Что такое область определения множество значений функции

Область определения функции

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие области определения функции

Впервые школьники знакомятся с термином «функция» на алгебре в 7 классе, и с каждой четвертью, с каждой новой темой это понятие раскрывается с новых сторон. И, конечно же, усложняются задачки. Сейчас дадим определения ключевым словам и будем находить область определения функции заданной формулой и по графику.

Если каждому значению x из некоторого множества соответствует число y, значит, на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией.

Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают так: y = f(x).

Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества.

Из понятия функции сформулируем определение области определения функции.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох.

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.

Чтобы обозначить область определения некоторой функции f, используют запись D(f). При этом нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения. Например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках можно встретить такие записи: D(sin) — область определения функции синус, D(arcsin) — область определения функции арксинус.

Можно также записать D(f), где f — функция синуса или арксинуса. Если функция f определена на множестве значений x, то можно использовать формулировку D(f) = X. Так, например, для того же арксинуса запись будет выглядеть так: D (arcsin) = [-1, 1].

Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.

Если мы хотим указать на множество чисел, которые лежат в некотором промежутке, то делаем так:

Например, все действительные числа от 2 до 5 включительно можно записать так:

Все положительные числа можно описать так:

Ноль не положительное число, поэтому скобка возле него круглая.

Области определения основных элементарных функций

Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.

На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x2 и другие. А области их определения изучаем, как свойства.

Рассмотрим области определения основных элементарных функций.

Область определения постоянной функции

Постоянная функция задается формулой y = C, то есть f(x) = C, где C — некоторое действительное число. Ее еще называют константа.

Смысл функции — в том, что каждому значению аргумента соответствует значение, которое равно C. Поэтому, область определения этой функции — множество всех действительных чисел R.

Константная функция — функция, которая для любого элемента из области определения возвращает одно и то же заданное значение. Множество значений такой функции состоит из одного единственного элемента.

Область определения функции с корнем

Функцию с корнем можно определить так: y = n √x, где n — натуральное число больше единицы.

Рассмотрим две вариации такой функции.

Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:

Значит, область определения каждой из функций y = √x, y = 4 √x, y = 6 √x,… есть числовое множество [0, +∞). А область определения функций y = 3 √x, y = 5 √x, y = 7 √x,… — множество (−∞, +∞).

Пример

Найти область определения функции:

Так как подкоренное выражение должно быть положительным, то решим неравенство x 2 + 4x + 3 > 0.

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

Дискриминант положительный. Ищем корни:

Значит парабола a(x) = x 2 + 4x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках. Часть параболы расположена ниже оси (неравенство x 2 + 4x + 3 2 + 4x + 3 > 0).

Область определения степенной функции

Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени.

Перечислим возможные случаи:

Рассмотрим несколько примеров.

Область определения показательной функции

Область определения показательной функции — это множество R.

Примеры показательных функций:

Область определения каждой из них (−∞, +∞).

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция выглядит так: y = log_ax, где где число a > 0 и a ≠ 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел.

Область определения логарифмической функции или область определения логарифма — это множество всех положительных действительных чисел. То есть, D (loga) = (0, +∞).
Например:

Рассмотрим примеры логарифмических функций:

Область определения этих функций есть множество (0, +∞).

Пример

Укажите, какова область определения функции:

Составим и решим систему:

Область определения тригонометрических функций

Сначала вспомним, как задавать тригонометрические функции и как увидеть их области определения.

Поэтому, если x — аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что и x ∈ r, x ≠ πk, k ∈ Z соответственно.

Пример

Найдите область определения функции f(x) = tg2x.

Так как a(x) = 2x, то в область определения не войдут следующие точки:

Перенесем 2 из левой части в знаменатель правой части:

В результате . Отразим графически:

Ответ: область определения: .

Область определения обратных тригонометрических функций

Вспомним обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Область определения арктангенса и арккотангенса — все множество действительных чисел R. То есть, D(arctg) = R и D(arcctg) = R.

Таблица областей определения функций

Области определения основных функций в табличном виде можно распечатать и использовать на уроках, чтобы быстрее решать задачки.

И, помните: чем чаще вы практикуетесь в решении задач — тем быстрее все запомните.

Функция

Область определения функции

Источник

Функция. Область определения и область значений функции

Урок 1. Алгебра 9 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Функция. Область определения и область значений функции»

Зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение y, называют функцией.

В определении сказано, что только та зависимость является функцией, у которой каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции.

Рассмотрим первый график. Видим, что одному значению x может соответствовать несколько значений y. Значит, данная зависимость не является функцией.

Обратимся ко второму случаю. Какие бы значения аргумента мы не брали, каждому из них соответствует только одно значение функции. Можно сказать, что эта зависимость является функцией.

В общем виде любую функцию можно записать так:

Понятно, что функция может принимать различные значения в зависимости от значения аргумента. Найдём значение каждой функции при заданном значении аргумента.

Вы заметили, что в этом задании функции названы разными буквами. Действительно, функцию можно называть любой буквой латинского алфавита.

Ранее вами были изучены несколько важных функций. Вспомним их.

Сейчас попробуем выяснить, как же получается график функции, и дадим определение этому понятию.

Можно записать её в таком виде:

Это линейная функция, графиком как вы помните, является прямая. Для изображения прямой достаточно двух точек.

Получаем точки с координатами (1;3) и (-1;-11).

Проведём прямую через полученные точки.

Мы изобразили график функции.

Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — значениям функции, называют графиком функции.

Все значения аргумента, т.е. переменной x образуют область определения функции, а все значения зависимой переменной, т.е. y, — область значений функции.

В данном случае x и y могут быть любыми числами, т.е. областью определения и областью значений является множество всех действительных чисел.

Потренируемся находить область определения и область значений функции по её графику.

Область определения можно находить не только по графику функции, но и по формуле, с помощью которой задана функция.

Источник

Определение числовой функции. Область определения функции. Область значения функции.

Что такое область определения функции? что такое область значения функции? Давайте, в этой статье разберемся в понятиях числовой функции и ее характеристиках и свойствах.

Определение функции.

Функция y=f(x) — это когда каждому допустимому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y или другими словами такая зависимость переменной y от переменной x.

х — называется независимой переменной или аргументом.

y – называется зависимой переменной или значением функции.

Множество чисел, где x∈X или D(f) — называется областью определения функции. Это множество всех допустимых значений переменной х.

Область значений функций, когда задаем правило или функцию, которая позволяет по произвольно выбранному значению x∈D(f) вычислить соответствующее значение y.

Переменную х или аргумент мы придумываем сами и подставляем в правило, которое задали или функцию. Далее рассчитываем переменную y или значение функции.

В тех диапазонах в которых существует переменная х называется областью определения функции.

В тех диапазонах в которых существует переменная y называется областью значения функции.

Графиком функции y=f(x), x∈X называется множество точек (x; f(x)) координатной плоскости.

Разберём пример №1:

Найдите область определения и область значения числовой функции y=x 2

Вместо переменной x мы можем брать любые числа и просчитать переменную y.

По графику также видно, что сколько бы угодно мы не проводили линий через ось х, мы найдем пересечение с графиком.

А теперь рассмотрим переменную у. В таблице мы видим, что переменная y принимает положительные значение, так как и самое минимальное значение 0. Следовательно, y∈[0; +∞).

Если посмотрим на график, то увидим, что графика ниже нуля нет. Следовательно, область значения функции E(f) = [0; +∞).

Разберём пример №2:

Найдите область определения и область значения числовой функции y=x+1?

Вместо переменной x мы можем брать любые числа и просчитать переменную y.

По графику также видно, что сколько бы угодно мы не проводили линий через ось х, мы найдем пересечение с графиком.

Рассмотрим переменную у. В таблице мы видим, что переменная y также принимает значения как в положительном, так и в отрицательном направлении. Следовательно, ограничений у переменной y нет, y∈(−∞; +∞). Область значения функции E(f) = (−∞; +∞).

Источник

Параграф 2. Повторение и расширение сведений о функции.

Работу выполнил: Косярский А.А. студент группы 45.2

Пункт 2.1. Понятие числовой функции. Простейшие свойства числовых функций.

1. Понятие числовой функции

2. График функции

Графиком функции f называется множество всех точек координатной плоскости
с координатами (x; f (x)), где первая координата x
«пробегает» всю область определения функции, а вторая координата
равна соответствующему значению функции f в точке x

3. Возрастающие и убывающие функции

Функция f(x) возрастающая на множестве P:
если x2 > x1, то f(x2) > f(x1)
для любых x1 и x2, лежащих во множестве P
(при увеличении аргумента соотвествующие точки графика поднимаются)

Функция f(x) убывающая на множестве P:
если x2 > x1, то f(x2)

4. Чётные и нечётные функции

Функция f(x) чётная:
если f(-x) = f(x)
для любых x из области определения.
График чётной функции симметричен относительно Oy

Объяснение и обоснование

1. Понятие функции. С понятием функции вы ознакомились в курсе алгебры.
Напомним, что зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если
каждому значению x соответствуе единственное значение y.
В курсе алгебры и начал математического анализа мы будем пользоваться
следующим определением числовой функции.

Числовой функцией с областью определения D называется зависимость,
при которой каждому числу x из множества D ставится в соответствие
единственное число y.

Функции обозначают латинскими (иногда греческими) буквами. Рассмотрим
произвольную функцию f. Число y, соответствующее числу x (на рисунке 9 это
показано стрелкой), называют значением функции f в точке x и обозначают f (x).

Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы. Если нет
дополнительных ограничений, то областью определения функции, заданной
формулой, считается множество всех значений переменной, при которых эта
формула имеет смысл.

Например, если функция задана формулой y = √x + 1, то её область
определения: x ≥ 0, то есть D(y) = [0;+∞), а область значений:
y ≥ 1, то есть E(y) = [1;+∞).

Функция может задаваться не только при помощи формул, но и сс помощью
таблицы, графика или словесного описания. Например, на рисунке 10
графически задана функция y = f(x) с областью определения
D(f) = [-1;3] и множеством значений E(f) = [1;4]

3. Возрастающие и убывающие функции. Важными характеристиками
функций являются их возрастание и убывание.

На рисунке 15 приведён график ещё одной возрастающей функции
y = x³. Действительно, при x2 > x1 имеем x2³ > x1³,
то есть f(x2) > f(x1).

Функция f(x) называется убывающей на множестве P, если
большему значению аргумента из этого множества соответствует
меньшее значение функции.

То есть для любых двух значений x1 и x2 из множества P, если
x2 > x1, то f(x2) x1 имеем
-2⋅

отметим, что для возрастающих и убывающих функций выполняются
свойства, обратные утверждениям, содержащимся в определении.

Например, если x² > 8, то есть x² > 2², то,
учитывая возрастание функции f(x) = x², получаем x > 2.

4. Чётные и нечётные функции. Рассмотрим функции, области
определения которых симметричны относительно начала координат, то
есть содержат вместе с каждым числом x и число (-x). Для таких
функций вводятся понятия чётности и нечётности.
Функция f называется чётной, если для любого x из её области определения
f(-x) = f(x).

Если функция f(x) чётная, то ее графику вместе с каждой точкой
M с координатами (x;y) = (x;f(x)) принадлежит также точка M1 с
координатами (-x;y) = (-x;f(-x))=(-x;f(x)). Точки M и M1
расположены симметрично относительно оси Oy (рис. 18), поэтому
и весь график чётной функции расположен симметрично относительно оси OY.

Если функци f(x) нечётная, то её графику вместе с каждой точкой M с
координатами (x;y) = (x;f(x)) принадлежит также точка M1 с
координатами (-x;y) = (-x;f(-x))=(-x;-f(x)). Точки M и M1
расположены симметрично относительно начала координат (рис. 19), поэтому
и весь график нечётной функции расположен симметрично относительно начала координат.

Например, график нечётной функции y = 1/x (см. пункт 4 табл. 2) симметричен относительно
начала координат, то есть точки O.

ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ:

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ

УПРАЖНЕНИЯ К ПАРАГРАФУ

5. Обоснуйте, что заданная функция является возрастающей (на её области определения):
1) y = 3x 2) y = x + 5 3) y = x³ 4) y = x 5 5) y = √(x)

8. Докажите, что на заданном промежутке функция убывает:
1) y = 3/x, где x 0

9. Докажите, что функция y = x² на промежутке [0; + ∞) возрастает, а на промежутке (- ∞;0] убывает.

11. Используя утверждения, приведённые в примере 6:
1) Обоснуйте, что уравнение x³ + x = 10 имеет единственный корень x = 2;
2) Подберите корень уравнения √(x) + x = 6 и докажите, что других корней это уравнение не имеет.

12. Обоснуйте, что заданная функция является чётной:
1) y = x 6 2) y = 1/x² + 1 3) y = √ (x² + 1) 4) y = √ (|x| + x 4 )

Источник