Что такое обратимая функция

Обратимые и обратные функции

Обратимой называется функция в которой произвольному значению функции соответствует единственное значение аргумента.

Примеры обратимых функций:

Исходная обратимая функция и функция, полученная из нее путем замены x на y и y на x, называются обратными.

Примеры обратных функций:

Однако, если рассматривать данную функцию только на множестве положительных чисел, она будет обратимой:

Графики функций будут симметричны относительно прямой y=x:

Функция y=arcsin(x)

Поскольку функция y=sin(x) является периодической, она не является обратимой.

Для построения функции, обратимой y=sin(x), необходимо взять один из полупериодов функции, обычно это отрезок [-π/2;π/2], на котором функция обратима.

График функции y=arcsin(x):

Например, чтобы найти arcsin(1), можно воспользоваться равенством 1=sin(y). Угол на отрезке [-π/2;π/2], синус которого равняется 1, будет равен 90° или π/2.

Функция y=arccos(x)

Поскольку функция y=cos(x) является периодической, она не является обратимой.

Для построения функции, обратимой y=cos(x), необходимо взять один из полупериодов функции, обычно это отрезок [0;π], на котором функция обратима.

График функции y=arccos(x):

Например, чтобы найти arccos(1), можно воспользоваться равенством 1=cos(y). Угол на отрезке [0;π], косинус которого равняется 1, будет равен 0.

Функция y=arctg(x)

Поскольку функция y=tg(x) является периодической, она не является обратимой.

Для построения функции, обратимой y=tg(x), необходимо рассматривать тангенсоиду на отрезке [-π/2;π/2], на котором функция обратима.

График функции y=arctg(x):

Функция y=arcctg(x)

Поскольку функция y=ctg(x) является периодической, она не является обратимой.

Для построения функции, обратимой y=ctg(x), необходимо рассматривать котангенсоиду на отрезке [0;π], на котором функция обратима.

График функции y=arcctg(x):

Если вам понравился сайт, будем благодарны за его популяризацию 🙂 Расскажите о нас друзьям на форуме, в блоге, сообществе. Это наша кнопочка:

Код кнопки:
Политика конфиденциальности Об авторе

Источник

«ОБРАТИМАЯ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

ввести понятия обратимой и обратной функции;

провести доказательство теоремы о монотонности прямой и обратной функции;

выявить и обосновать геометрический смысл обратимости функции;

формировать умение находить обратную функцию для заданной.

1. Дана функция

а) Исследуйте функцию на монотонность, если х  2.

б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–1,5; 1,5].

2. Исследуйте функцию где х > 0, на ограниченность.

3. Исследуйте функцию на четность.

1. Дана функция

а) Исследуйте функцию на монотонность, если х  2.

б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–4,5; –3,1].

2. Исследуйте функцию где х

3. Исследуйте функцию на четность.

1. Дана функция

а) Исследуйте функцию на монотонность, если х  –1.

б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–2; 0,4].

2. Исследуйте функцию где х

3. Исследуйте функцию на четность.

1. Дана функция

а) Исследуйте функцию на монотонность, если х  1.

б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 2,2].

2. Исследуйте функцию где х > 2, на ограниченность.

3. Исследуйте функцию на четность.

Решение некоторых вариантов проверочной работы.

В зависимости от уровня подготовки класса учитель вправе дать учащимся не всю работу, а выборочные задания. Варианты 1 и 2 несколько легче вариантов 3 и 4.

1. Обозначим

а) Пусть тогда

функция убывает на (–  ; 2].

б) Так как функция убывает на (–  ; 2], то

Ответ : а) убывает; б) у _наиб. = 12,25; у _наим. = 0,25.

2. где х > 0.

Функция ограничена сверху прямой у = 0, значит, функция ограничена сверху прямой у = 1.

Ответ : ограничена сверху.

3. – симметрична относительно начала координат. значит, функция нечетная.

1. а) Обозначим Графиком является парабола с вершиной в точке (–1; –1) и пересекающая ось 0 х в точках х = 0 и х = –2.

Если х  –1, то функция возрастает.

б) На отрезке [–2; 0,4]

Ответ : а) возрастает; б) у _наиб. = 0,96; у _наим. = 0.

2. где х

Функция ограничена снизу прямой у = 0, значит, функция ограничена снизу прямой у = 2.

Ответ : ограничена снизу.

3. – симметрична относительно начала координат.

Если х  0, то

Имеем: значит, функция ни четная, ни нечетная.

Ответ : ни четная, ни нечетная.

3. Объяснение нового материала.

1. Для введения понятия обратимой функции можно использовать либо подвижные модели, либо изображение обратимых и необратимых функций на прозрачной пленке, перевернув которую можно показать, как область определения и область значения функции «меняются местами» и в каком случае обеспечивается однозначность обратной функции.

2. Для первичного закрепления материала учащиеся выполняют следующее задание.

Среди функций, графики которых изображены на рисунке, укажите обратимые.

Подчеркиваем учащимся, что в теореме сформулирован признак обратимости функции (достаточное условие). В то же время монотонность не является необходимым условием обратимости.

4. Устанавливая геометрический смысл обратимости функции, учащиеся формулируют способ построения графика обратной функции с помощью преобразования осевой симметрии.

4. Формирование умений и навыков.

Упражнения, решаемые на этом уроке, направлены на аналитическое задание функции, обратной данной, а также на построение графика обратной функции с помощью осевой симметрии.

1. № 3.1 (а; б), № 3. 2 (а; б).

При выполнении этих упражнений следует предупредить формализм в аналитическом задании функции путем простого преобразования уравнения. Учащиеся должны обосновать существование обратной функции.