Что такое общие утверждения

Конспект урока математики » Общие утверждения» (5 класс)

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема: «Общие утверждения»

1) Сформировать представление об общих высказываниях, тренировать умение распознавать их и выражать в речи, сформировать представление о способах их обоснования и опровержения.

2) Тренировать умение применять понятие параллелепипеда, решать задачи на дроби, решать уравнения, выполнять действия с натуральными числами.

Ход урока:

2. Актуализация знаний и фиксация индивидуального затруднения в пробном учебном действии.

— При выполнении, каких заданий дома вы использовали понятие высказывание? (При выполнении № 227; № 228.)

— Откройте тетради и проверьте, как вы выполнили задание

— Что вы сейчас повторили? (Как доказать истинность или ложность равенств, высказывания, их истинность и ложность.)

— Вы хорошо справились с домашним заданием, а теперь рассмотрите следующее задание:

На доску вывешивается карточка с пробным заданием

— Определите основной признак, который отличают друг от друга два утверждения:

а) Сумма чисел 28 и 16 кратна 2.

б) Сумма любых двух четных чисел – четное число.

— Что нового в этом задании?

— Сформулируйте цель. (Определить существенный признак отличия утверждений друг от друга.)

— Вы можете сформулировать тему урока? (Пока нет.)

— Сформулируйте своё затруднение.

— У кого есть ответ, вы можете точно сказать и доказать, что ответили правильно?

— Сформулируйте своё затруднение.

— Что вы будете дальше делать?

3. Выявление места и причины затруднения

— Какое задание вы выполняли?

— Что вы использовали при выполнении задания?

— Почему у вас возникло затруднение? (У нас нет способа, по которому можно определить основной признак, который отличают друг от друга два утверждения.)

— Что дальше вы должны сделать?

4. Построение проекта выхода из затруднения

— Сформулируйте цель деятельности. (Найти способ, который позволит найти отличительный признак.)

— Что вам может помочь? (Знание того, что утверждения состоят из темы и ремы.)

— Как вы будете действовать? (Надо анализировать утверждения: найдём тему и рему в каждом утверждении, сделать вывод.)

5. Реализация построенного проекта

– Как вы думаете, какими высказываниями вы сегодня будете заниматься? (Высказываниями, в которых говорится о любых элементах какого то множества.)

– Какая особенность таких утверждений? (Все элементы множества обладают одними и теми же свойствами.)

– Кроме слова любые, какие могут быть слова в таких высказываниях? (Каждый, все, всегда.)

– Сформулируйте второе высказывание, с каким-нибудь другим словом. (Сумма двух чётных чисел всегда будет чётным числом; каждая пара чётных чисел в сумме даёт чётное число.)

– Придумайте высказывания, в которых есть слова, любой, каждый, всегда, все. (Учащиеся предлагают свои варианты.)

– Как можно назвать такие высказывания?

— Как можно проверить, что вы правильно открыли новые знания?

Учащиеся сопоставляют свой вариант с эталоном на стр. 139

– Дайте определение общим утверждениям. (Высказывания, в которых утверждается, что все элементы множества обладают определённым свойством

— Сформулируйте тему урока. (Общие утверждения.)

Тема фиксируется на доске и в тетрадях.

– Определите, будет высказывание общим: «Сумма двух четных чисел – четное число»? (Будет.)

– Но, в этом высказывании отсутствует слово любых? (По смыслу это подразумевается.)

– Изменится ли вид высказывания, если в утверждении отсутствует обобщающее слово. (От этого вид высказывания не меняется.)

– Каким является высказывание: «Сумма двух натуральных чисел всегда делится на 3»? (Общее высказывание, т.к. в нём говорится о сумме любых натуральных чисел.)

– Определите истинность высказывания. (Высказывание ложное.)

– Докажите, что высказывание ложное. (Например: сумма 2 и 3 не делится на 3.)

– Как вы доказали, что высказывание ложно? (Привели пример, который опровергает высказанное утверждение.)

