Что такое область сходимости степенного ряда

Степенные ряды

Функциональный ряд вида

Значит, ряд сходится при и расходится при .

Формула Коши Адамара получается применением признака Коши для положительных рядов к степенному ряду. Похожая формула для радиуса сходимости получается, если мы применим признак Даламбера к степенному ряду:

Итак, для определения области сходимости, нужно сначала определить радиус сходимости по одной из формул, а затем исследовать сходимость ряда в концах интервала сходимости. Для разложения произвольной функции в степенной ряд нужно знать определение ряда Тейлора и пять основных разложений.

Пять основных разложений:

Пример 4. Разложить функцию в ряд Маклорена и найти область сходимости.

Воспользуемся стандартным разложением:

Пример 5. Определить радиус сходимости ряда и исследовать поведение ряда на границе промежутка сходимости.Находим радиус сходимости. Используем вторую формулу:

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?

Источник

Степенные ряды

Радиус и круг сходимости степенного ряда.

Функциональные ряды вида
$$
\sum_^<\infty>c_(\zeta — a)^,\label
$$
где \(c_\ (n = 1, 2, \ldots)\) и \(a\) — заданные комплексные числа, \(\zeta\) — комплексное переменное, называют степенными рядами, а числа \(c_\) — коэффициентами степенного ряда \eqref.

Полагая в \eqref \(z = \zeta — a\), получим ряд
$$
\sum_^<\infty>c_z^,\label
$$
исследование сходимости которого эквивалентно исследованию сходимости ряда \eqref.

Если степенной ряд \eqref сходится при \(z = z_ <0>\neq 0\), то он сходится, и притом абсолютно, при любом \(z\) таком, что \(|z| |z_<1>|\).

Так как ряд \eqref сходится в точке \(z_<0>\), то должно выполняться условие
$$
\lim_c_z_<0>^ = 0,\nonumber
$$
откуда следует ограниченность последовательности \(\z_<0>^\>\), то есть
$$
\exists M > 0: \forall n \in \mathbb \rightarrow |c_z_<0>^| \leq M.\label
$$
Используя неравенства \eqref и \eqref, получаем
$$
|c_z^| = |c_z_<0>^|\left|\frac>\right|^ \leq M q^,\ \mbox<где>\ 0 \leq q Следствие 1.

Если ряд \eqref сходится в точке \(z_ <0>\neq 0\), то в круге \(K_ <1>= \

Если ряд \eqref сходится в точке \(z_ <0>\neq 0\), то ряды
$$
\sum_^<\infty>c_z^,\quad m \in \mathbb,\label
$$
$$
\sum_^<\infty>nc_z^\label
$$
сходятся абсолютно в круге \(K_<0>\), а в круге \(K_<1>\) — абсолютно и равномерно.

\(\circ\) Для ряда \eqref в круге \(K_<0>\) выполняется неравенство
$$
|c_z^| \leq \frac<|z_<0>|^>q^,\ 0 \leq q 0\), \(B > 0\), \(0 \leq q Теорема 2.

Для всякого степенного ряда \eqref существует \(R\) (\(R \geq 0\) — число или \(+\infty\)) такое, что:

\(\circ\) Пусть \(D\) — множество всех точек сходимости ряда \eqref. Это непустое множество, так как в точке \(z = 0\) ряд \eqref сходится.

Если \(D\) — неограниченное множество, то ряд \eqref сходится в произвольной точке \(\tilde\) комплексной плоскости. В самом деле, возьмем точку \(z_ <0>\in D\) такую, что \(|\tilde| R\). Тогда \(z’ \in D\) (по определению точной верхней грани), и поэтому ряд \eqref расходится в точке \(z’\). \(\bullet\)

На границе круга \(K\) ряд \eqref может как сходиться, так и расходиться. В любом меньшем круге \(K_ <1>= \

Если \(R\) — радиус сходимости степенного ряда \eqref, причем \(0 Доказательство.

\(\circ\) Теорема приводится без доказательства. \(\bullet\)

Если существует конечный или бесконечный \(\displaystyle\lim_ \sqrt[n]<|c_|>\), то для радиуса \(R\) сходимости ряда \eqref справедлива формула
$$
\frac<1> = \lim_ \sqrt[n]<|c_|>,\label
$$
а если существует конечный или бесконечный \(\displaystyle\lim_ \left|\frac>>\right|\), то
$$
R = \lim_ \left|\frac>>\right|,\label
$$

\(\circ\) Докажем формулу \eqref. Обозначим \(\rho = \displaystyle\lim_ \sqrt[n]<|c_|>\).

Пределы \eqref и \eqref могут не существовать. Однако имеется универсальная формула для вычисления радиуса сходимости \(R\) степенного ряда \eqref, а именно формула
$$
\frac<1> = \overline<\lim_> \sqrt[n]<|c_|>,\label
$$
которую называют формулой Коши-Адамара.

Найти радиус сходимости \(R\) степенного ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>c_z^\),

Найти радиус сходимости \(R\) степенного ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>2^z^<5n>\).

\(\vartriangle\) Обозначим \(2z^ <5>= t\). Тогда \(\displaystyle\sum_^<\infty>2^z^ <5n>= \sum_^<\infty>t^\), причем ряд \(\sum_^<\infty>t^\) сходится, если \(|t| 1\). Поэтому ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>2^z^<5n>\) сходится, если \(2|z|^ <5>\displaystyle\frac<1><\sqrt[5]<2>>\). Итак, радиус сходимости \(R = \displaystyle\frac<1><\sqrt[5]<2>>\). Тот же результат следует из формулы \eqref, так как
$$
\overline<\lim_> \sqrt[n]<|c_|> = \lim_ \sqrt[5n]<2^> = \sqrt[5]<2>.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Для степенного ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>c_(z — a)^\) круг сходимости \(K\) имеет вид \(K = \ — R, x_ <0>+ R)\) называют интервалом сходимости, a \(R\) — радиусом сходимости ряда \eqref. Радиус сходимости ряда \eqref совпадает с радиусом сходимости ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_(z — x_<0>)^\), где \(z\) — комплексное переменное. При \(R = 0\) ряд \eqref сходится лишь в точке \(x = x_<0>\), а при \(R = +\infty\) — на всей числовой прямой.

Регулярные функции.

Введем понятие функции комплексного переменного. Пусть каждой точке \(z \in E\), где \(E\) — множество точек комплексной плоскости, поставлено в соответствие комплексное число \(w\). Тогда говорят, что на множестве \(E\) определена функция комплексного переменного, и пишут \(w = f(z)\), где символом \(f\) обозначено правило (закон), определяющее это соответствие.

Понятия предела, непрерывности, производной для функции комплексного переменного вводятся по аналогии с соответствующими понятиями для функции действительного переменного. Если
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta_ <\varepsilon>> 0: \forall z: |z — a| Определение.

Функция комплексного переменного \(f(z)\) называется регулярной (однозначной аналитической, голоморфной) в точке \(a\), если она определена в некоторой окрестности точки \(a\) и представима в некотором круге \(|z — a| 0\), сходящимся к \(f(z)\) степенным рядом
$$
f(z) = \sum_^<\infty>c_(z — a)^.\label
$$

Отметим, что любой многочлен, то есть функция вида \(P(z) = \displaystyle\sum_^<\infty>a_z^\), является регулярной функцией в каждой точке комплексной плоскости.

Рациональная функция \(f(z) = \displaystyle\frac(z)>(z)>\), где \(P_\) и \(Q_\) — многочлены степени \(n\) и \(m\) соответственно, регулярна в каждой точке \(a\), в которой \(Q_ \neq 0\). Если многочлены \(P_\) и \(Q_\) не имеют общих корней и если \(z = z_<0>\) — корень многочлена \(Q_(z)\), то \(\displaystyle\lim_>f(z) = \infty\), а точку \(z_<0>\) называют полюсом функции \(f(z)\). Полюсы — один из типов особых точек функций комплексного переменного.

В теории функций комплексного переменного доказывается, что на границе круга сходимости степенного ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>c_(z — a)^\) лежит хотя бы одна особая точка его суммы \(f(z)\) и что радиус сходимости этого ряда равен расстоянию от точки \(a\) до ближайшей к \(a\) особой точки функции \(f(z)\).

В частности, если \(f(z) = \displaystyle\frac(z)>(z)>\), причем многочлены \(P_\) и \(Q_\) не имеют общих корней, то радиус сходимости \(R\) степенного ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>c_(z — a)^\) равен расстоянию от точки \(a\) до ближайшего к этой точке корня многочлена \(Q_(z)\), то есть
$$
R = \min_ <1 \leq k m>|z_ — a|,\nonumber
$$
где \(z_ (k = \overline<1, m>)\) — корни многочлена \(Q_(z)\) (предполагается, что \(a \neq z_\), \(k = \overline<1, m>\)).

Функция \(f(z)\), регулярная в точке \(a\), единственным образом представляется рядом \eqref.

\(\circ\) Пусть функция \(f(z)\) имеет два представления в виде степенного ряда \eqref в круге \(K = \ $$
f(z) = \sum_^<\infty>c_(z — a)^ = \sum_^<\infty>\tilde_(z — a)^.\label
$$
Докажем, что \(c_ = \tilde_\) для \(n = 0, 1, 2, …\)

По условию ряды \(\displaystyle\sum_^<\infty>c_(z — a)^\) и \(\displaystyle\sum_^<\infty>\tilde_(z — a)^\) сходятся в круге \(K\), и поэтому (см. следствие 1 из теоремы 1) эти ряды сходятся равномерно в круге \(K_ <1>= \

Свойства степенных рядов.

\(\circ\) Пусть \(R\), \(R_<1>\) и \(R_<2>\) — радиусы сходимости рядов \eqref, \eqref и \eqref соответственно, \(K\), \(K_<1>\) и \(K_<2>\) — круги сходимости этих рядов. Докажем, что
$$
R_ <1>= R = R_<2>.\label
$$

Так как \(\displaystyle\frac<1> \leq 1 \leq n\) для любого \(n \in \mathbb\), то
$$
\left|\frac>z^\right| \leq |z| \cdot |c_z^| \leq |z|^ <2>\cdot |nc_z^|.\label
$$
Неравенства \eqref справедливы при любом \(n \in \mathbb\) и при любом \(z\).

\(\circ\) Рассмотрим ряд
$$
\sum_^ <\infty>k a_ (x — x_<0>)^.\label
$$
составленный из производных членов ряда \eqref. По теореме 6 ряд \eqref имеет тот же радиус сходимости, что и ряд \eqref, а по следствию 1 из теоремы 1 ряд \eqref сходится равномерно на отрезке \(\Delta_ <\rho>= [x_ <0>— \rho, x_ <0>+ \rho]\), где \(\rho\) — произвольное число такое, что \(0 Следствие.

Коэффициенты ряда \eqref, имеющего радиус сходимости \(R > 0\), выражаются формулами
$$
a_ <0>= f(x_<0>),\quad a_ = \frac(x_<0>)>,\quad n \in \mathbb.\label
$$

\(\circ\) Формулы \eqref получаются из равенств \eqref и \eqref при \(x = x_<0>\). \(\bullet\)

Из формул \eqref следует единственность разложения функции \(f(x)\) в степенной ряд вида \eqref.

Источник