Что такое обратное утверждение в математике
Урок по математике 6 класс «Обратное утверждение»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Сценарии уроков по учебнику «Математика, 6 класс», часть 3
Тема: «Обратное утверждение ».
1) тренировать способность к построению обратного утверждения и записыванию его на математическом языке;
2) повторить и закрепить: понятия НОД и НОК, их нахождение с помощью разложения на простые множители, решение задач на проценты, решение уравнений.
1) задание для актуализации знаний:
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
1) 
и 2) 
.
; 
; 
; 
; 
; 
.
2) образец для самопроверки самостоятельной работы
Тогда и только тогда.
1. Самоопределение к деятельности.
Цель этапа: 1) включить учащихся в учебную деятельность;
2) определить содержательные рамки урок: продолжим работать с обратными утверждениями.
Организация учебного процесса на этапе 1:
— Добрый день ребята!
– Над какой темой мы с вами работаем. (Обратные утверждения.)
— Чему мы уже научились? (Строить и записывать на математическом языке утверждения и им обратные.)
– Сегодня мы продолжим работать с обратными утверждениями.
2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.
Цель этапа: 1) актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала: действия с рациональными числами, произведение и частное рациональных чисел;
2) актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ, обобщение;
3) зафиксировать все повторяемые понятия и алгоритмы в виде схем и символов;
4) зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности, демонстрирующее на личностно значимом уровне недостаточность имеющихся знаний: перевод с русского языка на математический язык.
Организация учебного процесса на этапе 2:
— Назовите пары чисел, между которыми есть целые числа, но нет натуральных чисел.
2. Не выполняя вычислений, определите знак произведения:
( ( ( 3. Из данных выражений
, , , , , , , , выберите те, которые равны
1) и 2) . (1) ; ; ; ; 2) ; ; ; ).
— Внимательно рассмотрите выражения: ; ; ; ; ; .
— Верно ли, что значение разности положительно, если уменьшаемое больше вычитаемого, и отрицательно, если уменьшаемое меньше вычитаемого? (Да, верно.)
— Сделайте вывод и сформулируйте обратное утверждение.
3. Выявление причин затруднения и постановка цели деятельности.
Цель этапа: 1) организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности: невозможность записать на математическом языке утверждение, сформулированное на русском языке;
2) согласовать цель и тему урока.
Организация учебного процесса на этапе 3:
— Сформулируйте тему урока. (Построение обратных утверждений).
4. Построение проекта выхода из затруднения.
Цель этапа: 1) организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;
2) зафиксировать новый способ действия в знаковой, вербальной форме и с помощью эталона.
Организация учебного процесса на этапе 4:
— Запишите на математическом языке сделанный вывод и ему обратное утверждение.
— Как бы вы назвали пары таких утверждений? (Обратные друг другу.)
5. Первичное закрепление во внешней речи.
Цель этапа: зафиксировать изученное учебное содержание во внешней речи.
Организация учебного процесса на этапе 5:
а) Числа большие или равные 1 – натуральные числа (Л);
Не верно, что числа большие или равные 1 – натуральные числа.
б) Все числа, оканчивающиеся 0, кратны 10 (И).
в) Любой многоугольник является треугольником (Л);
Существуют многоугольники, не являющиеся треугольниками.
г) Прямоугольник является квадратом (Л)
Существует прямоугольник, который не является квадратом.
д) Если сумма чисел равна 0, то числа противоположные (И).
е) Если числа взаимно обратные, то произведение чисел равно 1 (И).
Обсудить предложенные варианты, вспомнить понятие равносильных утверждений.
6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.
Цель этапа: проверить своё умение применять новое учебное содержание в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки.
Организация учебного процесса на этапе 6:
После самопроверки проводится анализ ошибок и выясняется причина появления ошибок.
7. Включение в систему знаний и повторение
Цель этапа: повторить учебное содержание, которое потребуется на следующих уроках: нахождение НОД и НОК, решение простейших уравнений, решение задач, составляя уравнение.