– Как можно назвать такой пример?

После высказанных предложений появляется термин контрпример.

– Что такое контрпример? (Пример опровергающий общее утверждение

– Поведём итог: 1) по какому признаку можно сказать, что высказывание общее? (Наличие слов любой, каждый, всегда, в нём говорится обо всех элементах множества.)

2) как доказать, что общее высказывание ложно? (Привести контрпример.)

— А как доказать истинность общего утверждения? (Надо доказать, что заданное условие выполняется для каждого элемента множества, на котором рассматривается высказывание.)

На доске вывешивается правило доказательства истинности общих утверждений

6. Первичное закрепление

Задание выполняется устно, учащиеся обосновывают свой выбор.

Учащиеся могут проводить самопроверку

Задание выполняется устно в парах. Проверка проводится по образцу

7. Самостоятельная работа с самопроверкой

— Дальше я вам предлагаю поработать самостоятельно, вы сможете проверить себя.

В тетрадях записывается числовой код – общие высказывания.

Результаты выполнения № 232 (7-14) проверяются

№ 234 (а – г)

Работа сопоставляется с эталоном для самопроверки

— Что вы использовали при выполнении задания?

— Где у вас возникли затруднения?

— Почему возникли затруднения?

8. Включение в систему знаний и повторение.

№ 238 (составление буквенных выражений и нахождение значения буквенного выражения при данных значениях букв, повторение решения задач на части, 4 класс).

— Что надо помнить при решении задач.

По ходу ответов детей на доску вывешиваются правила решения задач на части ( Д–22.10 ):

— Я предлагаю поработать в группах, с отчётом групп.

Если n = 21, то 21 : 3 × 7 = 49 (ф.)

Если x = 36, то 36 – 36 : 9 × 4 = 36 – 16 = 20 (шт.)

Если a = 5, b = 2, то 4 : (5 + 2) = 4 : 7 =

Задание выполняется фронтально.

1) Рёбер – 12; граней – 6; вершин – 8.

3) 4 + 7 + 8 + 4 + 7 = 30 (см)

Задание выполняется у доски с комментариями.

1) 405 – (9 x + 70) : 4 = 383; 2) 1800 : (240 : y ) – 47 = 253;

(9 x + 70) : 4 = 405 – 383; 1800 : (240 : y ) = 253 + 47;

(9x + 70) : 4 = 22; 1800 : (240 : y) = 300;

9x + 70 = 22 × 4; 240 : y = 1800 : 300;

9x + 70 = 88; 240 : y = 6;

9x = 88 – 70; y = 240 : 6;

9. Рефлексия деятельности на уроке

– С какими высказываниями вы познакомились на уроке? (С общими высказываниями.)

— Какую цель вы ставили перед собой?

— Вам удалось достичь цели?

— Приведите пример общего утверждения, обосновав свой выбор.

– Как доказать ложность общих высказываний? (Надо привести контпример.)

— Кто сегодня учился учиться?

– Выберите из следующих высказываний те высказывания, которые для вас являются истинными

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Источник

Глава 7. Логика Утверждения «общие» и формальные

ГЛАВА 7. ЛОГИКА

Утверждения «общие» и формальные

Даже небрежііые утверждения понятвы и не вызывают у собеседников проблем до тех пор, пока речь идет о привычных вещах.

Изаестный анекдот. Затерянные в

дят в пустыне бедуина. “ ’

В этот момент порыв ветра уносит шар s сторону.

ШЈІHIQИ Н bI ЧІІСТО НОСЯТ ПЛ ІІТЬЯ, ХОТЯ ОЫВПЈIT, ЧТО И ПИДШіlКИ

тоже. Кроме того, все это неверно на пляже или в бане.

Теперь представим себе похожую формулу. + Квадраты имеют по четыре стороны, а треугольники — по три». Следует ли это понимать в том же смысле? — мол, у квадрата обычно четыре стороны, но в особых случаях может быть одна или две, а треугольники часто встречаются с тремя сторонами, но бывают и с пятью, и с четырьмя, при этом третыо на пляже не надевают.

