Что такое ограниченная и неограниченная функция

Пусть , тогда , отсюда
получаем . Обратное неверно.

Контрольный пример:
в окрестности точки 0.
– не существует.

Бесконечно малые и их свойства.

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Примеры.

Основные свойства бесконечно малых функций (б.м.)

1° Сумма конечного числа б.м. функций является функцией бесконечно малой.
2° Произведение б функции на ограниченную есть функция бесконечно малая.
3° Произведение двух б.м функций есть функция бесконечно малая..
4° Произведение б.м функции на константу является бесконечно малой функцией.
5° Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция бесконечно малая.
6° Функция , обратная к б.м функции , есть функция бесконечно большая. Верно и обратное.

Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. Предел суммы равен сумме пределов, если они
существуют:

Доказательство:


Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:



Получаем

Теорема 2. Предел произведения равен произведению пределов, если они существуют:
Доказательство:


Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:


Получаем Теорема 3. Предел частного равен частному пределов: . При
условии: все пределы существуют и .
Доказательство:


Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

;
Получаем:

Теорема 4. Предел сохраняет знак неравенства. Если .

Доказательство:

Следовательно,
Следствие:

Теорема 5. Если функция ограниченна и монотонна на (a, b), то она имеет предел:

20-21. Первый и второй замечательные пределы и следствия.
Теорема. Первый замечательный предел .
Доказательство (геометрическое):

Так как , то .

Следствия из теоремы:

1)
2)
3)
4)
5)
Теорема. Второй замечательный предел .
Доказательство:
Бином Ньютона:
, где .
Используем бином Ньютона для доказательства неравенства:

Отсюда заключаем, что , а значит .
Следствия из теоремы:
1)
2)
3)
4)

22. Сравнения бесконечно малыхвеличин (б.м.в.) Эквивалентные бесконечно малые.

Непрерывность функции. Определение непрерывности функции в точке и на промежутке. Теорема об арифметических действиях над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции. Ограниченность непрерывной функции.

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.
Функция называется непрерывной справа в точке , если .
Функция называется непрерывной слева в точке , если .
Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция называется непрерывной на отрезке , если она является непрерывной в интервале , непрерывной справа в точке , то есть и непрерывной слева в точке , то есть .

26. Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции на замкнутом промежутке.

1) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.

И зображенная на рисунке
функция непрерывна на отрезке и принимает свое наибольшее значение M в точке , а наименьшее m – вточке . Для любого справедливо неравенство: .
2) Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует постоянная такая, что

27. Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении функции.
Если непрерывная функция, определённая на вещественном интервале, принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Следствия теоремы Больцано-Коши

1. Теорема о нуле непрерывной функции.
Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой значение функции равно нулю.

2. В частности любой многочлен нечётной степени имеет, по меньшей мере, один нуль.

Источник

§ 05. Свойства функций

Определение 1. Функция называется Монотонно возрастающей на множестве , если для любой пары точек из условия следует, что , то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение 2. Функция называется Монотонно убывающей на множестве , если для любой пары точек из условия следует, что , то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Монотонно возрастающие и монотонно убывающие функции называют монотонными.

Монотонные функции обладают следующими свойствами:

1) сумма двух монотонно возрастающих (монотонно убывающих) функций является монотонно возрастающей (монотонно убывающей) функцией;

2) произведение двух положительных монотонно возрастающих (монотонно убывающих) функций является монотонно возрастающей (монотонно убывающей) функцией;

3) если функция монотонно возрастающая (монотонно убывающая), то функция монотонно убывающая (монотонно возрастающая);

4) если положительная функция является монотонно возрастающей (монотонно убывающей), то функция является монотонно убывающей (монотонно возрастающей);

5) если функция монотонная, то она имеет обратную функцию.

Определение 3. Функция называется Ограниченной сверху на множестве , если существует такое число М, что значение функции в любой точке не превосходит этого числа, то есть для любого выполняется неравенство .

Определение 4. Функция называется Ограниченной снизу на множестве , если существует такое число M, что значение функции в любой точке не меньше этого числа, то есть для любого выполняется неравенство .

Ограниченная сверху и снизу на множестве Х функция называется ограниченной на этом множестве. Другими словами, если функция ограничена на множестве Х, то существуют такие числа M и М, что для всех . Условие ограниченности можно также записать в виде для некоторого положительного числа М.

Определение 5. Точка называется точкой Максимума функции , если существует окрестность этой точки такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство .

Определение 6. Точка называется точкой Минимума функции , если существует окрестность этой точки такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума называют точками Экстремума функции.

Заметим, что функция в области своего определения может иметь несколько точек максимума или минимума.

Определение 7. Будем говорить, что в точке функция принимает Наибольшее на множестве Х значение, если для всех точек справедливо неравенство .

Определение 8. Будем говорить, что в точке функция принимает Наименьшее на множестве Х значение, если для всех точек справедливо неравенство .

Если множество Х представляет собой отрезок [A; B], то наибольшее и наименьшее значения функция принимает либо в точке экстремума, либо на конце отрезка.

Говорят, что множество Х Симметрично относительно начала координат, если для любой точки противоположная точка .

Определение 9. Функция называется Четной, если ее область определения симметрична относительно начала координат, и для любого .

Определение 10. Функция называется Нечетной, если ее область определения симметрична относительно начала координат, и для любого .

График четной функции имеет ось симметрии: так как точки и принадлежат графику функции, то он симметричен относительно оси ординат. График нечетной функции имеет центр симметрии: так как точки и принадлежат графику функции, то он симметричен относительно начала координат.

Четные и нечетные функции обладают следующими свойствами:

1) сумма двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная);

2) произведение двух четных (нечетных) функций есть функция четная; произведение четной и нечетной функций есть функция нечетная;

3) если нечетная функция определена в нуле, то ;

4) всякая функция, определенная на множестве Х, симметричном относительно начала координат может быть представлена в виде суммы двух функций, определенных на Х, причем одна из этих функций является четной, а другая – нечетной.

Определение 11. Функция называется Периодической, если существует такое число , что для любого точка и справедливо равенство .

Наименьшее из чисел Т в определении 11 называют Периодом. Периодическая функция имеет бесконечно много периодов, все они кратны числу Т.

Все введенные в этом параграфе определения используются при исследовании функций и построении графиков.

Источник