Факт 1. \(\bullet\) Если окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла. \(\bullet\) Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.
Факт 2. \(\bullet\) Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
Факт 3. \(\bullet\) Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. \(\bullet\) Наоборот: если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов четырехугольника.
Факт 4. \(\bullet\) Центр вписанной в многоугольник окружности лежит на пересечении биссектрис его углов. \(\bullet\) 1. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то он является ромбом. Тогда центр окружности лежит на пересечении диагоналей. \(\bullet\) 2. Если в прямоугольник можно вписать окружность, то он является квадратом. Тогда центр окружности лежит на пересечении диагоналей.
Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов
Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.
Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.
Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.
Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?
В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.
Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.
Вот еще две формулы для площади. Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
— радиус окружности, вписанной в треугольник.
Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :
где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.
Для любого треугольника верна теорема синусов:
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:
. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
По теореме синусов,
Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.
Окружность, описанная около треугольника. Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Серединный перпендикуляр к отрезку
Окружность описанная около треугольника
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
Серединный перпендикуляр к отрезку
Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.
Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2
Окружность, описанная около треугольника
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Фигура
Рисунок
Свойство
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольника
Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности
Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусов
Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):
,
Для любого треугольника справедливо равенство:
Для любого треугольника справедливо равенство:
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Окружность, описанная около треугольника
Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности
Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусов
Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):
,
Площадь треугольника
Для любого треугольника справедливо равенство:
Радиус описанной окружности
Для любого треугольника справедливо равенство:
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
Следовательно, справедливо равенство:
откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.
При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:
.
Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).
Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.
Формула (1) доказана.
Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):
Треугольник, описанный около окружности — это треугольник, который находится около окружности и соприкасается с ней всеми тремя сторонами.
На рисунке ниже изображена окружность, вписанная в треугольник; и треугольник, описанный около окружности.
△ ABC — треугольник, описанный около окружности; A, B, C — вершины треугольника, описанного около окружности; F, D, E — точки касания треугольника, описанного около окружности; O — центр окружности, вписанной в треугольник; OD = OF = OE — радиусы треугольника, описанного около окружности; AB, BC, CA — касательные; FA = AE, EC = CD, FB = BD — отрезки касательных; OF ⟂ AB, OD ⟂ BC, OE ⟂ AC;
Треугольник ABC имеет три точки, где соприкасаются стороны и сама окружность, эти точки называют точками касания. У данного треугольника их всего три.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Треугольник, в который вписана окружность называется треугольником описанным около окружности.
Треугольники, описанные около окружности, обладают рядом рядом отличительных свойств, характерных признаков, уникальными терминами, а также формулам, по которым можно найти разные величины.
Формулы радиуса вписанной окружности, радиуса описанной окружности, диаметра, средней линии, периметра, площади стороны позволяют выразить одни величины через другие, рассчитать длину величины, узнать во сколько раз одна величина отличается от другой, какая прослеживается взаимосвязь.
Длина любой величины произвольного треугольника может измеряется в мм, см, м, км.
Формулы
Радиус вписанной окружности в треугольник
r — радиус вписанной окружности треугольника, описанного около окружности.
Радиус описанной окружности около треугольника
R — радиус описанной окружности треугольника, описанного около окружности.
Площадь треугольника
S — площадь треугольника, описанного около окружности.
\[ S = \frac<1><2>ab \cdot \sin \angle C \]
Периметр треугольника
P — периметр треугольника, описанного около окружности.
Сторона треугольника
a — сторона треугольника, описанного около окружности.
Средняя линия треугольника
l — средняя линия треугольника, описанного около окружности.
Высота треугольника
h — высота треугольника, описанного около окружности.
\[ h = b \cdot \sin \alpha \]
Свойства
Свойства треугольника, описанного около окружности, а также окружности, вписанной в треугольник, медиан, высот, биссектрис, радиусов-перпендикуляров.
Свойство 1. Окружность, можно вписать в любой треугольник, только один раз.
Свойство 2. Центр окружности, вписанной в треугольник — точка пересечения биссектрис, центр окружности.
Свойство 3. Центр окружности, описанной около треугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров.
Свойство 4. Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника, описанного около окружности совпадают, имеют одну общую точку.