Обратный пример: известно, что у квадратов диагонали перпевдикулярны. Это означает, что не существует квадрата, который имел бы неперпендикулярные диагонали.

Кстати, развитием математических логик среди прочих занимался Чарльз Лютвидж Доджсон. Одна из книг по логике «Логическая игра» вышла у не- го такой, что он решил ее издать под именем Льюиса Кэрролла.

Например, у всякого квадрата диагонали взаимно перпен-

Отрицанне

Наоборот — если исходное утверждение говорит, что тотя бы o#uн объект обладает неким свойством, то отрицание будет говорить, что все объекты этим свойством не обладают. too можно записать формально, используя буквенвые обозначе-

Все Х из множества М обладают свойством 51

отрицание будет выглядеть так:

Хотя бы один Х из множества М не обладает свойством 51

Хотя бы один Х из множества М обладает свойством 51

отрицание строится по такому же правилу:

Все Х из множества М не обладают свойством Ѕ.

Если А отрицание для В, то В отрицание для А. При этом верным будет одно и только одно из этих утверждений.

А. Все птицы летают;

В. С уществует птица, которая не летает.

ЭТИ В€І]ЗШДЈІНИЯ ОТ>ЗИЦПНИ Я Д]З Р ДЛЯ Д>З PЈf. ДПНHOM

случае верно только второе.

Зада•іа 186. Даны утверждения. а) Все кошки ступают мягко.

6) Среди англичан найдется хотя бы один брюнет.

в) Существует квадрат, у которого диагонали не перпен-

г) Все собаки имеют хвосты.

Поетройте отрицания к этим утверждениям.

Задача 187. Даны утверждения. а) Все мыши имеют хвоет.

6) Найдется река, в которой не водитея рыба.

в) Сущестует кошка, не покрытая шерстью. г) Все треугольники — оетроугольные.

Поетройте отрицания к этим утверждениям.

Задача 188. Выберите отрицания к утверждению «вее рыбы плавают» :

Все, кто не плавает, — не рыбы. Все, кто плавает, — рыбы. Все рыбы не плавают. Не веякая рыба плавает. Не веякое плавающее животное — рыба. Найдется неплавающая рыба. Хотя бы одна рыба не плавает.

Задача 189. Выберите отрицания к утверждению «все слоны живут в Африке» :

Т) Найдется слон, не живущий в Африке.

Формальная запись поможет понять общий принцип. Для утверждения

А. Все Х из множества М обладают свойством 51.

противоположным будет утверждение

В. Если Х не обладает свойством 51, то Х не принадле-

Еще один пример противоположных утверждений: А. Все квадраты являются параллелограммами;

В. Если фигура не параллелограмм, то она не является квадратом.

Построение отрицаний и противоположных утверждений широко используется при доказательствах.

Проверка истинности.

Доказательства и контрпримерьl

Математика старается избегать таких неоднозначностей и неуточненностей, а если все же приходится с ними иметь дело, математики придумывают для этого специальные средства.

Есть утверждения, которые изначально считаются истин-

ными. Их называют аксиомами, и с ними все в порядке их

Приведем два примере.

ет. Значит, утверждение ложно.

Утверждение: «Внутри всякого треугольяика найдется точка, одинаково удаленная от всех вершин этого треуголь-

>3 ШНОСТИ. TO ЈІСЛИ Т>ЗЈІ РОЛ ЬНИК Т ПО РОЛЬНЫи, ТО 3TП ТОЧКі1

МЫ НіlШЛИ КОНТ]ЗП>ЗИМЈІ>З — Т ПО РОЛ bH ЫЙ Т]ЗЈІ РОЛЬНИК, BH Т-

ри которого такой точки нет. Утверждение опровергнуто.

Задача 190. Найдите контрпримеры к следующим утвержде-

а) все птицы умеют летать;

6) сумма двух чисел всегда больше каждого из слагаемых; в) все обезьяны живут в Африке.

