассматривать как смещение электронов под действием этого поля на некоторое расстояние x относительно положения равновесия в направлении против поля. Ядра атомов при этом можно считать неподвижными, поскольку их масса значительно больше массы электрона. Количественной характеристикой эффекта является поляризованность Р, которая пропорциональна напряжённости электрического поля E:

где ε0 – электрическая постоянная. Равенство (3), с учетом (4), принимает вид:

Выразив из (5) величину æ и подставив ее в последнее равенство, имеем:

Из последнего выражения следует, что экспериментально наблюдаемые различия в значениях показателей преломления для разных веществ и длин волн могут обуславливаться особенностями в поляризации атомов при взаимодействии с электромагнитной волной.

Движение электронов в атоме описывается законами квантовой механики. Однако еще до ее создания Г.Лоренц показал, что для качественного объяснения дисперсии и многих других оптических явлений достаточно ограничится гипотезой о существовании внутри атомов электронов, связанных с атомами квазиупругими силами. Эти силы можно представить в виде:

При прохождении электромагнитной волны через вещество каждый электрон оказывается под действием переменного электрического и магнитного полей. Расчёт показывает, что электрическая сила, действующая на электрон, значительно больше магнитной, так что магнитное поле электромагнитной волны практически не влияет на движение электрона. Напряжённость E электрического поля в электромагнитной волне изменяется по закону:

Поэтому при прохождении через вещество электромагнитной волны на каждый электрон действует также сила

Под действием данной силы электрон совершает вынужденные колебания. В первом приближении можно считать, что вынужденные колебания совершают только внешние, наиболее слабо связанные с ядром электроны – оптические электроны. Для простоты рассмотрим колебания только одного оптического электрона. Пренебрежем для упрощения затуханием колебаний электрона. Затухание происходит по двум причинам. Во-первых, при ускоренном движении электрона излучаются электромагнитные волны. Во-вторых, имеет место диссипация энергии электромагнитного поля, т.е. превращение ее в другие формы (в теплоту) в результате взаимодействия с другими атомами и соударений. Пренебрегая затуханием, на основании второго закона Ньютона имеем:

Разделив на m и учитывая, что K/m = ω02, получим:

Уравнение (8) описывает вынужденные колебания электрона под действием переменного электрического поля световой волны. Решение этого уравнения имеет вид:

Из последнего равенства видно, что вынужденные колебания электронов происходят с частотой ω, равной частоте колебаний напряженности электрического поля световой волны. Величина

имеет размерность длины и представляет собой амплитуду вынужденных колебаний, которая зависит от ω. Как будет видно из последующего рассмотрения, именно зависимость амплитуды вынужденных колебаний от ω и является причиной дисперсии.

Для одного aтома величина электрического дипольного момента, индуцируемого в результате вынужденных колебаний, составляет:

а дипольный момент, индуцируемый в единице объёма вещества, содержащей N атомов, будет равен

Выражение (9) представляет собой поляризованность вещества. Подставляя выражения (9) и (7) в (6), получаем:

Из (10) видно, что показатель преломления n зависит от ω. Согласно (10), при частотах электромагнитной волны ω ›› ω0 (далёких от резонансной) n2≈1. Зависимость n2 от ω, соответствующая уравнению (10), показана на рис.5 пунктирными кривыми.

Учитывая, что ω=2πC / λ и

находим, что на участках АВ и CD (рис.6), где dn/dλ 0, относится к области аномальной дисперсии.

Как отмечалось, при совпадении ω с ω0 (т.е. при резонансе) резко возрастает амплитуда колебаний электрона. Интенсивно колеблющийся электрон вызывает усиление колебаний атома или увеличение скорости поступательного движения, что приводит к нагреванию вещества. Это является дополнительной причиной затухания колебаний электрона. Таким образом, в области резонанса имеет место явление сильного поглощения, т.е. переход энергии световой волны во внутреннюю энергию вещества. Такое поглощение называется резонансным.

Электроны, входящие в состав атома или молекулы, имеют не одну, а несколько собственных (резонансных) частот колебаний (ω01,ω02,…). Учитывая это, зависимость n2 от ω изменяется. На рис.7 представлена данная зависимость для случая трех резонансных частот. Из рис.6 и 7, следует, что вдали от резонансных частот наблюдается нормальный закон дисперсии, а вблизи этих частот имеет место аномальная дисперсия. Формула (10) с учетом наличия нескольких резонансных частот преобразуется к виду:

Зависимость n2 от ω для случая трёх резонансных частот

Сказанное выше относится к электронам внешних оболочек атомов (оптическим электронам). Именно они взаимодействуют с излучением оптического диапазона. Электроны внутренних оболочек имеют очень высокие собственные частоты, и поле световой волны на них практически не влияет. Данные электроны эффективно взаимодействуют с ультрафиолетовым или рентгеновским излучением.

Определение показателя преломления веществ по углу наименьшего отклонения

Рассмотрим метод определения показателя преломления, применимый для прозрачных веществ. Метод состоит в измерении угла отклонения лучей при прохождении света через призму, изготовленную из исследуемого материала. На призму направляется параллельный пучок лучей, поэтому достаточно рассмотреть ход одного из них (S1) в плоскости, перпендикулярной линии пересечения преломляющих граней призмы (рис.8).

Ход луча через призму рассчитывается на основании законов преломления света. При преломлении на первой грани призмы АС получим

где n – показатель преломления материала призмы для данной длины волны света.

Для грани АВ закон преломления запишется как

Соотношения 12 и 13 позволяют найти выражения для определения n. Однако экспериментально определить углы r1 и i1 достаточно сложно. На практике удобнее измерить угол отклонения луча призмой δ и преломляющий угол призмы φ.

Получим формулу для определения показателя преломления n через углы δ и φ.

Сначала воспользуемся известной в геометрии теоремой, что внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним. Тогда из треугольника EDF получим

Из треугольника EHF и, используя (14), получим:

Зависимость δ от r1 имеет минимум, условие которого можно найти, приравняв производную δ от r1 нулю:

поэтому r1 = i2. Тогда из законов преломления (12) и (13) следует, что углы i1, r2 также должны быть равны: i1=r2. Принимая во внимание (14) и (15), получим:

C учетом этих равенств окончательно получим:

Следовательно, при наименьшем угле отклонения луча призмой δmin показатель преломления вещества призмы может быть определен по формуле

Таким образом, определение показателя преломления вещества сводится к измерению преломляющего угла призмы и угла наименьшего отклонения лучей.

Экспериментальное определение угла наименьшего отклонения лучей призмой

Сняв призму со столика, наводим зрительную трубу на коллиматор и совмещаем изображение его щели с перекрестием зрительной трубы. Снимаем по лимбу отсчёт S1, соответствующий направлению неотклонённого луча (положение зрительной трубы при этом показано на рис.9 штриховой линией).

Затем призма из исследуемого материала устанавливается на предметном столике гониометра и на одну из её граней направляется параллельный пучок света коллиматора. Источником света служит ртутная лампа, излучение которой состоит из ряда узких спектральных линий. Свет от ртутной лампы поступает на щель коллиматора по гибкому световоду. Благодаря зависимости показателя преломления от длины волны, излучение ртутной лампы, пройдя через призму, разлагается на монохроматические составляющие, идущие под различными углами к первоначальному направлению.

Наблюдая в зрительную трубу и медленно поворачивая её, находим спектральные линии в поле зрения окуляра. Затем поворачиваем предметный столик с призмой так, чтобы спектральные линии приближались к направлению неотклонённого луча и добиваемся такого положения призмы, п+dwри котором угол отклонения лучей от первоначального (S1) направления будет минимальным.

Отсчёты по лимбу, соответствующие каждой спектральной линии обозначим S2.

Величина угла наименьшего отклонения каждой линии спектра находится как разность между двумя отсчётами:

Эксперимент

Оборудование

гониометра, преломляющая призма

Измерение преломляющего угла призмы

Преломляющий угол призмы измеряется на гониометре автоколлимационным методом. Для этого, как показано на рис.10, зрительная труба поочередно устанавливается перпендикулярно граням преломляющего угла призмы. Но на практике более удобно зафиксировать в некотором положении зрительную трубу, а поворачивать предметный столик с призмой так, чтобы нужная грань призмы оказалась перпендикулярной к оси зрительной трубы. Перпендикулярность контролируется по совмещению перекрестия окуляра с изображением автоколлимационного креста, идущего из автоколлиматора и отражающегося от грани призмы. По формуле (18) находим преломляющий угол призмы:

где А1, A2 – отсчёты по лимбу для двух положений зрительной трубы.

Устройство гониометра

Гониометр состоит из массивного основания 24 (см. рис.11) с вертикальной колонкой 28, коллиматором 3 и осевым устройством с алидадой 19, на которой расположена зрительная труба 14. Последнюю вместе с алидадой можно вращать вокруг вертикальной оси прибора вручную или микрометрическим винтом 15 (после закрепления алидады зажимным винтом 23).

Зрительная труба и коллиматор имеют внутреннюю фокусировку, осуществляемую с помощью маховичков 4,13 и одинаковые объективы 16,17. Для регистрации положения установок объективов на бесконечность и величины расфокусировок, трубы снабжены фокусировочными отсчётными шкалами 5,12. Наклон коллиматора и зрительной трубы к горизонтальной оси изменяется юстировочными винтами 6 и 11 соответственно.

На верхней части вертикальной оси гониометра установлен предметный столик 8 (верхняя часть), свободно вращающийся вручную, а после скрепления с нижней частью зажимным винтом 31, он может вращаться вместе с лимбом относительно алидады.

Винтом 29 столик прижимается к центральной неподвижной оси прибора и тогда поворот его в небольших пределах осуществляется микрометренным винтом 30.

С помощью двух винтов 9 столик приводится в горизонтальное положение.

Стеклянный лимб посажен на вертикальную ось прибора и фрикционно соединен с нижней частью столика. Лимб имеет шкалу с ценой деления 20′, оцифрованный через каждый градус от 0°до 359°.

Лимб можно повернуть относительно алидады и столика нажимным маховичком 21.

Шкалу лимба можно наблюдать через окуляр отсчетного устройства 17 при включенном освещении прибора (выключатель 25). Резкость изображения шкалы регулируется вращением оправы окуляра 17.

Оптическая схема отсчетного устройства собрана так, что через окуляр можно наблюдать изображение штрихов двух диаметрально противоположных участков лимба, причём одно изображение прямое, а другое обратное (рис.12). Кроме того, оптическая схема позволяет перемещать эти изображения друг относительно друга, оставляя в покое, как лимб, так и алидаду со зрительной трубой. Это перемещение измеряется при помощи оптического микрометра, цена деления шкалы которого равна 1».

При нажатии рычажка 27 происходит соединение алидады со столиком (и лимбом). В этом случае при вращении алидады шкала лимба в окуляре остается неподвижной. Отключается механизм сцепки нажатием кнопки 26. (В данной работе этот режим не используется).

Снятие отсчета на гониометре.

Отсчет направлений, определяемых гониометром, производится с помощью отсчетного устройства 17, расположенного ниже зрительной трубы. Оптическая схема отсчетного устройства собрана так, что через его окуляр можно наблюдать шкалу лимба, связанного с поворотом зрительной трубы (или нижней частью предметного столика). Шкала подсвечивается лампочкой, включаемой тумблером 25, расположенном в нижней части основания прибора. Резкость изображения шкалы регулируется вращением оправы окуляра отсчетного устройства 17.

Поле зрения отсчетного устройства приведено на Рис.13 и представляет собой два окна.

В левом (большом) окне наблюдаются изображения диаметрально противоположных участков лимба с делениями в виде двойных штрихов (биштрихов) и отсчетный вертикальный индекс. Это окно служит для отсчета градусов и десятков минут.

В правом (маленьком) окне видны деления шкалы оптического микрометра и горизонтальный индекс (линия). Оно служит для отсчета единиц минут (левая часть шкалы) и секунд (правая часть шкалы).

Перед снятием отсчета необходимо совместить верхнюю и нижнюю шкалы по бишрихам с помощью маховика 20 (рис.11-12).

Число градусов (по верхней шкале) будет равно ближайшему числу слева от вертикального индекса (в данном случае 37о).

Число десятков минут равно числу интервалов, заключённых между биштрихом, соответствующим найденному числу градусов, и биштрихом перевернутого числа на нижней шкале, которое оканчивается на такую же цифру, как и найденное число градусов. На рисунке это 37° и перевернутое 217° (эти числа всегда отличаются на 180°). (4 интервала, т.е. 4 десятка).

Число единиц минут отсчитывается по шкале правого окошка по левому вертикальному ряду цифр. Если цифры разные, выбирается та, которая находится выше неподвижной горизонтальной линии (3′).

Число секунд отсчитывается в том же окне по правому ряду чисел относительно горизонтальной линии (52″).

Положение, показанное на рис. 13, соответствует отсчёту 37°43’52».

Порядок выполнения

Подготовка гониометра к работе

Порядок выполнения измерений и вычислений

Измерение угла неотклоненного луча

Измерение углов наименьшего отклонения лучей

Таблица 1

Определение преломляющего угла призмы

Оформление результатов работы

Для расчетов используйте компьютер.

Таблица соответствия символов

Основные дисперсионные характеристики оптических стекол

В качестве номинальных установлены:

Показатель преломления ne на длине волны λe = 546.07 нм зелёной линии спектра ртути.

Оптические характеристики некоторых марок стекла приведены в таблице Приложения 1.

Источник