Что такое нормальное ускорение точки

НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ

Полезное

Смотреть что такое «НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ» в других словарях:

НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ — составляющая ускорения точки при криволинейном движении, направленная по нормали к ее траектории в сторону центра кривизны. Нормальным ускорением называется также центростремительным. Нормальное ускорение численно равно v2/p, где v скорость точки … Большой Энциклопедический словарь

нормальное ускорение — центростремительное ускорение — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом Синонимы центростремительное ускорение EN normal acceleration … Справочник технического переводчика

нормальное ускорение — составляющая ускорения точки при криволинейном движении, направленная по нормали к её траектории в сторону центра кривизны. Нормальное ускорение называется также центростремительным. Нормальное ускорение численно равно υ2/ρ, где υ скорость точки … Энциклопедический словарь

нормальное ускорение — statmenasis pagreitis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Pagreičio sandas, nukreiptas taško judėjimo trajektorijos svarbiausio statmens kryptimi. atitikmenys: angl. normal acceleration vok. Normalbeschleunigung, f rus.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

нормальное ускорение — normalinis pagreitis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. normal acceleration vok. Normalbeschleunigung, f rus. нормальное ускорение, n pranc. accélération normale, f … Fizikos terminų žodynas

Нормальное ускорение — составляющая ускорения (См. Ускорение) точки при криволинейном движении, направленная по главной нормали к траектории в сторону центра кривизны; Н. у. называется также центростремительным ускорением. Численно Н. у. равно v2/ρ, где v… … Большая советская энциклопедия

НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ — центростремительное ускорение, составляющая ускорения точки при криволинейном движении, направленная по главной нормали к траектории точки в сторону центра кривизны. Н. у. ап = v2lr. где v скорость точки, r радиус кривизны траектории. При… … Большой энциклопедический политехнический словарь

НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ — составляющая ускорения точки при криволинейном движении, направленная по нормали к её траектории в сторону центра кривизны. Н. у. наз. также центростремительным. Н. у. численно равно v2/p, где v скорость точки, р радиус кривизны траектории … Естествознание. Энциклопедический словарь

нормальное ускорение точки — Составляющая ускорения точки вдоль главной нормали к траектории при разложении ускорения по естественным осям. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 102. Теоретическая механика. Академия наук СССР. Комитет научно технической терминологии. 1984… … Справочник технического переводчика

нормальное ускорение точки — Составляющая ускорения точки вдоль главной нормали к траектории при разложении ускорения по естественным осям … Политехнический терминологический толковый словарь

Источник

Общее определение

Вам будет интересно: Чваниться — это некультурная привычка: толкование слова

То есть для вычисления величины a¯ необходимо найти производную вектора скорости по времени в данный момент. Формула показывает, что a¯ измеряется в метрах в секунду в квадрате (м/с2).

Направление полного ускорения a¯ никак не связано с вектором v¯. Однако оно совпадает с вектором dv¯.

Причиной появления у движущихся тел ускорения является действующая на них внешняя сила любой природы. Ускорение никогда не возникает, если внешняя сила равна нулю. Направление действия силы совпадает с направлением ускорения a¯.

Криволинейная траектория

В общем случае рассмотренная величина a¯ имеет две составляющие: нормальную и касательную. Но прежде всего напомним, что такое траектория. В физике под траекторией понимают линию, вдоль которой тело проходит некоторый путь в процессе движения. Поскольку траектория может представлять собой либо прямую линию, либо кривую, то движение тел делится на два типа:

В первом случае вектор скорости тела может измениться только на противоположный. Во втором же случае вектор скорости и ее абсолютное значение изменяются постоянно.

Как известно, скорость направлена по касательной к траектории. Этот факт позволяет ввести следующую формулу:

a¯ = dv¯/dt = d(v * u¯)/dt = dv/dt * u¯ + v * du¯/dt.