г) в каждый параллелограмм можно вписать окружность.

Возможньtй ответ: а) пингвив — птица нелетающая;

Чаще всего утверждения формулируются мне вообще», а при некоторых условиях, которые считается достоверными.

Ваня старше Володи. Ваня cтapme Маши. Маша младше Лены. Лена младше Вани. Володя старше Mamи.

Замечание. В таких задачах многое оодразумевается, хотя

не сказано явно. Например, здесь подразумевается, что:

Источник

общее утверждение

Смотреть что такое «общее утверждение» в других словарях:

Общее — F.1. Общее В настоящем стандарте приводится большое число общих требований, которые могут или не могут быть применены в отношении отдельной машины. Поэтому простое, без квалифицированной оценки утверждение о соответствии оборудования всем… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Общее собрание акционеров — Общее собрание акционеров высший орган управления в акционерном обществе, состоящий из акционеров владельцев именных обыкновенных акций общества, а в некоторых случаях, предусмотренных Законом РФ «Об акционерных обществах», также из… … Википедия

Общее собрание — акционеров высший орган управления в акционерном обществе, состоящий из акционеров владельцев именных обыкновенных акций общества, а в некоторых случаях, предусмотренных Законом РФ «Об акционерных обществах», также из акционеров владельцев… … Википедия

ОБЩЕЕ СОБРАНИЕ АКЦИОНЕРОВ — высший орган управления акционерного общества (АО). Для правомочности О.с.а. необходимо, чтобы оно имело кворум (т.е. на нем было зарегистрировано более половины голосов размещ. голосующих акций). АО обязано ежегодно проводить О.с.а. в сроки,… … Финансово-кредитный энциклопедический словарь

Общее собрание акционерного общества — 1. Высшим органом управления акционерным обществом является общее собрание его акционеров. К исключительной компетенции общего собрания акционеров относятся: 1) изменение устава общества, в том числе изменение размера его уставного капитала; 2)… … Официальная терминология

Утверждение уголовных приговоров — административною властью или высшей судебной инстанцией было принято за общее правило в процессе розыскного типа, где каждое дело по рассмотрении его судом первой степени восходило, в силу закона, на ревизию в высшие инстанции, причем приговор… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Общее собрание акционеров — Высший орган управления акционерным обществом. К исключительной компетенции общего собрания акционеров относятся: 1) изменение устава общества, в том числе изменение размера его уставного капитала; 2) избрание членов совета директоров… … Словарь: бухгалтерский учет, налоги, хозяйственное право

ОБЩЕЕ ДЕЛО — название, закрепившееся за философским учением Н. Ф. Федорова (1829 1903). В качестве синонимов используются термины супраморализм и патрофикация (все определения условны, т. к. сам Н. Ф. Федоров предпочитал устное изложение своих идей, а их… … Современный философский словарь

“СТОЛП И УТВЕРЖДЕНИЕ ИСТИНЫ” — “СТОЛП И УТВЕРЖДЕНИЕ ИСТИНЫ. Опыт православной теодицеи в двенадцати письмах” сочинение П. А. Флоренского. В основном было написано в годы его второго студенчества в Московской духовной академии (1904 08). Первая редакция под названием “Столп … Философская энциклопедия

«СТОЛП И УТВЕРЖДЕНИЕ ИСТИНЫ. — «СТОЛП И УТВЕРЖДЕНИЕ ИСТИНЫ. Опыт православной теодицеи в двенадцати письмах» – сочинение П.А.Флоренского. В основном было написано в годы его второго студенчества в Московской духовной академии (1904–08). Первая редакция под названием «Столп и… … Философская энциклопедия

СТОЛП И УТВЕРЖДЕНИЕ ИСТИНЫ. ОПЫТ ПРАВОСЛАВНОЙ ТЕОДИЦЕИ — ’СТОЛП И УТВЕРЖДЕНИЕ ИСТИНЫ. Опыт православной теодицеи’ (1914) четвертый переработанный вариант магистерской диссертации Флоренского. Работа посвящена решению важнейшей для русской религиозной философии задачи теодицеи, которая рассматривается… … История Философии: Энциклопедия

Источник

Что такое общие утверждения

МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ XII

§ 261. Общие и частные утверждения. Дедукция и индукция.

