Что такое область определения тригонометрической функции

Реферат по учебной дисциплине «Математика» «Область определения и множество значений тригонометрических функций »

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

по учебной дисциплине «Математика»

«Область определения и множество значений тригонометрических

Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол. С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций разнообразны. Например, любые процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций. Данные функции появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

К тригонометрическим функциям относятся 4 функции: синус, косинус, тангенс, котангенс. Для каждых функций существует обратная тригонометрическая функция: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел.

Областью определения функции y = tg x является множество чисел x ≠ π/2 + πk, kЄ Z.

Областью определения функции y = сtg x является множество чисел x ≠ πk, kЄ Z.

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически – это проекция графика функции на ось Оy.

Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга. На рисунке изображен круг радиусом r = 1. На окружности обозначена точка M (x, y). Угол между радиус-вектором OM и направлением оси Ox равен α.

Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M (x,y) к радиусу r: cos α = x/r = x.

Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки

M (x, y) к ee абсциссе x: tg α = y/x, x ≠ 0.

Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки

M (x, y) к ее ординате y: ctg α = x/y, y ≠ 0.

В единичном круге x, y точки M (x, y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x, y являются катетами, а r − гипотенузой.

Определения тригонометрических функций.

Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом угла α называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом угла α называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Каждому действительному числу x соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки (1;0) на угол x радиан. Для этого угла определены sin x и cos x. Каждому действительному числу x поставлены в соответствие числа sin x и cos x, т.е. на множестве R всех действительных чисел определены функции y = sin x и y = cos x. Областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел.

Функция y = tg x определяется формулой y = tg x = sin x/cos x. Эта функция определена при тех значениях x, для которых cos x ≠ 0. Известно, что cos x = 0 при x = π/2 + πn, n Є Z. Следовательно, областью определения функции y = tg x является множество чисел x ≠ π/2 + πn, n Є Z. Так как уравнение tg x = a имеет корни при любом действительном значении a, то множеством значений функции y = tg x является множество R всех действительных чисел.

Решим уравнение: a) sin x = 1/2; б) sin x = а.

а) На оси ординат отложим значение 1/2 и построим углы x1 и х2, для которых sin x = 1/2. При этом х1 + х2 = π, откуда х2 = π – x1. По таблице тригонометрических функций найдем величину х1 = π/6, тогда Скажем периодичность функции синуса и запишем решения данного уравнения: где k ∈ Z.

б) Понятно, что алгоритм решения уравнения sin х = а такой же, как и в предыдущем пункте. Должно быть, теперь по оси ординат откладывается величина а. Возникает необходимость обозначить угол х1. Допустим такой угол обозначать символом arcsin а. Тогда решения данного уравнения можно записать в виде Эти две формулы можно объединить в одну: при этом

Одинаковым образом вводятся и остальные обратные тригонометрические функции.

Учитывая обратные тригонометрические функции получим:

Источник

Глоссарий. Алгебра и геометрия

Область определения и множество значений тригонометрических функций

Каждому действительному числу x соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки (1;0) на угол x радиан. Для этого угла определены sin x и cos x. Тем самым каждому действительному числу x поставлены в соответствие числа sin x и cos x, т.е. на множестве R всех действительных чисел определены функции y = sin x и y = cos x Таким образом, областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел.

Функция y = tg x определяется формулой y = tg x = sin x/cos x. Эта функция определена при тех значениях x, для которых cos x ≠ 0 Известно, что cos x = 0 при x = π/2 + πn, n Є Z. Следовательно, областью определения функции y = tg x является множество чисел x ≠ π/2 + πn, n Є Z. Так как уравнение tg x = a имеет корни при любом действительном значении a, то множеством значений функции y = tg x является множество R всех действительных чисел.

Функции y = sin x, y = cos x, y = tg x называют тригонометрическими функциями.

Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций

Известно, что для любого значения x верны равенства sin (x + 2π) = sin x, cos (x + 2π) = cos x. Из этих равенств следует, что значения синуса и косинуса периодически повторяются при изменении аргумента на 2π. Такие функции называются периодическими с периодом 2π.

Источник

Статья «Область определения и множество значений тригонометрических функций »

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

«Область определения и множество значений тригонометрических

Тригонометрические функции
Область определения и множество значений тригонометрических функций.

У каждой функции у= f ( x ) есть два типа переменных: зависимые и независимые. Переменная «х» является независимой, поскольку она может принимать любые значения, кроме тех, которые «превращают» функцию в пустое множество ( этого необходимо избегать). Они бывают с одной или несколькими независимыми переменными. Необходимо выяснить все значения зависимой переменной.

Областью значений функции называют множество всех значений, которые принимает зависимая переменная (у).

Каждому действительному числу x соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки (1;0) на угол x радиан. Для этого угла определены sin x и cos x. Тем самым каждому действительному числу x поставлены в соответствие числа sin x и cos x, т.е. на множестве R всех действительных чисел определены функции
y = sin x и y = cos x.

Таким образом, областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел.

Функция y = tg x определяется формулой y = tg x = sin x/cos x. Эта функция определена при тех значениях x, для которых cos x ≠ 0
Известно, что cos x = 0 при x = π/2 + πn, n Є Z.
Следовательно, областью определения функции y = tg x является множество чисел x ≠ π/2 + πn, n Є Z.

Так как уравнение tg x = a имеет корни при любом действительном значении a, то множеством значений функции y = tg x является множество R всех действительных чисел.

Функции y = sin x, y = cos x, y = tg x называют тригонометрическими функциями.

Пример 1. Найти область определения функции

;

;

;

Ответ: − .

Пример 2. Найти все решения уравнения

;

;

Пример 3. Найти множество значений функции:

Источник

Тригонометрия простыми словами

Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».

Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).

Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.

Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.

Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.

Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.

Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)

Принцип повтора знаков тригонометрических функций

Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону.

В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ.

Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно.

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.

Источник

Область определения функции

Каждая функция имеет свою собственную область определения. Целью этого материала является объяснение этого понятия и описание способов ее вычисления. Сначала мы введем основное определение, а потом на конкретных примерах покажем, как выглядит область определения основных элементарных функций (степенной, постоянной и др.) Разбирать случаи с более сложными функциями мы пока не будем.

В рамках данной статьи мы рассмотрим область определения функций, включающих в себя только одну переменную.

Понятие и обозначение области определения функции

Самое простое определение этого понятия дается в учебниках тогда, когда впервые вводится понятие функции как таковой. На этом этапе термином «область определения» обозначают множество всех возможных значений аргумента.

По мере углубления знаний о функциях определение сужается и усложняется. Так, в одном из учебников можно встретить следующую формулировку:

Используя это определение, охарактеризуем нужное нам понятие более четко:

Областью определения функции называется множество значений аргумента, на котором можно задать эту функцию.

Как найти области определения для основных элементарных функций

Прочитав определения выше, легко понять, что понятие области определения очень важно для любой функции. Это ее неотъемлемая часть, которую задают вместе с самой функцией. То есть когда мы вводим какую-либо функцию, то мы сразу указываем и область ее определения. Обычно в рамках школьного курса основные функции изучаются последовательно: сначала прямые пропорциональности, затем линейные функции, потом y = x 2 и т.д., а их области определения указываются в качестве основных свойств.

В этом пункте мы расскажем, какие области определения имеют основные элементарные функции.

Область определения постоянной функции

Область определения функции с корнем

Область определения таких функций будет зависеть от того, является ли показатель четным или нечетным числом.

Область определения степенной функции

Перечислим возможные варианты.

Поясним нашу мысль несколькими примерами.

Область определения показательной функции

Область определения логарифмической функции

Область определения тригонометрических функций

Чтобы узнать, на каком промежутке будут определены тригонометрические функции, нужно вспомнить, как именно они задаются и как называются.

Область определения тригонометрических функций

К обратным тригонометрическим относятся функции арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Области определения основных функций в табличном виде

Чтобы запомнить или легко найти нужные нам области, правила вычисления которых мы объяснили выше, представим всю информацию в табличном виде. Не лишним будет оформить ее на отдельном листе и держать под рукой, так же, как и таблицу простых чисел, квадратов и др. Она очень пригодится при работе с функциями, пока вы не выучите ее содержимое наизусть.

y = sin x y = cos x y = t g x y = c t g x

y = a r c sin x y = a r c cos x y = a r c t g x y = a r c c t g x

Подводя итоги статьи, следует отметить, что в рамках школьного курса изучаются не только основные элементарные функции, но и их различные сочетания. Задачи такого типа встречаются очень часто. Области определения таких комбинированных функций указываются далеко не всегда. Авторы задач подразумевают, что в таких случаях областью определения функции можно считать множество таких значений аргумента, при которых она будет иметь смысл. Это позволяет нам приблизиться к ответу на вопрос, как именно вычисляется область определения функции в подобных случаях.

Источник

• ← Что такое верхняя палата
• Что такое под в медицине →