Что такое ограниченная сверху функция

§ 05. Свойства функций

Определение 1. Функция называется Монотонно возрастающей на множестве , если для любой пары точек из условия следует, что , то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение 2. Функция называется Монотонно убывающей на множестве , если для любой пары точек из условия следует, что , то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Монотонно возрастающие и монотонно убывающие функции называют монотонными.

Монотонные функции обладают следующими свойствами:

1) сумма двух монотонно возрастающих (монотонно убывающих) функций является монотонно возрастающей (монотонно убывающей) функцией;

2) произведение двух положительных монотонно возрастающих (монотонно убывающих) функций является монотонно возрастающей (монотонно убывающей) функцией;

3) если функция монотонно возрастающая (монотонно убывающая), то функция монотонно убывающая (монотонно возрастающая);

4) если положительная функция является монотонно возрастающей (монотонно убывающей), то функция является монотонно убывающей (монотонно возрастающей);

5) если функция монотонная, то она имеет обратную функцию.

Определение 3. Функция называется Ограниченной сверху на множестве , если существует такое число М, что значение функции в любой точке не превосходит этого числа, то есть для любого выполняется неравенство .

Определение 4. Функция называется Ограниченной снизу на множестве , если существует такое число M, что значение функции в любой точке не меньше этого числа, то есть для любого выполняется неравенство .

Ограниченная сверху и снизу на множестве Х функция называется ограниченной на этом множестве. Другими словами, если функция ограничена на множестве Х, то существуют такие числа M и М, что для всех . Условие ограниченности можно также записать в виде для некоторого положительного числа М.

Определение 5. Точка называется точкой Максимума функции , если существует окрестность этой точки такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство .

Определение 6. Точка называется точкой Минимума функции , если существует окрестность этой точки такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума называют точками Экстремума функции.

Заметим, что функция в области своего определения может иметь несколько точек максимума или минимума.

Определение 7. Будем говорить, что в точке функция принимает Наибольшее на множестве Х значение, если для всех точек справедливо неравенство .

Определение 8. Будем говорить, что в точке функция принимает Наименьшее на множестве Х значение, если для всех точек справедливо неравенство .

Если множество Х представляет собой отрезок [A; B], то наибольшее и наименьшее значения функция принимает либо в точке экстремума, либо на конце отрезка.

Говорят, что множество Х Симметрично относительно начала координат, если для любой точки противоположная точка .

Определение 9. Функция называется Четной, если ее область определения симметрична относительно начала координат, и для любого .

Определение 10. Функция называется Нечетной, если ее область определения симметрична относительно начала координат, и для любого .

График четной функции имеет ось симметрии: так как точки и принадлежат графику функции, то он симметричен относительно оси ординат. График нечетной функции имеет центр симметрии: так как точки и принадлежат графику функции, то он симметричен относительно начала координат.

Четные и нечетные функции обладают следующими свойствами:

1) сумма двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная);

2) произведение двух четных (нечетных) функций есть функция четная; произведение четной и нечетной функций есть функция нечетная;

3) если нечетная функция определена в нуле, то ;

4) всякая функция, определенная на множестве Х, симметричном относительно начала координат может быть представлена в виде суммы двух функций, определенных на Х, причем одна из этих функций является четной, а другая – нечетной.

Определение 11. Функция называется Периодической, если существует такое число , что для любого точка и справедливо равенство .

Наименьшее из чисел Т в определении 11 называют Периодом. Периодическая функция имеет бесконечно много периодов, все они кратны числу Т.

Все введенные в этом параграфе определения используются при исследовании функций и построении графиков.

Источник

Что такое ограниченная сверху функция

Функция y=f(x), определенная на множестве X, называется ограниченной сверху, если множество её значений ограниченно сверху. Иначе говоря, функция f(x) ограничена сверху, если существует такая постоянная М, что для каждого \(x \in X\) выполняется неравенство \(f(x) \leqslant M.\)

· Функция y=f(x), определенная на множестве Х, называется ограниченной снизу, если множество её значений ограниченно снизу, то есть если существует такая постоянная М, что для каждого \(x \in X\) выполняется неравенство \(f(x) \leqslant M.\)

· Функция f(x), определенная на множестве Х, называется ограниченной, если множество её значений ограниченно как сверху, так и снизу.

Примерами функций, ограниченных на всей числовой прямой, являются функции y=sin x, y=cos x.

При решении уравнений и неравенств свойство ограниченности функций часто играет определяющую роль. Например:

Рассмотрим пример применения данных выводов.

Решение: Функции, записанные в левой и правой частях уравнения, определены при всех действительных значениях х. Кроме того, для любых х верно:

Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:

Решения второго уравнения системы есть х=0 и х=-1. Из этих значений первому уравнению удовлетворяет только х=0, которое, следовательно, является единственным решением исходного уравнения.