Нормальное ускорение точки

Обозначим эту компоненту ускорения символом an¯. Запишем для нее выражение еще раз:

Уравнение нормального ускорения an¯ можно записать в явном виде, если провести следующие математические преобразования:

an¯ = v * du¯/dt = v * du¯/d l* dl/dt = v2/r * re¯.

Центростремительная и центробежная силы

Во всех названных примерах сила центростремительная приводит к изменению прямолинейной траектории. В свою очередь, ей препятствуют инерционные свойства тела. С ними связывают центробежную силу. Эта сила, действуя на тело, пытается «выбросить» его из криволинейной траектории. Например, когда авто делает поворот, то пассажиров прижимает к одной из дверей транспортного средства. Это и есть действие центробежной силы. Она, в отличие от центростремительной, является фиктивной.

Пример задачи

Как известно, наша Земля вращается по круговой орбите вокруг Солнца. Необходимо определить нормальное ускорение голубой планеты.

Для решения задачи воспользуемся формулой:

Из справочных данных находим, что линейная скорость v нашей планеты составляет 29,78 км/с. Расстояние r до нашей звезды равно 149 597 871 км. Переводя эти числа в метры в секунду и метры, соответственно, подставляя их в формулу, получаем ответ: an = 0,006 м/с2, что составляет 0,06 % от величины ускорения свободного падения на планете.

Источник

Нормальное и тангенциальное ускорение

Тангенциальным (касательным) ускорением называют ту составляющую вектора ускорения, которая направлена по касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение описывает степень изменения скорости по модулю при совершении криволинейного движения.

Если тело движется по криволинейной траектории, то его скорость направлена по касательной к этой траектории.

Так как направление скорости все время меняется, значит, в таком случае криволинейное движение всегда происходит с ускорением, также, если модуль скорости не меняется.

В большинстве случаев ускорение направлено под некоторым углом к скорости. Составляющую ускорения, которая направлена вдоль скорости, называют тангенциальным ускорением . Тангенциальное ускорение описывает степень изменения скорости по модулю:

Нормальное ускорение – это составляющая ускорения, которая направлена к центру кривизны траектории, то есть она является нормалью (направлена перпендикулярно) к скорости. Нормальное ускорение описывает степень изменения скорости по направлению:

Здесь R – это радиус кривизны траектории в заданной точке.

Тангенциальное и нормальное ускорение всегда имеют перпендикулярное направление, откуда получаем модуль полного ускорения:

.

Источник

Тангенциальное и нормальное ускорение. Касательное и нормальное ускорение

Изучение физики начинают с рассмотрения механического движения. В общем случае тела движутся по кривым траекториям с переменными скоростями. Для их описания используют понятие ускорения. В данной статье рассмотрим, что такое тангенциальное и нормальное ускорение.

Кинематические величины. Скорость и ускорение в физике

Вам будет интересно: Оборона Кавказа: история, ход боевых действий, награждение героев сражений, фото орденов и медалей

В случае движения по окружности используют аналогичные кинематические характеристики, которые приведены к центральному углу окружности.

Вам будет интересно: История основания Ростова-на-Дону: интересные факты, фото

Чем сильнее изменится скорость за интервал времени dt, тем больше будет ускорение.

Для понимания изложенной дальше информации необходимо помнить, что ускорение появляется в результате любого изменения скорости, включая изменения как ее модуля, так и ее направления.

Касательное и нормальное ускорение

Чтобы вычислить вектор полного ускорения в момент времени t, необходимо найти производную скорости по времени. Имеем:

a¯ = dv¯ / dt = d (v × ut¯) / dt

Поскольку модуль скорости и единичный вектор изменяются со временем, то, пользуясь правилом нахождения производной от произведения функций, получаем:

a¯ = dv / dt × ut¯ + d (ut¯) / dt × v

Касательное ускорение

Еще раз запишем формулу для вычисления касательного ускорения:

Это равенство означает, что тангенциальное (касательное) ускорение направлено так же, как вектор скорости в любой точке траектории. Оно численно определяет изменение модуля скорости. Например, в случае прямолинейного движения полное ускорение состоит только из касательной составляющей. Нормальное ускорение при таком типе перемещения равно нулю.

