Что такое нулевой многочлен примеры
Многочлен. Упрощение, степень, стандартный вид, нуль-многочлены
Содержание
Мы с вами уже разобрали, чем являются одночлены, и выяснили, что при произведении одночленов также получится одночлен. Однако совсем иная ситуация обстоит с суммой одночленов. Давайте рассмотрим на примере:
Если данные выражения не являются одночленами, то какое название мы можем им дать? Все просто – такие примеры называют многочленами.
Многочлены – это выражения, которые являются суммой нескольких одночленов.
Упрощение многочленов
Многочлены могут быть как небольшими, так и состоящими из нескольких частей. Давайте рассмотрим несколько примеров таких выражений:
В выражениях может находиться несколько подобных членов, что позволяет упростить само выражение. В данном выражении мы можем увидеть подобные одночлены, которые закрашены одинаковыми цветами:
Для упрощения такого многочлена нам нужно использовать правило подобных слагаемых, т.е. произвести отдельные арифметические действия над каждой подобной частью. В конце у нас получится такое выражение:
Такое упрощение называют приведением подобных членов многочлена. Это преобразование позволяет заменить многочлен на тождественно равный ему, но более простой – с меньшим количество членов.
Стандартный вид многочленов
Многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, расположенных в порядке убывания степеней и среди которых нет подобных, называют многочленом стандартного вида.
Одночлены в многочлене стандартного вида располагают в порядке убывания их степени, а свободный одночлен записывают в самом конце. Для примера можно привести следующие выражения:
Стоит отметить, что любой многочлен можно привести к стандартному виду, если привести подобные. То есть из выражения нестандартного вида:
Мы можем получить выражение стандартного вида:
Степень многочлена
Рассмотрим многочлен стандартного вида:
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, из которых этот многочлен составлен.
Давайте рассмотрим еще несколько примеров многочленов с их степенями:
$\color
$\color
$\color
Коэффициенты многочленов
Выделенные числа и будут являться коэффициентами переменных множителей.
Нуль-многочлены
Число 0, а также многочлены, которые тождественно равны нулю, называют нуль-многочленами. Примеры таких выражений:
Их не относят к многочленам стандартного вида и считается, что нуль-многочлены не имеют степени.
Многочлен, его стандартный вид, степень и коэффициенты членов
После изучения одночленов переходим к многочленам. Данная статья расскажет о всех необходимых сведениях, необходимых для выполнения действий над ними. Мы определим многочлен с сопутствующими определениями члена многочлена, то есть свободный и подобный, рассмотрим многочлен стандартного вида, введем степень и научимся ее находить, поработаем с его коэффициентами.
Многочлен и его члены – определения и примеры
Определение многочлена было дано еще в 7 классе после изучения одночленов. Рассмотрим его полное определение.
Многочленом считается сумма одночленов, причем сам одночлен – это частный случай многочлена.
Рассмотрим еще определения.
Членами многочлена называются его составляющие одночлены.
Отсюда следует, что выражение вида x + y – является двучленом, а выражение 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b – трехчленом.
Подобные члены многочлена – это подобные слагаемые, находящиеся в многочлене.
Многочлен стандартного вида
У всех одночленов и многочленов имеются свои определенные названия.
Многочленом стандартного вида называют многочлен, у которого каждый входящий в него член имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.
Если того требуют обстоятельства, иногда многочлен приводится к стандартному виду. Многочленом стандартного вида считается и понятие свободного члена многочлена.
Свободным членом многочлена является многочлен стандартного вида, не имеющий буквенной части.
Степень многочлена – как ее найти?
Определение самой степени многочлена базируется на определении многочлена стандартного вида и на степенях одночленов, которые являются его составляющими.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в его запись.
Следует выяснить, каким образом находится сама степень.
Когда многочлен записан не в стандартном виде, но нужно найти его степень, необходимо приведение к стандартному, после чего находить искомую степень.
Для начала представим многочлен в стандартном виде. Получим выражение вида:
3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 = = ( 3 · a 12 − 2 · a 12 − a 12 ) − 2 · ( a · a ) · ( b · b ) · ( c · c ) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2
Коэффициенты членов многочлена
Когда все члены многочлена являются одночленами стандартного вида, то в таком случаем они имеют название коэффициентов членов многочлена. Иначе говоря, их можно называть коэффициентами многочлена.
СОДЕРЖАНИЕ
Имена многочленов по степени
| Посмотрите Приложение: Степени полиномов английского языка в Викисловаре, бесплатном словаре. |
Следующие имена присваиваются многочленам в соответствии с их степенью:
Для более высоких степеней иногда предлагались имена, но они редко используются:
Примеры
Поведение при полиномиальных операциях
Степень суммы, произведения или композиции двух многочленов сильно зависит от степени входных многочленов.
Добавление
Степень суммы (или разности) двух многочленов меньше или равна большей из их степеней; это,
Умножение
Степень произведения многочлена на ненулевой скаляр равна степени многочлена; это,
В более общем смысле, степень произведения двух многочленов над полем или областью целостности представляет собой сумму их степеней:
Состав
Степень нулевого многочлена
Эти примеры показывают, как это расширение удовлетворяет приведенным выше правилам поведения :
Вычисляется из значений функции
Эта формула обобщает понятие степени на некоторые функции, не являющиеся полиномами. Например:
Другая формула для вычисления степени f по его значениям:
Расширение до многочленов с двумя или более переменными
Функция степени в абстрактной алгебре
Можно показать, что степень полинома над полем удовлетворяет всем требованиям функции нормы в евклидовой области. То есть, учитывая два полинома f ( x ) и g ( x ), степень произведения f ( x ) g ( x ) должна быть больше, чем степени f и g по отдельности. На самом деле держится нечто более сильное:
Поскольку функция нормы не определена для нулевого элемента кольца, мы считаем, что степень многочлена f ( x ) = 0 также не определена, так что он следует правилам нормы в евклидовой области.
Что такое нулевой многочлен примеры
Ключевые слова конспекта: Многочлен, стандартный вид многочлена, члены многочлена, полиномы, нуль-многочлен, степень многочлена, приведение подобных слагаемых, старший коэффициент, свободный член многочлена.
Выражение 5a 2 b – 3ab – 4а 3 + 7 представляет собой сумму одночленов 5a 2 b, –5ab, –4а 3 и 7. Такие выражения называют многочленами.
✅ Определение. Многочленом называется сумма одночленов.
Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Например, членами многочлена х 3 у – 4х 2 + 9 являются одночлены х 3 у, –4х 2 и 9.
Многочлен, состоящий из двух членов, называется двучленом, а многочлен, состоящий из трёх членов, — трёхчленом. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена. Многочлены иногда называют полиномами, а двучлены — биномами (от греческих слов «поли» — «много», «номос» — «член, часть» и латинского «би» — «два, дважды»).
Зная значения переменных, входящих в многочлен, можно вычислить значение многочлена.
Пример 1. Найдём значение многочлена –0,3х 2 у – х 3 + 7у при х = –0,2, у = –1.
Имеем:
–0,3х 2 у – х 3 +7у = –0,3 • (–0,2) 2 • (–1) – (–0,2) 3 + 7 • (–1) = 0,012 + 0,008 – 7 = –6,98.
Стандартный вид многочлена
В многочлене 13х 2 у + 4 + 8ху – 6х 2 у — 9 первый и четвёртый члены имеют одинаковую буквенную часть. Члены многочлена, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными членами. Подобными членами считаются и слагаемые, не имеющие буквенной части.
Сумму подобных членов многочлена можно заменить одночленом. Такое тождественное преобразование называют приведением подобных членов или приведением подобных слагаемых. Приведение подобных членов основано на переместительном и сочетательном свойствах сложения и распределительном свойстве умножения.
Пример 2. Приведём подобные члены многочлена 13х 2 у + 4 + 8ху – 6х 2 у — 9.
Имеем:
13х 2 у + 4 + 8ху – 6х 2 у – 9 = (13х 2 у – 6х 2 у) + 8ху + (4 – 9) = (13 – 6)х 2 у + 8ху – 5 = 7х 2 у + 8ху – 5.
В многочлене 7х 2 у + 8ху – 5 каждый член является одночленом стандартного вида, причём среди них нет подобных членов. Такие многочлены называются многочленами стандартного вида.
Рассмотрим многочлен стандартного вида За 3 – 5а 3 b 2 + 7. Его членами являются одночлены третьей, пятой и нулевой степени. Наибольшую из этих степеней называют степенью многочлена. Таким образом, этот многочлен является многочленом пятой степени.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.
Пример 3. Определим степень многочлена а 6 + 2а 2 b – а 6 + 1.
Для этого приведём многочлен к стандартному виду: а 6 + 2а 2 b – а 6 + 1 = 2a 2 b + 1.
Степень полученного многочлена равна трём. Значит, и степень заданного многочлена равна трём.
Если многочлен является числом, отличным от нуля, то степень такого многочлена равна 0. Число нуль называют нуль-многочленом. Его степень считается не определённой.
Среди многочленов выделяют многочлены с одной переменной. Многочлен n-й степени с одной переменной в стандартном виде записывается так: а0х n + а1х n-1 + а2х n-2 + … + аn-2х 2 + аn-1х + аn, где х — переменная, а0, a1 а2, …, аn-1, аn — произвольные числа, n ∈ N или n = 0. Коэффициент при х n называют старшим коэффициентом (в нашем случае это а0). Слагаемое, не содержащее переменной х, называют свободным членом многочлена (в нашем случае это аn). Например, старший коэффициент многочлена х 4 + 2х 3 – х 2 + 3х равен 1, а свободный член равен нулю.
Заметим, что значение многочлена с переменной х при х = 0 равно свободному члену этого многочлена, а при х = 1 — сумме его коэффициентов.
Это конспект по математике на тему «Многочлен и его стандартный вид». Выберите дальнейшие действия:
Что такое нули многочлена?
Кроме того, как найти настоящие нули на графике?
Если мы изобразим этот многочлен как y = p (x), то вы увидите, что это значения x, где y = 0. Другими словами, это точки пересечения с x на графике. Нули полинома можно найти с помощью найти, где график многочлена пересекает или касается оси x.
Таким образом, может ли 0 быть многочленом?
Как и любое постоянное значение, значение 0 можно рассматривать как (постоянный) многочлен, называемый нулевым многочленом. В нем нет ненулевых членов, поэтому, строго говоря, в нем тоже нет степени. Таким образом, его степень обычно не определена.
Также нужно знать, сколько нулей у полинома? Число нулей полинома
Независимо от четности или нечетности, любой многочлен положительного порядка может иметь максимальное количество нулей, равное его порядку. Например, кубическая функция может иметь до трех нулей, но не более. Это известно как основная теорема алгебры.
Какой пример нулевого многочлена?
Могут ли нули быть мнимыми?
Как узнать, сколько нулей имеет функция?
Как правило, для данной функции f (x) ее нули можно найти, установив функцию равной нулю. Значения x, которые представляют заданное уравнение, являются нулями функции. Чтобы найти нули функции, найдите значения x, где f (x) = 0.
Какие нули на графике?
Нули квадратного уравнения равны точки пересечения графика квадратного уравнения с осью абсцисс. В этом руководстве вы увидите, как использовать график квадратного уравнения, чтобы найти нули уравнения.
Какова степень полинома √ 3?
Следовательно, степень полинома √3 равна нуль. Корень 3 является многочленом, потому что многочлен может быть постоянным значением, отличным от 0. Поскольку, √3 является постоянным, следовательно, это многочлен.
Как называется многочлен степени 2?
Следовательно, многочлен второй степени называется квадратичный полином.
Сколько нулей имеет многочлен четвертой степени?
В квартике также будет до четыре корня или нули.
Может ли кубическая функция иметь 2 нуля?
Таким образом, когда мы считаем кратность, кубический многочлен может иметь только три корня или один корень; а квадратичный многочлен может иметь только два корня или нулевой корень. Это полезно знать при факторизации многочлена. Основная теорема в ее наиболее общей форме (включающая комплексные числа) имеет долгую историю.
Что является постоянным и примером?
Что такое нулевой полиномиальный класс 9?
Как узнать, есть ли мнимые нули?
Почему мнимые нули?
По отношению к квадратным уравнениям встречаются мнимые числа (и комплексные числа). когда значение под коренной частью формулы корней квадратного уравнения отрицательно. Когда это происходит, уравнение не имеет корней (нулей) в наборе действительных чисел.
Как найти наименьшие нули функции?
Чтобы найти ноль, установите функцию равной 0. решить для x, и это ваш наименьший ноль.
Какие нули у 2x 2 5x 2?
∴ Нули 2 × 2−5x + 2 равны 21 и 2.
Каковы кратности нулей?
Является ли 10x многочленом?
Какая формула для многочленов?
Является ли корень 3 многочленом?
Сколько нулей может иметь полином 3-й степени?
Какова степень полинома 3 9?
В этом примере степень полинома равна 3. Итак, мы можем сказать, что это кубический многочлен. Коэффициенты переменной могут быть любыми действительными числами.