Что такое однозначные натуральные числа

Натуральные числа для нас очень привычны и естественны. И это не удивительно, так как знакомство с ними начинается с первых лет нашей жизни на интуитивно понятном уровне.

Информация этой статьи создает базовое представление о натуральных числах, раскрывает их предназначение, прививает навыки записи и чтения натуральных чисел. Для лучшего усвоения материала приведены необходимые примеры и иллюстрации.

Навигация по странице.

Натуральные числа – общее представление.

Не лишено здравой логики следующее мнение: появление задачи счета предметов (первый, второй, третий предмет и т.д.) и задачи указания количества предметов (один, два, три предмета и т.д.) обусловило создание инструмента для ее решения, этим инструментом явились натуральные числа.

Из этого предложения видно основное предназначение натуральных чисел – нести в себе информацию о количестве каких-либо предметов или порядковом номере данного предмета в рассматриваемом множестве предметов.

Чтобы человек мог использовать натуральные числа, они должны быть каким-либо образом доступны как для восприятия, так и для воспроизведения. Если озвучить каждое натуральное число, то оно станет воспринимаемым на слух, а если изобразить натуральное число, то его можно будет увидеть. Это самые естественные способы, позволяющие донести и воспринять натуральные числа.

Так приступим же к приобретению навыков изображения (записи) и навыков озвучивания (чтения) натуральных чисел, познавая при этом их смысл.

Десятичная запись натурального числа.

Сначала следует определиться с тем, от чего мы будем отталкиваться при записи натуральных чисел.

Давайте запомним изображения следующих знаков (покажем их через запятую): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Приведенные изображения представляют собой запись так называемых цифр. Давайте сразу договоримся не переворачивать, не наклонять и иным образом не искажать цифры при записи.

Теперь условимся, что в записи любого натурального числа могут присутствовать только лишь указанные цифры и не могут присутствовать никакие другие символы. Также условимся, что цифры в записи натурального числа имеют одинаковую высоту, располагаются в строчку друг за другом (с почти отсутствующими отступами) и слева находится цифра, отличная от цифры 0.

Приведем несколько примеров правильной записи натуральных чисел: 604, 777 277, 81, 4 444, 1 001 902 203, 5, 900 000 (обратите внимание: отступы между цифрами не всегда одинаковы, подробнее об этом будет сказано при рассмотрении классов натуральных чисел). Из приведенных примеров видно, что в записи натурального числа не обязательно присутствуют все из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; некоторые или все цифры, участвующие в записи натурального числа, могут повторяться.

Записи 014, 0005, 0, 0209 не являются записями натуральных чисел, так как слева находится цифра 0.

Запись натурального числа, выполненная с учетом всех требований, описанных в этом пункте, называется десятичной записью натурального числа.

Дальше мы не будем разграничивать натуральные числа и их запись. Поясним это: дальше в тексте будут использоваться фразы типа «дано натуральное число 582», которые будут означать, что дано натуральное число, запись которого имеет вид 582.

Натуральные числа в смысле количества предметов.

Пришло время разобраться с количественным смыслом, который несет в себе записанное натуральное число. Смысл натуральных чисел в плане нумерации предметов рассмотрен в статье сравнение натуральных чисел.

Начнем с натуральных чисел, записи которых совпадают с записями цифр, то есть, с чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.

Теперь открываем глаза и видим: . То есть, мы видим один предмет и еще один предмет. В этом случае можно записать, что мы видим 2 предмета. Натуральное число 2, читается как «два».

Аналогично, — 3 предмета (читается «три» предмета), — 4 («четыре») предмета, — 5 («пять»), — 6 («шесть»), — 7 («семь»), — 8 («восемь»), — 9 («девять») предметов.

Итак, с рассмотренной позиции натуральные числа 1, 2, 3, …, 9 указывают количество предметов.

Число, запись которого совпадает с записью цифры 0, называют «нуль». Число нуль НЕ натуральное, однако, его обычно рассматривают вместе с натуральными числами. Запомним: нуль означает отсутствие чего-либо. Например, нуль предметов – это ни одного предмета.

В следующих пунктах статьи мы продолжим раскрывать смысл натуральных чисел в плане указания количества.

Однозначные натуральные числа.

Перечислим все однозначные натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Всего однозначных натуральных чисел девять.

Двузначные и трехзначные натуральные числа.