Причиной появления величины at¯ является воздействие внешней силы на движущееся тело.

В случае вращения с постоянным угловым ускорением α тангенциальная составляющая ускорения может быть вычислена по следующей формуле:

Нормальное или центростремительное ускорение

Теперь выпишем еще раз вторую компоненту полного ускорения:

Из геометрических соображений можно показать, что производная единичного касательного к траектории вектора по времени равна отношению модуля скорости v к радиусу r в момент времени t. Тогда выражение выше запишется так:

Эта формула нормального ускорения свидетельствует, что оно, в отличие от касательной компоненты, не зависит от изменения скорости, а определяется квадратом модуля самой скорости. Также ac возрастает с уменьшением радиуса вращения при постоянной величине v.

Нормальное ускорение называют центростремительным потому, что оно направлено от центра масс вращающегося тела к оси вращения.

Причиной появления этого ускорения является центральная компонента воздействующей на тело силы. Например, в случае вращения планет вокруг нашего Солнца центростремительной силой является гравитационное притяжение.

Нормальное ускорение тела изменяет только направление скорости. Оно не способно изменить ее модуль. Этот факт является важным его отличием от касательной компоненты полного ускорения.

Поскольку центростремительное ускорение возникает всегда, когда вектор скорости поворачивается, то оно существует также в случае равномерного вращения по окружности, при котором тангенциальное ускорение равно нулю.

Модуль и направление полного ускорения

Итак, мы выяснили, что тангенциальная компонента рассматриваемой физической величины направлена по касательной к траектории движения. В свою очередь, нормальная компонента перпендикулярна траектории в данной точке. Это означает, что две компоненты ускорения перпендикулярны друг другу. Их векторное сложение дает вектор полного ускорения. Вычислить его модуль можно по следующей формуле:

Направление вектора a¯ можно определить как относительно вектора at¯, так и относительно ac¯. Для этого следует использовать соответствующую тригонометрическую функцию. Например, угол между полным и нормальным ускорениями равен:

Решение задачи на определение центростремительного ускорения

Колесо, которое имеет радиус 20 см, раскручивается с угловым ускорением 5 рад/с2 в течение 10 секунд. Необходимо определить нормальное ускорение точек, находящихся на периферии колеса, через указанное время.

Для решения задачи воспользуемся формулой связи между тангенциальным и угловым ускорениями. Получаем:

Поскольку равноускоренное движение длилось в течение времени t = 10 секунд, то приобретенная за это время линейная скорость была равна:

Полученную формулу подставляем в соответствующее выражение для нормального ускорения:

ac = v2 / r = α2 × t2 × r

Остается подставить известные значения в это равенство и записать ответ: ac = 500 м/с2.

Источник

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Касательное и нормальное ускорения точки

Касательное ускорение характеризует изменение в данное мгновение вектора скорости по величине, а нормальное — по направлению

Проекция ускорения на касательную и на нормаль

Если движение точки задано в векторной или в координатной форме, то часто встречается необходимость определить проекции ускорения на касательную и главную нормаль к траектории точки в том ‘ месте, где в данное мгновение находится точка (рис. 91, а).

При естественной форме определения движения точки сначала определяют проекции ускорения на касательную и на нормаль, а затем уже по этим проекциям находят величину и направление полного ускорения точки.

Проекцию ускорения точки на касательную к ее траектории называют касательным ускорением, или тангенциальным ускорением (от латинского слова tangens—касающийся), и обозначают a_N.

Проекцию ускорения на нормаль называют нормальным ускорением и обозначают a_r.
Часто касательное и нормальное ускорения рассматривают не как проекции, а как составляющие полного ускорения, т. е. как векторные величины. В таком случае над а_r и a_N ставят стрелку, указывающую на их векторный характер.

Разложение ускорения по касательной и нормали имеет физический смысл: касательная составляющая ускорения направлена по касательной (как и скорость), а потому не может повлиять на направление скорости, но влияет на ее величину; составляющая ускорения по нормали направлена перпендикулярно к скорости, а потому не может повлиять на величину скорости, но влияет на ее направление.