Организация учебного процесса на этапе 7:
а) 18 = 2 × 3 × 3; 21 = 3 × 7 НОД (18; 21) = 3; НОК (18; 21) = 21 × 2 × 3 = 126;
б) 28 = 2 × 2 × 7; 245 = 5 × 7 × 7 НОД (28; 245) = 7; НОК (28; 245) = 245 × 2 × 2 = 980;
в) 16 = 2 × 2 × 2 × 2; 160 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5; НОД (16; 160) = 16; НОК (16; 160) = 160;
г) 27 = 3 × 3 × 3; 100 = 2 × 2 × 5 × 5; НОД (27; 100) = 1; НОК (27; 100) = 2 700;
а) 0; в) 
; д) – 4,5; ж) 14;
Обратные предложения. Обучение учащихся построению обратных предложений
Разделы: Математика
Теория и практика методики обучения математике показывают, что учащемуся недостаточно знать лишь предметное содержание математического факта для его полноценно усвоения. Требуется ещё видеть и понимать способы организации этого содержания, заложенные в логической структуре изучаемого. Исходя из этого в математическом факте, входящем в состав образовательной области »математика», целесообразно выделить предметную и логическую составляющие. Содержание предметной составляющей достаточно долго являлось объектом пристального внимания исследователей в области методики обучения математике. Содержание же логической составляющей в явном виде практически не выделено. Математическое предложение является одним из основных способов представления предметной составляющей. Понимание особенностей построения математического предложения даёт возможность более осознанно усвоить заложенную в нём информацию.
Глава 1. Обратные предложения и их роль в математическом образовании.
1.1. Метод взаимно обратных задач.
Задачи обучения математике в средней школе разнообразны. Закономерно встаёт вопрос: какими должны быть методические пути и приёмы обучения, какое предметное содержание нужно отбирать для уроков, чтобы оптимально подойти к достижению поставленных целей? Одним из таких путей является использование метода взаимно обратных задач. Под этим методом следует понимать применение комплекса заданий: составление к данной теореме обратного утверждения (или всех возможных обратных утверждений) и проверку его истинности; использования утверждения данной теоремы при доказательстве обратной; выполнение некоторого действия взаимно обратными способами; параллельное выделение свойств понятий и их признаков и т.д.
Одним из важных следствий применения указанного метода является активизация учебно-познавательной деятельности учащихся, которым предоставляется возможность самостоятельно формулировать теоремы, составлять задачи, находить их решения, исследовать нестандартные ситуации. Использование метода взаимно обратных задач позволяет интенсифицировать деятельность учащихся, в то время как в практике обучения часто используется экстенсивный путь: стараются решать как можно больше задач, не вдаваясь в глубокое исследование каждой из них. Между тем опыт свидетельствует о том, что целесообразнее вместо двух разных задач решить две взаимно обратных задачи, вместо двух разных теорем доказать две взаимно обратных теоремы, что обогатит мыслительную деятельность учащихся новыми приемами, способами действий. Получается и выигрыш во времени: ученики работают с одними и теми же отношениями и объектами условия и заключения: чертёж тоже может быть один и тот же. Приёмы, составляющие метод взаимно обратных задач, позволяют осуществлять индивидуализацию обучения, дифференцированный подход к ученикам. Деятельность учащихся приобретает творческий характер: приходится самостоятельно выдвигать гипотезы и проверять их на правдоподобность; опровергать неверные утверждения, приводить контрпримеры. При этом знания становятся глубже и прочнее. Развивается логическое мышление.
Содержание школьного курса математики позволяет в полной мере использовать метод взаимно обратных задач. Так, в геометрии вводится понятие обратной теоремы. Кроме того, в учебнике имеются задания сформулировать и доказать теоремы, обратные утверждениям некоторых задач. Всё это говорит о том, что в обучении геометрии методу взаимно обратных задач должно уделяться достаточное внимание.
1.2. Логическая структура сложного предложения.
Логическая структура сложного предложения является одной из важнейших компонент логической составляющей математического материала. Наиболее распространены в математических текстах такие формы связи, как конъюнктивная («и»), дизъюнктивная («или»), импликативная («если. то:»), а так же отрицание. Понимание этого обстоятельства, знание основных форм логической организации текста могут существенно облегчить обучаемым сознательное усвоение содержания данного текста. В качестве примера можно привести решение традиционной проблемы выбора между пересечением и объединением промежутков при решении системы либо совокупности уравнений или неравенств. Трудности выбора практически исчезают, если актуализировать логический смысл союзов «и» и «или». Союз «и» означает конъюнкцию, которой является система уравнений или неравенств, а союз »или» символизирует их дизъюнкцию (совокупность).
Логическая структура предложения часто бывает скрыта. Для того чтобы её выделить, следует переформулировать предложение. Примером может служить стандартный текст геометрической теоремы, допустим: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
В этом случае переформулировка также приводит к импликативной структуре: если треугольник равнобедренный, то в нём углы при основании равны.
В результате становится лучше видно, что дано и что требуется доказать, на какие исходные утверждения опирается вывод.
Появляется также возможность осознанно различать взаимно обратные утверждения.
Структура теоремы. Обратные предложения.
Глава 2 Построение обратных предложений.
2.1. Получение обратных предложений.
Необходимо формировать у школьников приёмы выделения условия и заключения теоремы (или задачи на доказательство), учить их формулировать встречающиеся утверждения в виде »если. то. ». Формирование этого приёма происходит при решение задач, хотя сам приём зачастую не осознаётся. Когда же выделение условия и заключения является необходимым этапом на пути к получению обратного предложения, то внимание учащихся фиксируется на нём целенаправленно. После того, как выделены условие и заключение теоремы, легко сформулировать обратное предложение
Пример. В параллелограмме диагонали, пересекаясь, делятся пополам.
противоположную: 
обратную противоположной: 
.
В данной иллюстрации все четыре теоремы истины, в чём можно легко убедиться, проведя их доказательство. Однако так бывает не всегда. Между этими четырьмя видами теорем существует тесная связь, именно:
Каждую из этих эквивалентностей нетрудно обосновать с помощью таблицы истинности. Так, например, для второй эквивалентности имеем:
| p | q |  |  | q => p |  | (q => p) ( ) |
| и | и | л | л | и | и | и |
| л | л | и | и | и | и | и |
| и | л | л | и | и | и | и |
| л | и | и | л | л | л | и |
Взаимная связь теорем значительно облегчает практику их изучения. Вот почему в любом курсе математики нам встречаются обычно лишь прямая и обратная теоремы, а остальные теоремы встречаются редко.
Обратные теоремы могут быть неверными.
Обратные теоремы так же, как и прямые, могут быть как верны, так и не верны. Поэтому справедливость обратных теорем (как и прямых) подлежит доказательству.
Верна или не верна обратная теорема, часто зависит от того, как мы эту обратную теорему сформулируем.
Возьмём, например, теорему: «диагонали ромба взаимно перпендикулярны». Если обратную теорему сформулировать так: «четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны, есть ромб», то эта теорема окажется неверной. Если же сформулировать её так: «параллелограмм диагонали, которого взаимно перпендикулярны, есть ромб», то она окажется верной.
Итак, обратную теорему мы можем строить двояким образом: или взять в качестве заключения в обратной теореме все условия, накладываемые на объект в прямой теореме, а условием обратной теоремы сделать только одно заключение прямой, или взять в качестве заключения обратной теоремы только часть условий, накладываемых на объект в прямой теореме, а остальную часть условий прямой теоремы вместе с её заключением сделать условием обратной теоремы.
Чтобы у школьников не сложилось представление, будто все обратные предложения верны, необходимо подбирать и такие задачи, обратное утверждение к которым оказывалось бы неверным. Например, задача.
Докажите, что у равных треугольников АВС и А1 В1 С1 медианы, проведенные из вершин А и А1, равны.
Обратное утверждение: если медианы, проведённые из вершины А и А1 треугольников АВС и А1 В1 С1 равны, то эти треугольники равны.
Ученикам нужно давать задания, чтобы выполняя их, они самостоятельно убеждались в том, что некоторые обратные предложения неверны.
Таким образом, если условие прямой теоремы сложное, то можно сформулировать несколько обратных предложений: некоторые из них (или все) могут оказаться ложными.
Теоремы, имеющие сложное заключение.
Большую дидактическую ценность представляют теоремы, имеющие сложное заключение из нескольких суждений, т.е. теоремы вида «если А, то В1 и В2, и В3. Вn». Обратное предложение будет иметь такой вид: «если В1 и В2, и В3. и Вn, то А». Однако может оказаться, что условие в нём избыточно. Поэтому перед учениками ставится задача: среди В1, В2, В3. Вn найти минимальную группу таких условий, из наличия которых будет следовать А. При выполнении задания ученик должен уметь строить контрпримеры. Без этого его работа будет малоэффективной. Например, может оказаться, что выбранная группа условий не является достаточной для А, поэтому попытки вывести А из этой группы, как следствие, к успеху не приведут. Значит, ученик должен построить контрпример.
Подобные теоремы, по существу, есть не что иное, как совокупность нескольких теорем с одинаковыми условиями. Сконструировать такую теорему можно, предложив ученикам назвать, например, свойства параллелограмма.
При доказательстве обратных теорем большую помощь могут оказать исходные (прямые) предложения.
Выполняя различные задания, о которых говорилось выше, школьники приобретают умение синтезировать условия для получения необходимого результата, самостоятельно конструируют новые для себя теоремы, учатся отделять условие от заключения, не создавать порочный круг в доказательстве, пользуясь ещё недоказанным свойством как условием.
Такие задания, как показывает практика, прекрасно активизируют познавательную деятельность школьников. Строя контрпример, он всякий раз должен учиться исследовать достаточность взятых условий на правдоподобие. Его деятельность приобретает продуктивный, творческий характер.