Сначала дадим определение двузначных натуральных чисел.

К примеру, натуральное число 45 – двузначное, числа 10, 77, 82 тоже двузначные, а 5 490, 832, 90 037 – не двузначные.

Давайте разберемся, какой смысл несут в себе двузначные числа, при этом будем отталкиваться от уже известного нам количественного смысла однозначных натуральных чисел.

Для начала введем понятие десятка.

Представим такую ситуацию – мы открыли глаза и увидели множество, состоящее из девяти предметов и еще одного предмета. В этом случае говорят об 1 десятке (одном десятке) предметов. Если рассматривают вместе один десяток и еще один десяток, то говорят о 2 десятках (двух десятках). Если к двум десяткам присоединить еще один десяток, то будем иметь три десятка. Продолжая этот процесс, будем получать четыре десятка, пять десятков, шесть десятков, семь десятков, восемь десятков, и наконец, девять десятков.

Теперь мы можем перейти к сути двузначных натуральных чисел.

Для этого посмотрим на двузначное число как на два однозначных числа – одно находится слева в записи двузначного числа, другое находится справа. Число слева указывает количество десятков, а число справа – количество единиц. При этом если справа в записи двузначного числа находится цифра 0, то это означает отсутствие единиц. В этом и есть весь смысл двузначных натуральных чисел в плане указания количества.

К примеру, двузначное натуральное число 72 соответствует 7 десяткам и 2 единицам (то есть, 72 яблока – это множество из семи десятков яблок и еще двух яблок), а число 30 отвечает 3 десяткам и 0 единицам, то есть, единиц, которые не объединены в десятки, нет.

Ответим на вопрос: «Сколько всего существует двузначных натуральных чисел»? Ответ: их 90.

Переходим к определению трехзначных натуральных чисел.

Натуральные числа, запись которых состоит из 3 знаков – 3 цифр (различных или повторяющихся), называются трехзначными.

Примерами натуральных трехзначных чисел являются 372, 990, 717, 222. Натуральные числа 7 390, 10 011, 987 654 321 234 567 не являются трехзначными.

Для понимания смысла, заложенного в трехзначных натуральных числах, нам понадобится понятие сотни.

Множество из десяти десятков – это 1 сотня (одна сотня). Сотня и сотня – это 2 сотни. Две сотни и еще одна сотня – это три сотни. И так далее, имеем четыре сотни, пять сотен, шесть сотен, семь сотен, восемь сотен, и, наконец, девять сотен.

Теперь посмотрим на трехзначное натуральное число как на три однозначных натуральных числа, идущих друг за другом справа налево в записи трехзначного натурального числа. Число справа указывает количество единиц, следующее число указывает количество десятков, следующее число – количество сотен. Цифры 0 в записи трехзначного числа означают отсутствие десятков и (или) единиц.

Таким образом, трехзначное натуральное число 812 соответствует 8 сотням, 1 десятку и 2 единицам; число 305 – трем сотням (0 десяткам, то есть, десятков, не объединенных в сотни, нет) и 5 единицам; число 470 – четырем сотням и семи десяткам (единиц, не объединенных в десятки, нет); число 500 – пяти сотням (десятков, не объединенных в сотни, и единиц, не объединенных в десятки, нет).

Аналогичным образом можно дать определения четырехзначных, пятизначных, шестизначных и т.д. натуральных чисел.

Многозначные натуральные числа.

Итак, переходим к определению многозначных натуральных чисел.

Многозначные натуральные числа – это натуральные числа, запись которых состоит из двух или трех или четырех и т.д. знаков. Иными словами, многозначные натуральные числа – это двузначные, трехзначные, четырехзначные и т.д. числа.

Сразу скажем, что множество, состоящее из десяти сотен, – это одна тысяча, тысяча тысяч – это один миллион, тысяча миллионов – это один миллиард, тысяча миллиардов – это один триллион. Тысяче триллионов, тысяче тысяч триллионов и так далее также можно дать свои названия, но в этом нет особой надобности.

Так какой смысл скрывается за многозначными натуральными числами?

К примеру, многозначное натуральное число 7 580 521 соответствует 1 единице, 2 десяткам, 5 сотням, 0 тысячам, 8 десяткам тысяч, 5 сотням тысяч и 7 миллионам.