Касательное ускорение равно первой производной от величины скорости по времени:

Касательное ускорение

Пусть точка M движется по траектории, расположенной в плоскости хОу.
Проведем касательную и нормаль к кривой в точке M (рис. 91, б), нанесем на чертеж вектор ускорения точки M и его составляющие и по координатным осям. Чтобы определить касательное ускорение, надо спроецировать на касательную вектор полного ускорения или найти алгебраическую сумму проекций на касательную составляющих и полного ускорения по осям координат. Воспользовавшись вторым из этих способов, спроецируем и на касательную:

Составляющие ускорения и направлены по координатным осям, а направление касательной совпадает с направлением скорости, поэтому косинусы углов а и β равны направляющим косинусам скорости:

(62′)

(62»)

Подставляя значения направляющих косинусов, получаем

По формуле (68) удобно вычислять касательное ускорение точки, если ее движение задано в координатной форме уравнениями (58′) и (58″).

Можно дать еще другой изящный вывод формулы (68) тангенциального ускорения, для чего спроецировать на касательную вектор полного ускорения, не раскладывая его предварительно по осям декартовых координат. В самом деле, тангенциальное ускорение равно проекции полного ускорения на касательную (рис. 91, а):

a_r = a cos δ,
но угол δ, как внутренний угол треугольника, равен внешнему α_а без другого внутреннего α_υ, поэтому:

Подставляя сюда вместо направляющих косинусов их выражения (67) n (62′), получим

Напомним, что в числителе этой формулы проекции имеют свой знак, а знаменатель определяется по (64), т. е. существенно положителен.

Задача №1

Движение точки задано в декартовых координатах уравнениями:

x=21,2 sin 2 t, y=21,2 cos 2 t

Определить касательное ускорение точки (см. задачу № 36, стр. 132).

Дифференцируя уравнения движения вторично, найдем

Касательное ускорение определим по формуле (68):

Ответ. Касательное ускорение равно 60 cos 2t.

Задача №2

Точка M движется в системе координат хОу согласно уравнениям x=r cos πt, y=r sin πt. Найти касательное ускорение точки М.

Решение. Проекции скорости и ускорения на оси координат, а также и полная скорость точки M были уже нами получены при решении задачи № 44 (см. стр. 142). Для определения касательного ускорения точки M нам остается только подставить эти величины в формулу (68):

Ответ. Касательное ускорение равняется нулю.

Для случая задания движения в естественной форме преобразуем формулу (68) следующим образом:

и, сокращая на υ, найдем касательное ускорение

(69)

Принимая во внимание (53), можно придать этой формуле несколько иной вид:

(69′)

Итак, касательное ускорение—это проекция ускорения точки на касательную к траектории, равная первой производной от величины скорости по времени. Чтобы получить касательное ускорение в векторном выражении, нужно его умножить на единичный вектор касательной:

(69»)

Как уже было сказано, касательное ускорение не может изменить направления скорости, оно характеризует быстроту изменения величины скорости, т. е. соответствует изменению вектора скорости вдоль его направления.

Если с течением времени величина скорости увеличивается, то касательное ускорение направлено в ту же сторону, что и скорость. Такое движение называют ускоренным.

Если же величина скорости уменьшается, то касательное ускорение направлено в сторону, противоположную скорости. Такое движение называют замедленным.

Каждое из этих движений называют переменным движением.

Если величина скорости точки постоянна, то производная , а потому равно нулю и касательное ускорение. Движение точки с постоянной по величине скоростью по любой траектории называют равномерным. Следовательно, при равномерном движении точки касательное ускорение равно нулю.

Обратное заключение можно сделать лишь с некоторой оговоркой: если касательное ускорение постоянно равняется нулю, то, следовательно, величина скорости постоянна и движение равномерно; если же касательное ускорение точки равняется нулю не в течение всего рассматриваемого промежутка времени, а только в какое-то мгновение, то движение точки не является равномерным, и равенство означает, что в это мгновение величина скорости достигла экстремального (максимального или минимального) значения.