Источник

Ограниченные сверху, снизу и ограниченные функции

Определение №1.Функция , определенная на некотором множестве , называется ограниченной сверху на этом множестве, если существует такое число , что для любого выполняется неравенство: .

Определение №2.Функция , определенная на некотором множестве , называется ограниченной снизу на этом множестве, если существует такое число , что для любого выполняется неравенство .

Определение №3. Функция , ограниченная сверху и снизу на множестве , называется ограниченной на этом множестве.

Очевидно, что функция ограничена на множестве тогда, когда существует такое число , что для любого выполняется неравенство или .

Верхняя и нижняя грани функции

Определение №1.Верхняя грань множества значений числовой функции , определенной на множестве , называется верхней гранью функции . Обозначение: или .

Определение №2. Нижняя грань множества значений числовой функции , определенной на множестве , называется нижней гранью функции . Обозначение: или .

Замечание.1. Верхняя (нижняя) грань функции может быть как конечной, так и бесконечной.

2. Функция ограничена сверху (снизу) на множестве тогда и только тогда, когда она имеет на этом множестве конечную верхнюю (нижнюю) грань.

Наибольшие, наименьшие, максимальные, минимальные и экстремальные значения функции

Определение №1.Функция , определенная на множестве , принимает в точке наибольшие (наименьшие) значения, если .

Определение №2.Наибольшие (наименьшие) значения функции называется также максимальным (минимальным) значением и пишется: или .

Определение №3. и значения функции называются экстремальными.

График функции

Определение №1.График функции – это множество пар точек , координаты которых связаны соотношением .

Определение №2.Соотношение называется уравнением графика функции.

Пример:График функции состоит из отдельных точек (рис.1.).

Замечание. Не всякая линия является графиком какой-либо одной функции.

Пример.Уравнение окружности не является графиком одной функции, так как каждое входит не в одну, а в две пары чисел этого множества . и , где ; .

А это противоречит требованию однозначности в определении функций. Но часть окружности, лежащая в нижней полуплоскости, является графиком функции . А другая часть окружности, лежащая в верхней полуплоскости, является графиком функции .

Способы задания функции

Определение.Задать функцию – это значит, указать, как по каждому значению аргумента найти соответствующие ему значения функции .

Существует три способа задания функции: аналитический, табличный и графический.

I. Аналитический явный способ задания функции

Сущность способа: Зависимость между переменными величинами определяется с помощью формулы. Она указывает, какие действия надо выполнить, чтобы получить значение функции, соответствующие данному значению аргумента.

Пример: Формула (сигнум с латинского языка «знак») задает функцию

Данная функция задана с помощью нескольких формул. Эта функция определена на всей числовой прямой. А множество ее значений состоит из –1;0;1.

2. Функция Дирихле

определена на всей числовой прямой. А множество ее значений состоит из двух чисел: 1,0. Функцию Дирихле графически изобразить нельзя.

II. Аналитически неявный способ задания функции

1. Неявные функции

Определение.Пусть задано уравнение вида , т.е. задана функция двух действительных переменных и . Причем, рассматриваются только такие пары (если они существуют), для которых выполняется условие . Функции, задаваемые таким образом, называются неявными.

Замечание.1. Термин «неявная» отражает не характер функциональной зависимости, а лишь способ ее задания.

2. Одна и та же функция может быть задана как явно, так и неявно.

Пример: Функции, заданные явно могут быть заданы и неявным образом с помощью уравнения: .

Если заданы функции и , причем, область определения функции содержит множество значений функции , тогда каждому из области определения функции естественным образом соответствует такое, что , где .

Определение.Функция, определяемая соотношением называется сложной функцией или, композицией функций или суперпозицией функций и и обозначается т.е.

.

Сложная функция отражает не характер функциональной зависимости, а лишь способ ее задания.

Пример. . Данную функцию можно рассматривать как суперпозицию следующих функций: ; ; ; ; .

III. Табличный способ задания функции

Пусть дана таблица

Поставим в соответствие каждому значению , записанному в первой строке таблицы, число , стоящее во второй строке под числом . Тогда, можно сказать, что функция задана таблично. Областью определения этой функции является множество, состоящее из 8 чисел . Они перечислены в первой строке таблицы. Множеством значений этой функции является множества, состоящее из 8 чисел , перечисленных во второй строке. С помощью таблицы можно задать функцию только при конечном числе значений аргумента. Таблицы часто используются для задания функции.

Пример: Таблицы тригонометрических функций; таблицы логарифмов и т.д.

IV. Графический способ задания функции

Соответствие между переменными и y задается посредством графика. Обычно графики чертятся с помощью самопишущих приборов. Данный способ задания функции используется при физических, медицинских измерениях.

Источник