Таким образом, мы научились группировать единицы в десятки, десятки в сотни, сотни в тысячи, тысячи в десятки тысяч и так далее и выяснили, что цифры в записи многозначного натурального числа указывают соответствующее количество вышеперечисленных групп.

Чтение натуральных чисел, классы.

Мы уже упоминали, как читаются однозначные натуральные числа. Выучим содержимое следующих таблиц наизусть.

Чтобы научиться читать двузначные числа, придется запомнить данные следующих таблиц.

А как читаются остальные двузначные числа?

Поясним на примере. Прочитаем натуральное число 74. Как мы выяснили выше, это число соответствует 7 десяткам и 4 единицам, то есть, 70 и 4. Обращаемся к только что записанным таблицам, и число 74 читаем как: «Семьдесят четыре» (союз «и» не произносим). Если нужно прочитать число 74 в предложении: «Нет 74 яблок» (родительный падеж), то это будет звучать так: «Нет семидесяти четырех яблок». Еще пример. Число 88 – это 80 и 8, следовательно, читаем: «Восемьдесят восемь». А вот пример предложения: «Он думает о восьмидесяти восьми рублях».

Переходим к чтению трехзначных натуральных чисел.

Для этого нам придется выучить еще несколько новых слов.

Осталось показать, как читаются остальные трехзначные натуральные числа. При этом будем использовать уже полученные навыки чтения однозначных и двузначных чисел.

Разберем пример. Прочитаем число 107. Это число соответствует 1 сотне и 7 единицам, то есть, 100 и 7. Обратившись к таблицам, читаем: «Сто семь». А теперь произнесем число 217. Это число есть 200 и 17, поэтому, читаем: «Двести семнадцать». Аналогично, 888 – это 800 (восемьсот) и 88 (восемьдесят восемь), читаем: «Восемьсот восемьдесят восемь».

Переходим к чтению многозначных чисел.

Для чтения запись многозначного натурального числа разбивается, начиная справа, на группы по три цифры, при этом в самой левой такой группе может оказаться либо 1, либо 2, либо 3 цифры. Эти группы называются классами. Класс, находящийся справа, называют классом единиц. Следующий за ним (справа налево) класс называют классом тысяч, следующий класс – классом миллионов, следующий – классом миллиардов, далее идет класс триллионов. Можно дать названия и следующих классов, но натуральные числа, запись которых состоит из 16, 17, 18 и т.д. знаков, обычно не читают, так как их очень трудно воспринять на слух.

Посмотрите на примеры разбиения многозначных чисел на классы (для наглядности классы отделяют друг от друга небольшим отступом): 489 002, 10 000 501, 1 789 090 221 214.

Занесем записанные натуральные числа в таблицу, по которой легко научиться их читать.

Прочитаем число 489 002 по приведенным правилам.

Чтение ведем слева направо,

Приступаем к чтению числа 10 000 501.

Осталось прочитать натуральное число 1 789 090 221 214.

Сделаем это без подробных пояснений: 1 789 090 221 214 – «один триллион семьсот восемьдесят девять миллиардов девяноста миллионов двести двадцать одна тысяча двести четырнадцать».

Итак, в основе навыка чтения многозначных натуральных чисел лежит умение разбивать многозначные числа на классы, знание названий классов и умение читать трехзначные числа.

Рекомендуем также изучить тему из курса русского языка «склонение числительных».

Разряды натурального числа, значение разряда.

В записи натурального числа значение каждой цифры зависит от ее позиции. К примеру, натуральное число 539 соответствует 5 сотням, 3 десяткам и 9 единицам, следовательно, цифра 5 в записи числа 539 определяет количество сотен, цифра 3 – количество десятков, а цифра 9 – количество единиц. При этом говорят, что цифра 9 стоит в разряде единиц и число 9 является значением разряда единиц, цифра 3 стоит в разряде десятков и число 3 является значением разряда десятков, а цифра 5 – в разряде сотен и число 5 является значением разряда сотен.

Таким образом, разряд – это с одной стороны позиция цифры в записи натурального числа, а с другой стороны значение этой цифры, определяемое ее позицией.

Разрядам присвоены названия. Если смотреть на цифры в записи натурального числа справа налево, то им будут соответствовать следующие разряды: единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч, миллионов, десятков миллионов и так далее.

Названия разрядов удобно запоминать, когда они представлены в виде таблицы. Запишем таблицу, содержащую названия 15 разрядов.