Все утверждения можно разделить на общие и частные. Примерами общих утверждений яляются утверждения:

1) в любом треугольнике сумма двух сторон больше третьей стороны;

2) все числа, оканчивающиеся четной цифрой, делятся на 2 и т. д.

Частными являются, например, утверждения:

1) в треугольнике ABC (рис. 337) сумма двух сторон АВ и ВС больше третьей стороны АС.

2) число 136 делится на 2.

Переход от общих утверждений к частным называется дедукцией. Дедукция очень часто используется в математике. Все общие теоремы мы доказываем именно для того, чтобы затем использовать их для решения различных частных задач.

Но наряду с этим математике часто приходится от частных утверждений переходить к общим. Например, рассматривая арифметическую прогрессию

(см. ч. I, § 142), мы заметили, что

Исходя из этих частных формул, мы сделали вывод, что при любом натуральном п

Переход от частных утверждений к общим называется индукцией.

В отличие от дедукции индукция может привести как к верным, так и к неверным результатам. Например, рассматривая значения квадратного трехчлена f (n) = n 2 + п + 41 при малых натуральных значениях п, можно заметить, что эти значения выражаются простыми числами (то есть числами, которые без остатка делятся только на себя и на 1). Действительно,

и т. д. Напрашивается вывод, что при любом натуральном п значение выражения n 2 + п + 41 является простым числом. Однако вывод этот является неверным. Например, при п = 41

n 2 + п + 41 = 41 2 + 41 +41 =41(41 + 1 + 1) = 41 • 43.

Пусть некоторое утверждение справедливо в нескольких частных случаях. Рассмотрение всех остальных случаев или совсем невозможно, или требует большого числа вычислений. Как же узнать, справедливо ли это утверждение вообще? Этот вопрос иногда удается решить посредством применения особого метода рассуждений, называемого методом математической индукции. Этот метод мы рассмотрим в следующем параграфе.

В математике уже издавна используется индуктивный метод, основанный на том, что то или иное общее утверждение делается на основании рассмотрения лишь нескольких частных случаев. История, например, сохранила следующее высказывание Эйлера: «У меня нет для доказательства никаких других доводов, за исключением длинной индукции, которую я провел так далеко, что никоим образом не могу сомневаться в законе, управляющем образованием этих членов. И кажется невозможным, чтобы закон, который, как было обнаружено, выполняется, например, для 20 членов, нельзя было бы наблюдать и для следующих».

Веря в непогрешимость индукции, ученые иногда допускали грубые ошибки. К середине семнадцатого столетия в математике накопилось немало ошибочных выводов. Стала силыю ощущаться потребность в научно обоснованном методе, который позволял бы делать общие выводы на основании рассмотрения нескольких частных случаев. И такой метод был разработан. Основная заслуга в этом принадлежит французским математикам Паскалю (1623—1662) и Декарту, а также швейцарскому математику Якобу Бернулли (1654—1705).

2090. Какие из данных утверждений являются общими и какие частными:

б) всякое число, оканчивающееся цифрой 6, четное;

в) синус любого угла по абсолютной величине не превышает 1;

г) синус угла 50° меньше 1;

д) десятичный логарифм числа —2 не определен;

е) отрицательные числа не имеют десятичных логарифмов?

2091. Числа 24, 64, 104 делятся на 4. Можно ли на основании этого сказать, что любое число, оканчивающееся цифрой 4, делится на 4?

2092. Синусы углов 45° и 60° иррациональны ( √ 2 /₂ и √ 3 /₂)

Можно ли из этого заключить, что синусы любых углов иррациональны?

Источник