При равномерном движении точки по любой траектории

(70)

Формулы (70) справедливы только для равномерного движения точки и неприменимы при других движениях.

Равнопеременное движение точки

Из переменных движений точки в задачах наиболее часто встречается равнопеременное движение — такое движение, при котором касательное ускорение остается постоянным.

При равнопеременном движении точки по любой траектории
(71)

Формулы (71) справедливы только для равнопеременного движения и неприменимы при других движениях. Они даны здесь без вывода и известны из элементарной физики. Вывод этих формул приведен в решении задачи № 48.

Задача №3

Решение. Определим сначала уравнение движения точек. Нам дано, что

Разделяя переменные и интегрируя, получим

Постоянную C₁ определим из начальных данных:

Написав υ по (53), разделяя переменные и интегрируя, найдем

Подставляя вместо υ₀ и а_T заданные величины, найдем расстояние (в м), пройденное точкой А за время t:

В то же мгновение t расстояние, пройденное точкой В, будет меньше, так как точка В будет находиться в пути лишь t—1 сек. Для точки В

Расстояние между A и B найдем как разность пройденных ими путей:

Это расстояние растет пропорционально времени, хотя точка В во времени не отстает от точки А и каждую точку траектории проходит через 1 сек после того, как через нее прошла точка А.

Графики движения точек А и В изображаются одинаковыми параболами (рис. 92), но парабола, представляющая движение точки В, смещена по оси времени относительно параболы, представляющей движение точки А, на 1 сек вправо. Чтобы определить расстояние (в м) между А и В в какое-либо мгновение, надо восставить перпендикуляр к оси времени в точке, соответствующей этому мгновению, и измерить расстояние по вертикали между параболами. Чтобы определить интервал времени (в сек) между прохождениями точками А и В какой-либо точки К траектории, надо восставить перпендикуляр к оси расстояний в точке, соответствующей расстоянию точки К от начала отсчета, и измерить расстояние по горизонтали между параболами. Графики наглядно показывают, что точка В отстает от точки А по расстоянию, так как А В непрерывно увеличивается, но не отстает по времени, и точка В проходит каждый отрезок траектории за такое же время, как и точка А.

Рис. 92

Нормальное ускорение равно отношению квадрата скорости точки к радиусу кривизны траектории:

Нормальное ускорение

Чтобы получить формулы нормального ускорения, мы опять воспользуемся тем, что проекция вектора на ось равна сумме проекций его составляющих на ту же ось, и определим a_N как алгебраическую сумму проекций составляющих ax и ay на нормаль к траектории точки. Выберем за положительное направление нормали то, которое получается от поворота положительного направления касательной на прямой угол против хода часов (см. рис. 91) в сторону вогнутости кривой.
Как видно из чертежа (см. рис. 91, б)

Подставляем значения (62) направляющих косинусов:

(72)

По этой формуле удобно вычислять нормальное ускорение точки, если ее движение задано в координатной форме уравнениями (58′) и (58″).

Эту же формулу (72) можно получить, спроецировав полное ускорение а на нормаль M_n (рис. 91, а):

Подставляя эти значения и сокращая на а, получим:

Задача №4

Движение точки задано уравнениями X= 21,2 sin 2 t, у= 212 cos 2 t. Определить нормальное ускорение точки.

Решение. Дифференцируя эти же уравнения движения при решении задачи № 36 (см. стр. 132), мы уже определили нужные нам величины: υ_x, υ_y, υ, a_x, а_у. Подставляя их в формулу (72), найдем

Ответ. Нормальное ускорение равно нулю.