Заметим, что количество разрядов данного натурального числа равно количеству знаков, участвующих в записи этого числа. Таким образом, в записанной таблице содержатся названия разрядов всех натуральных чисел, запись которых содержит до 15 знаков. Следующие разряды также имеют свои названия, но они очень редко используются, поэтому не имеет смысла их упоминать.

С помощью таблицы разрядов удобно определять разряды данного натурального числа. Для этого нужно записать в эту таблицу данное натуральное число так, чтобы в каждом разряде оказалась одна цифра, и крайняя справа цифра оказалась в разряде единиц.

Приведем пример. Запишем натуральное число 67 922 003 942 в таблицу, при этом станут отчетливо видны разряды и значения этих разрядов.

В записи этого числа цифра 2 стоит в разряде единиц, цифра 4 – в разряде десятков, цифра 9 – в разряде сотен и т.д. Следует обратить внимание на цифры 0, находящиеся в разрядах десятков тысяч и сотен тысяч. Цифры 0 в этих разрядах означают отсутствие единиц данных разрядов.

Следует еще обмолвиться о так называемом низшем (младшем) и высшем (старшем) разряде многозначного натурального числа. Низшим (младшим) разрядом любого многозначного натурального числа является разряд единиц. Высшим (старшим) разрядом натурального числа является разряд, соответствующий крайней справа цифре в записи этого числа. Например, младшим разрядом натурального числа 23 004 является разряд единиц, а старшим – разряд десятков тысяч. Если в записи натурального числа двигаться по разрядам слева направо, то каждый следующий разряд ниже (младше) предыдущего. Например, разряд тысяч младше разряда десятков тысяч, тем более разряд тысяч младше разряда сотен тысяч, миллионов, десятков миллионов и т.д. Если же в записи натурального числа двигаться по разрядам справа налево, то каждый следующий разряд выше (старше) предыдущего. Например, разряд сотен старше разряда десятков, и тем более, старше разряда единиц.

В некоторых случаях (например, при выполнении сложения или вычитания) используется не само натуральное число, а сумма разрядных слагаемых этого натурального числа.

Вкратце о десятичной системе счисления.

Итак, мы познакомились с натуральными числами, со смыслом, заложенным в них, и способом записи натуральных чисел с помощью десяти цифр.

Вообще, метод записи чисел с помощью знаков, называют системой счисления. Значение цифры в записи числа может зависеть от ее позиции, а может и не зависеть от ее позиции. Системы счисления, в которых значение цифры в записи числа зависит от ее позиции, называют позиционными.

Таким образом, рассмотренные нами натуральные числа и метод их записи, указывает на то, что мы пользуемся позиционной системой счисления. Следует заметить, что особое место в этой системе счисления имеет число 10. Действительно, счет ведется десятками: десять единиц объединяются в десяток, десяток десятков объединяется в сотню, десяток сотен – в тысячу, и так далее. Число 10 называют основанием данной системы счисления, а саму систему счисления называют десятичной.

Помимо десятичной системы счисления существуют и другие, например, в информатике используется двоичная позиционная система счисления, а с шестидесятеричной системой мы сталкиваемся, когда речь идет об измерении времени.

Источник

Натуральные числа

Определение натурального числа

Натуральные числа — это числа, которые мы используем для подсчета чего-то конкретного, осязаемого.

Вот какие числа называют натуральными: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 и т. д.

Натуральный ряд — последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания. Первые сто можно посмотреть в таблице.

Какие операции возможны над натуральными числами

Записывайтесь на курсы обучения математике для учеников с 1 по 11 классы!

Десятичная запись натурального числа

В школе мы проходим тему натуральных чисел в 5 классе, но на самом деле многое нам может быть интуитивно понятно и раньше. Проговорим важные правила.

Мы регулярно используем цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При записи любого натурального числа можно использовать только эти цифры без каких-либо других символов. Записываем цифры одну за другой в строчку слева направо, используем одну высоту.

Примеры правильной записи натуральных чисел: 208, 567, 24, 1 467, 899 112. Эти примеры показывают нам, что последовательность цифр может быть разной и некоторые даже могут повторяться.

077, 0, 004, 0931 — это примеры неправильной записи натуральных чисел, потому что ноль расположен слева. Число не может начинаться с нуля. Это и есть десятичная запись натурального числа.