Свойство 5. Отрезок, проведенный из центра треугольника, описанного около окружности, к любой из сторон, является радиусом.
Свойство 6. У любого треугольника центр вписанной окружности находится только внутри.
Свойство 7. Окружность находящаяся внутри треугольника, описанного около окружности, касается всех его сторон.
Свойство 8. Вписанная окружность и треугольник, описанный около окружности, имеют три общие точки, которые лежат на трех сторонах треугольника.
Свойство 9. Формула радиуса вписанной окружности у треугольника, описанного около окружности, и четырехугольника, у которого суммы противоположных равны, совпадает.
Свойство 10. Радиус описанной около треугольника окружности, можно выразить и рассчитать через Теорему Синусов.
Свойство 11. У треугольника, описанного около окружности, радиус вписанной окружности, можно рассчитать через площадь и полупериметр.
Свойство 12. Радиус в точку касания есть перпендикуляр.
Свойство 13. Окружность, вписанная в треугольник, разделяет стороны треугольника на 3 пары равных отрезков.
Свойство 14. Стороны треугольника, описанного около окружности, можно также называть касательными.
Свойство 15. Отрезки, которые проведены из центра вписанной окружности, к точкам касания, перпендикулярны сторонам.
Свойство 16. Сумма углов треугольника, описанного около окружности, равна 180 градусам.
Свойство 17. Центр вписанной окружности равноудален от всех сторон треугольника.
Свойство 18. Центр вписанной в треугольник окружности в научных кругах называется замечательной точкой треугольника, либо инцентром.
Свойство 19. Правильный треугольник, описанный около окружности, имеет точки касания с окружность, в серединах сторон.
Свойство 20. Равнобедренный, прямоугольный, равносторонний треугольники, описанные около окружности, в точке пересечения биссектрис и центре окружности, имеют одну общую точку.
Признаки существования
Признак 1. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис.
Признак 2. На сторонах треугольника лежат три точки касания вписанной окружности.
Признак 3. Вписанная окружность делит смежные стороны треугольника на равные отрезки касательных.
Признак 4. У вписанной окружности три радиуса в точку касания быть перпендикулярами.
Исходя из вышеперечисленных признаков, исходных данных, внешнего вида, можно определить является ли треугольник описанным около окружности или же нет.
Признаки равенства
Признак 1. По двум сторонам и углу между ними.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника, описанного около окружности, равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, описанного около окружности, то такие треугольники равны.
Признак 2. По стороне и двум прилежащим к ней углам.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника, описанного около окружности, равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, описанного около окружности, то такие треугольники равны.
Признак 3. По трем сторонам.
Если три стороны одного треугольника, описанного около окружности, равны трем сторонам другого треугольника, описанного около окружности.
Как мы знаем, любой треугольник может быть описан около окружности, исходя из этого можно сказать, что около окружности, могут быть описаны следующие виды треугольников:
Характерные признаки: один из углов прямой, длину сторон можно найти через Теорему Пифагора, сумма острых углов 90 градусов.
Основные формулы:
Характерные признаки: два угла равны, две стороны равны, третий угол можно найти зная два других.
Основные формулы:
Основные формулы:
Термины
Точка касания — это точка, где соприкасается вписанная окружность с треугольником; это общая точка, для окружности и треугольника, которая лежит на любой из сторон треугольника.
Инцентр — это точка, где пересекаются три биссектрисы треугольника; это центр вписанной окружности в треугольник; это одна из замечательных точек в геометрии.
Касательная — это сторона треугольника, которая имеет с вписанной окружностью одну общую точку — точку касания.
Ортоцентр — точка, где пересекаются высоты треугольника.
Ось симметрии — это прямая, которая делит треугольник на равные половины.
Замечательная точка — это точка пересечения медиан, высот, биссектрис, серединных перпендикуляров.
Отрезок касательной — это отрезок, который берет начало у одной из вершин треугольника, и имеет конец в точке касания.
Определение окружности, описанной около треугольника
Определение 1. Окружностью, описанной около треугольника называется окружность, проходящей через все три вершины треугольника (Рис.1).
Теорема об окружности, описанной около треугольника
Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.
Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.
Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.
Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.
Серединный перпендикуляр к отрезку
,