Задача №5

Точка M движется согласно уравнениям x= r cos πt, y= r sin πt. Найти нормальное ускорение точки М.
Решение. Дифференцируя при решении задачи № 44 (см. стр. 142) эти уравнения движения, мы уже нашли проекции скорости и проекции ускорения. Полную скорость определим по ее проекциям согласно (64):

Подставляя все эти величины в формулу (72), найдем

Чтобы преобразовать формулу (72) для случая, когда движение точки задано в естественной форме, припомним из курса высшей математики выражение кривизны плоской кривой, представленной в параметрической форме уравнениями (58′) и (58″),

Если параметр t означает время, то эту геометрическую формулу можно переписать в обозначениях кинематики:
(73)

Сравнивая равенства (72) и (73), находим

(74)

Мы получили положительное значение проекции, следовательно, нормальное ускорение направлено от точки M в положительном направлении оси M_n (см. рис. 91), т. е. в ту сторону от касательной, по которую лежит траектория точки.

Чтобы получить нормальное ускорение в векторном выражении, надо (74) умножить на единичный вектор нормали:

(74 / )

Как уже было сказано, нормальное ускорение не влияет на величину скорости, потому что оно направлено перпендикулярно к скорости. Оно влияет на направление скорости.

Итак, нормальное ускорение—это проекция ускорения точки на нормаль к траектории, направленная в сторону вогнутости, равная квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории.
Если движение точки прямолинейное, то радиус кривизны траектории (прямой линии) равен бесконечности, а нормальное ускорение равно нулю.

Обратное заключение можно сделать лишь с некоторой оговоркой: если в каждое мгновение данного промежутка времени нормальное ускорение движущейся точки равняется нулю, то точка движется по прямой; если же нормальное ускорение точки не постоянно равно нулю, а только в какое-либо мгновение, то движение точки не а потому

является прямолинейным и равенство означает, что в это мгновение положение точки совпадает с точкой перегиба траектории или же направление скорости меняется на обратное. На чертеже (рис. 93) изображено нормальное ускорение точки в различных местах траектории при равномерном движении.

Рис. 93

Величина ускорения точки равна квадратному корню из суммы квадратов касательного и нормального ускорений:

Ускорение при естественном способе задания движения

Если движение точки задано в естественной форме, то проекции ускорения на нормаль и на касательную можно определить по формулам (69) и (74) и по проекциям определить величину полного ускорения точки (см. рис. 91):

(75)

(75 / )

Перед радикалом стоит знак « + », потому что величина ускорения существенно положительна.

Вектор полного ускорения направлен по диагонали прямоугольника, построенного на векторах касательного и нормального ускорений. Можно точно установить направление ускорения по тангенсу угла, составляемого им с нормалью к траектории:

Касательное ускорение направлено по касательной к траектории, а нормальное к центру кривизны траектории, поэтому вектор полного ускорения лежит с той стороны от касательной, с которой расположена траектория точки.

При криволинейном ускоренном движений точки полное ускорение составляет со скоростью острый угол, а при замедленном—тупой.

Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости, и проекция ускорения на бинормаль равна нулю:

Разложение ускорения при движении точки по кривой двоякой кривизны. Если кривая не лежит в одной плоскости, то ее называют пространственной кривой, или кривой двоякой кривизны. В каждой точке к кривой можно провести только одну касательную и бесчисленное множество нормалей, расположенных в плоскости, перпендикулярной к касательной и называемой нормальной плоскостью (рис. 94).

рис. 94

Пусть в мгновение t точка занимает на кривой двоякой кривизны положение М. В это мгновение скорость точки направлена по касательной к кривой в точке М. Через эту касательную и через близкую точку M₁ (не показанную на чертеже)., в которую движущаяся точка придет в мгновение t + Δt, проведем плоскость и будем стремить Δt к нулю. Тогда точка M₁ будет стремиться к точке М. При этом плоскость будет поворачиваться около касательной, проведенной в точке М и стремиться к некоторому определенному положению, в котором она называется соприкасающейся плоскостью. Следовательно, в соприкасающейся плоскости находится вектор скорости движущейся точки в то мгновение, когда эта точка совпадает с точкой М, а также когда она занимает положение, предельно близкое к точке M. А так как ускорение характеризует изменение скорости в данное мгновение, то вектор ускорения тоже находится в соприкасающейся плоскости.