Количественный смысл натуральных чисел

Натуральные числа несут в себе количественный смысл, то есть выступают в качестве инструмента для нумерации.

Представим, что перед нами банан 🍌. Мы можем записать, что видим 1 банан. При этом натуральное число 1 читается как «один» или «единица».

Но термин «единица» имеет еще одно значение: то, что можно рассмотреть, как единое целое. Элемент множества можно обозначить единицей. Например, любое дерево из множества деревьев — единица, любой листок из множества листков — единица.

Представим, что перед нами 2 банана 🍌🍌. Натуральное число 2 читается как «два». Далее, по аналогии:

Основная функция натурального числа — указать количество предметов.

Если запись числа совпадает с цифрой 0, то его называют «ноль». Напомним, что ноль — не натуральное число, но он может обозначать отсутствие. Ноль предметов значит — ни одного.

Однозначные, двузначные и трехзначные натуральные числа

Однозначное натуральное число — это такое число, в составе которого один знак, одна цифра. Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двузначные натуральные числа — те, в составе которых два знака, две цифры. Цифры могут повторяться или быть различными. Например: 88, 53, 70.

Если множество предметов состоит из девяти и еще одного, значит, речь идет об 1 десятке («один десяток») предметов. Если один десяток и еще один, значит, перед нами 2 десятка («два десятка») и так далее.

По сути, двузначное число — это набор однозначных чисел, где одно записывается справа, а другое слева. Число слева показывает количество десятков в составе натурального числа, а число справа — количество единиц. Всего двузначных натуральных чисел — 90.

Трехзначные натуральные числа — числа, в составе которых три знака, три цифры. Например: 666, 389, 702.

Одна сотня — это множество, состоящее из десяти десятков. Сотня и еще одна сотня — 2 сотни. Прибавим еще одну сотню — 3 сотни.

Вот как происходит запись трехзначного числа: натуральные числа записываются одно за другим слева направо.

Крайнее правое однозначное число указывает на количество единиц, следующее — на количество десятков, крайнее левое — на количество сотен. Цифра 0 показывает отсутствие единиц или десятков. Поэтому 506 — это 5 сотен, 0 десятков и 6 единиц.

Точно так же определяются четырехзначные, пятизначные, шестизначные и другие натуральные числа.

Многозначные натуральные числа

Многозначные натуральные числа состоят из двух и более знаков.

1 000 — это множество с десятью сотнями, 1 000 000 состоит из тысячи тысяч, а один миллиард — это тысяча миллионов. Тысяча миллионов, только представьте! То есть мы можем рассмотреть любое многозначное натуральное число как набор однозначных натуральных чисел.

Например, 2 873 206 содержит в себе: 6 единиц, 0 десятков, 2 сотни, 3 тысячи, 7 десятков тысяч, 8 сотен тысяч и 2 миллиона.

Сколько всего натуральных чисел?

Однозначных 9, двузначных 90, трехзначных 900 и т.д.

Свойства натуральных чисел

Об особенностях натуральных чисел мы уже знаем. А теперь подробно расскажем про их свойства:

Разряды натурального числа и значение разряда

Напомним, что от позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Так, например, 1 123 содержит в себе: 3 единицы, 2 десятка, 1 сотню, 1 тысячу. При этом можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен и 1 служит значением разряда тысяч.

Разряд — это позиция, место расположения цифры в записи натурального числа.

У каждого разряда есть свое название. Слева всегда располагаются старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.

Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.

Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.

Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.

Вы наверняка заметили, что в учебниках часто ставят небольшие пробелы при записи многозначных чисел. Так делают, чтобы натуральные числа было удобно читать. А еще — чтобы визуально разделить разные классы чисел.

Класс — это группа разрядов, которая содержит в себе три разряда: единицы, десятки и сотни.

Десятичная система счисления

Люди в разные времена использовали разные методы записи чисел. И каждая система счисления имеет свои правила и особенности.

Десятичная система счисления — самая распространенная система счисления, в которой для записи чисел используют десять знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В десятичной системе значение одной и той же цифры зависит от ее позиции в записи числа. Например, число 555 состоит из трех одинаковых цифр. В этом числе первая слева цифра означает пять сотен, вторая — пять десятков, а третья — пять единиц. Так как значение цифры зависит от ее позиции, десятичную систему счисления называют позиционной.

Вопрос для самопроверки

Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между точками с координатами:

Источник