Плоскость, проведенную через точку M перпендикулярно к соприкасающейся и к нормальной плоскостям, называют спрямляющей плоскостью.

Нормаль, лежащую в спрямляющей плоскости, называют бинормалью, а нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости,—главной нормалью (главную нормаль плоской кривой обычно называют просто нормалью).

Касательная Mτ главная нормаль M_n и бинормаль M_b пересекаются в точке M под прямыми углами. Эти три взаимно перпендикулярные прямые в механике часто принимают в качестве координатных осей и называют естественными осями, или осями натурального триэдра. По мере движения точки по траектории естественные оси движутся вместе с ней, поворачиваются относительно основных (неподвижных) осей xOyz.

Положительные направления на естественных осях примем такими, чтобы трехгранный угол τMnb можно было привести в совпадение с углом xОyz. Касательная Mτ играет роль оси Ох, главная нормаль Mn— оси Oy и бинормаль Mb— оси Oz.

Так как вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости τМn, а бинормаль Mb перпендикулярна к соприкасающейся плоскости, то проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю (α_b = 0), и при проецировании ускорения на три естественные оси мы имеем только две проекции: касательное ускорение и нормальное ускорение.

Таким образом, мы установили, что формулы (69), (69′) и (69″) касательного ускорения, формулы (74) и (74′) нормального ускорения, а также формулы (75) и (75′) полного ускорения, выведенные нами в предположении, что точка движется по плоской траектории, остаются справедливыми для любого движения точки.

Именно потому, что проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю, в формуле (75) величина полного ускорения определяется по двум проекциям, а не по трем, как это имеет место в формуле (66). Приравнивая выражение (66) модуля полного ускорения точки через проекции на неподвижные оси координат его же выражению (75) через проекции на естественные оси, получим для движения точки по любой траектории соотношение

(76)

(76 / )

Эти равенства часто бывают полезны при решении задач.

Задача №6

Найти касательное и нормальное ускорения точки, движение которой выражается уравнениями:

Решение. Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат:

Подставляя найденные величины в (68), найдем касательное ускорение

Подставляя те же величины в формулу (72), найдем нормальное ускорение

Нормальное ускорение всегда направлено во внутрь траектории, отрицательный знак получился потому, что в этой задаче естественные оси взяты по левой системе, (ось М,— вправо, ось M_n — вниз), а неподвижные — по правой.

Ответ. где υ — скорость точки.

Задача №7

Найти скорость, полное, касательное и нормальное ускорения точки, описывающей фигуру Лиссажу, по уравнениям движения точки, заданным в координатной форме:

х= 3 sin 2t, у = 4 sin 2t.

Решение. Найдем сначала проекции скорости:

υ_χ = 6 cos 2t, υ_y = 8 cos 2t.

Затем определим величину полной скорости точки:

Для определения касательного и нормального ускорений определим проекции ускорения на декартовы оси координат, затем найдем полное ускорение и разложим его на касательное и нормальное. Имеем

Найдем сначала касательное ускорение, для чего продифференцируем по времени полную скорость или воспользуемся формулой (68):

Мы видим, что полное ускорение по величине равно касательному ускорению, т. е. что нормальное ускорение равно нулю. Это возможно только в случае, если траектория — прямая линия. Для проверки можно определить кривизну траектории или найти уравнение траектории. По первому способу имеем

По второму способу найдем (прямая).

Ответ. υ=10 cos 2t; α = 20 sin 2t; а_т= —20sin 2t; α_N = 0.

Задача №8

Точка обода колеса, катящегося без скольжения и без буксования по прямолинейному рельсу, движется согласно уравнениям x=r (ct-sin сt), y=r(l — cos ct). Найти нормальное ускорение точки.
Решение. Для решения задачи можно наметить следующий путь: найти проекции скорости, величину полной скорости, проекции ускорения и полное ускорение; затем, продифференцировав по времени величину полной скорости, найти касательное ускорение и, вычитая его геометрически из полного, найти нормальное.

Дифференцируя уравнения движения, найдем

Далее получаем

Дифференцируя проекции скорости, найдем

a_x = rc 2 sin ct, a_y = rc 2 cos ct

Дифференцируя υ, найдем касательное ускорение:

Вектор aτ перпендикулярен вектору и в сумме с ним равняется вектору полного ускорения, поэтому

Задачи такого типа быстрее и короче решать с применением формулы (72). По этой формуле непосредственно получаем:

Ответ:

Задача №9

Тяжелое тело, размерами которого можно пренебречь, брошено с большой высоты с горизонтальной скоростью υ₀ и движется согласно уравнениям x-υ₀t, . Найти траекторию, скорость, касательное и нормальное ускорения в любом положении, выразив их через скорость тела в этом положении.

Решение. Определяя из первого уравнения t и подставляя во второе, найдем уравнение траектории:

Траектория—парабола (рис. 95). Дифференцируя уравнения движения по времени, найдем проекции скорости и по ним полную скорость:

В начальное мгновение (t = 0), скорость точки υ = υ_o, а затем с течением времени величина скорости непрерывно возрастает. Из полученного равенства определим время t, в течение которого тело приобретает скорость у:

Вторично дифференцируя уравнения движения точки, найдем проекции ускорения на оси координат и полное ускорение:

В данном случае тело движется с постоянным по модулю и направлению ускорением, параллельным оси Оу.
Обращаем внимание на то, что, хотя здесь a = const, движение точки не является равнопеременным, так как условием равнопеременного движения является не условие a = const, а условие a_т= const. В данном же случае, как мы сейчас увидим, а_т непостоянно.

Дифференцируя величину полной скорости по времени или непосредственно по (68), получим касательное ускорение

Подставляя вместо t найденное нами значение, выразим касательное ускорение a_т через скорость υ:

Отсюда следует, что в начальное мгновение, когда υ = υ₀, a_т=0. Затем с увеличением υ величина а_т растет и в пределе стремится к полному ускорению g.
Для нахождения нормального ускорения обратимся к (72). Имеем

В начальное мгновение (при t = 0 и υ=v₀) a_N=g, а затем с увеличением υ а_N убывает, стремясь в пределе к нулю.
Ответ. Парабола

Задача №10

Определить радиус кривизны траектории точки в начале движения, если уравнения ее движения имеют вид: x = 2t, y = t 2 (t— в cек; х, у— в м).
Решение. Из формулы кривизны (73) имеем

Для получения проекций скорости и ускорения в начальное мгновение продифференцируем уравнения движения и подставим t = 0:

Полную скорость в начальное мгновение определяем по ее проекциям:

Подставляя эти величины в формулу (73), получим ответ.
Ответ. р = 2 м

Задача №11

Через 20 сек после начала движения автомобиль, двигаясь иа закруглении радиуса 400 м, приобрел скорость 108 км/ч. Считая, что величина скорости автомобиля пропорциональна квадрату времени, определить полное ускорение автомобиля в конце 20-й секунды н пройденное за это время расстояние.
Решение. За единицы принимаем метр и секунду. Траектория задана—дорога с закруглением радиуса 400 м, и для решения задачи необходимо определить Уравнение движения автомобиля по траектории. (Применять формулы (71) здесь нельзя, так как при равиоперемениом движении величина скорости пропорциональна времени, а в данной задаче она пропорциональна квадрату времени.)
В условии дано

Найдем коэффициент пропорциональности

Выражая скорость по (53) и разделяя переменные, получим

откуда, интегрируя, получаем

Постоянную C определим из начальных данных: в начальное мгновение (t = 0) автомобиль не прошел еще никакого расстояния, а потому C = 0. Дважды дифференцируя по времени полученное уравнение, найдем касательное ускорение

или в конце 20-й секунды

Скорость в конце 20-й секунды была 30 м/сек, и по (74)

Полное ускорение в конце 20-й секунды было

Чтобы определить расстояние, пройденное автомобилем за 20 сек, положим в уравнении движения t = 20 сек:

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник