Что такое ось координат координата точки

Прямоугольная система координат

Содержание

Иногда в жизни, чтобы найти на плоскости какой-то объект, его описывают двумя значениями. Так каждое место в зале кинотеатра имеет два параметра: ряд и место. Каждая клетка на шахматной доске или при игре в «морской бой» описывается номером строки и буквой, обозначающей столбец.

В математике определение местоположения объекта на плоскости придумали быстро находить с помощью системы координат, образованной двумя прямыми, называемых координатными осями (или осями координат).

Ось координат

Абсцисса, ордината, начало координат и единичный отрезок

Оси пересекаются под прямым углом перпендикулярно друг к другу, поэтому такая система координат и называется прямоугольной.

На каждой оси выбирается единичный отрезок, с помощью которого вычисляются координаты объекта. Длиной единичного отрезка может выступать любая единица измерения, но она должна быть одинаковой на каждой из осей. То есть, если единичный отрезок на оси абсцисс задан, например, равным 1 см, то и на оси ординат единичный отрезок тоже должен быть равен одному сантиметру.

Абсцисса, ордината, начало координат и единичный отрезок

Положительное и отрицательное направление

У осей стрелкой задается положительное направление:

Таким образом, все вместе:

образуют в математике прямоугольную систему координат, плоскость называют координатной.

Или другими словами:

Четверти

Осями координат плоскость делится на 4 части, их обозначают римскими цифрами. Каждая часть называется «квадрант». Другие названия: «координатный угол» или «четверть». Нумерация четвертей принята против часовой стрелки в том порядке, в котором указано на рисунке ниже.

Четверти координатной плоскости

Немного из истории

В латинском языке слово «координаты» получилось из двух других: co – «совместно» и ordinatus – «определенный», «упорядоченный».

Впервые необходимость нахождения координат объектов возникла в географии и астрономии. Для этого использовали широту и долготу, определяющие расположение точки на небесной сфере или на поверхности земного шара. Таким образом начали вычислять координаты точек еще в 14 веке. Но упорядочил и систематизировал все знания в 17 веке французский математик по имени Рене Декарт. Поэтому прямоугольную систему координат также называют еще и «декартовой».

Источник

Математика. 6 класс

Конспект урока

Декартова система координат на плоскости

Перечень рассматриваемых вопросов:

Координатная плоскость. Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом. Координатные оси пересекаются в точке, являющейся началом отсчёта для каждой из них.

Ось х называют осью абсцисс – расположена горизонтально, направлена вправо. Ось у называют осью ординат – расположена вертикально, направлена вверх.

Оси координат разделяют плоскость на 4 угла, которые называются координатными четвертями.

Координаты точки М (х; у), где х – абсцисса, у – ордината точки.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом. Единичные отрезки осей возьмём равными друг другу.

Ось х называют осью абсцисс – расположена горизонтально, направлена вправо. Ось у называют осью ординат – расположена вертикально, направлена вверх.

Положительное направление на осях указывается стрелкой.

Точку пересечения осей называют началом координат.

Оси взаимно перпендикулярны, поэтому заданную таким образом систему координат называют прямоугольной.

Оси координат разделяют плоскость на 4 угла – координатные четверти. Обозначают римскими цифрами как показано на рисунке.

Одним из первых, кто начал широко использовать прямоугольную систему координат в своих исследованиях, был французский философ и математик Рене Декарт, поэтому её часто называют декартовой системой координат.

Пусть A – произвольная точка координатной плоскости. Проведём через точку A прямые, параллельные осям координат. Прямая, параллельная оси y, пересечёт ось x в точке A₁, а прямая, параллельная оси x, пересечёт ось y в точке A₂. Координату точки A₁ на оси x называют абсциссой точки A. Координату точки A₂ на оси y называют ординатой точки A. Абсциссу x и ординату y точки A называют координатами точки A.

Координаты точки, записывают в круглых скобках рядом с буквой, обозначающей эту точку: М (х; у).

х – первая координата

у – вторая координата

Поменять местами х и у нельзя – получится другая точка.

Поэтому пару координат (x; y) точки A называют упорядоченной парой чисел.

Если на плоскости задана прямоугольная система координат хOу, то:

– каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (координаты точки);

– разным точкам плоскости соответствуют разные упорядоченные пары чисел;

– каждая упорядоченная пара чисел соответствует одной точке плоскости.

То есть установлено взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел.

Алгоритм построения точки на координатной плоскости

Построим точку А(3; 6).

Введём прямоугольную систему координат.

На каждой оси откладываем заданные координаты х и у (x > 0 и y > 0, значит, точка A расположена в I координатной четверти).

Проводим перпендикуляры к оси х и оси у.

Точка их пересечения – искомая точка.

В(– 4; 5) – имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату, значит, расположена во II четверти.

С(– 8; – 4) – имеет обе отрицательные координаты, значит, расположена в III четверти.

D(9; – 2) – имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату, значит, расположена в IV четверти.

F(6; 0), E(– 5; 0) – точки лежат на оси абсцисс.

H(0; – 5) – точка лежит на оси ординат.

O(0; 0) – начальная точка системы координат.

В географии положение объектов на земной поверхности определяется двумя координатами: широтой и долготой.

В концертном зале своё кресло можно найти по номеру ряда и места.

В шахматах каждой клетке соответствует буква столбца и цифра ряда.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Построить прямую АВ, если А(3; 2), В(– 3; – 4).

1) координаты точек пересечения прямой AB с осями;

2) координаты середины отрезка AB.

Шаг 1. Строим точки А и В по их координатам.

Шаг 2. Проводим прямую АВ.

Шаг 3. Находим точки пересечения с осями координат, обозначаем их буквами M и N. Определяем их координаты:

Шаг 4. Находим по графику середину отрезка АВ, это точка N (0; – 1).

Ответ: координаты точек пересечения прямой AB с осями: М (1; 0), N (0; – 1), координаты середины отрезка AB: N (0; – 1).

Тип 2. Нарисуйте фигуру, последовательно соединяя точки

(0; 4), (– 2; – 2), (3; 2), (– 3; 2), (2; – 4), (0; 4).

Источник

Математика. 6 класс

Конспект урока

Координатная ось. Часть 1

Перечень рассматриваемых вопросов:

Прямую, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единичный отрезок, называют координатной осью.

Координатой точки A, лежащей на положительном луче координатной оси x, называется положительное действительное число х, равное длине отрезка OA. Координатой точки A, лежащей на отрицательном луче координатной оси x, называется отрицательное действительное число х, равное длине отрезка OA, взятой со знаком «–».

Координата начальной точки O равна нулю.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Прямую, на которой выбрано начало отсчёта, положительное направление и единичный отрезок, называют координатной осью.

Координатная ось может быть горизонтальной, вертикальной или направленной в любую удобную сторону. Положительное направление тоже может быть задано исходя из удобства работы в каждом конкретном случае.

Точка O делит ось на два луча: положительный и отрицательный.

Каждой точке координатной оси поставим в соответствие действительное число x по следующему правилу:

– начальной точке O – число нуль;

– точке A, находящейся на положительном луче, – число х, равное длине отрезка OA;

– точке A, находящейся на отрицательном луче, – отрицательное число х, равное длине отрезка ОА, взятой со знаком «–».

Определённую таким образом координатную ось называют координатной осью x, или, коротко, осью x.

Число, соответствующее любой точке оси, называют координатой этой точки.

Ранее вводилось понятие координатной оси, но на ней рассматривались только точки, имеющие рациональные координаты. Таким образом, ось была не полная и имела пустоты на месте иррациональных чисел.

Однако координата произвольной точки есть действительное число, т. е. оно может быть рациональным или иррациональным, как и длина отрезка, ему соответствующая.

Теперь координатная ось стала полной – каждой её точке соответствует действительное число.

Пусть А и В точки с координатами A(x) и B(y).

– если х > у, то точка A расположена правее точки B на координатной оси;

– расстояние между точками A и B равно х – у;

– середина отрезка AB – точка M – имеет координаты: (х+ у)/2.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Какая точка лежит правее?

Найдём расстояние AB.

АВ = 3,4 – (– 5,6) = 3,4 + 5,6 = 9.

Тип 2. Единичный выбор

Найдём координаты точки М, середины отрезка АВ, если А(3,4) и В(– 5,6).

Варианты ответов: – 1,1; 1,1; 2,3; 6,8.

По формуле координаты середины отрезка получаем

Источник

Координатная плоскость

Если построить на плоскости две взаимно перпендикулярные числовые оси: OX и OY, то они будут называться осями координат. Горизонтальная ось OX называется осью абсцисс (осью x), вертикальная ось OY — осью ординат (осью y).

Точка O, стоящая на пересечении осей, называется началом координат. Она является нулевой точкой для обеих осей. Положительные числа изображаются на оси абсцисс точками вправо, а на оси ординат — точками вверх от нулевой точки. Отрицательные числа изображаются точками влево и вниз от начала координат (точки O). Плоскость, на которой лежат оси координат, называется координатной плоскостью.

Оси координат делят плоскость на четыре части, называемые четвертями или квадрантами. Принято эти четверти нумеровать римскими цифрами в том порядке, в котором они пронумерованы на чертеже.

Координаты точки на плоскости

Если взять на координатной плоскости произвольную точку A и провести от неё перпендикуляры к осям координат, то основания перпендикуляров лягут на два числа. Число, на которое указывает вертикальный перпендикуляр, называется абсциссой точки A. Число, на которое указывает горизонтальный перпендикуляр, — ординатой точки A.

На чертеже абсцисса точки A равна 3, а ордината 5.

Абсцисса и ордината называются координатами данной точки на плоскости.

Координаты точки записываются в скобках справа от обозначения точки. Первой записывается абсцисса, а за ней ордината. Так запись A(3; 5) обозначает, что абсцисса точки A равна трём, а ордината — пяти.

Координаты точки – это числа, определяющие её положение на плоскости.

Начало координат — точка O — имеет и абсциссу и ординату равные нулю: O (0; 0).

Данная система координат называется прямоугольной или декартовой.

Источник

Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

Декартовы координаты — это (декартова система координат) система координат на плоскости или в пространстве, обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям прямоугольные декартовы координаты.

Содержание:

Декартовы координаты на прямой

В курсе алгебры постоянно приходится пользоваться прямоугольной системой координат. Рассмотрим прямоугольную систему координат на прямой. Хорошей иллюстрацией этой системы координат является термометр.

Стрелка показывает положительное направление отсчета координат. Прямую с установленной на ней системой координат называют координатной прямой. Точку О называют началом координат. Кроме этого, на координатной прямой вводится единичный отрезок ОЕ, его иногда называют масштабом.

Декартовы координаты на плоскости

Положение точки на плоскости может быть определено ее расстоянием до двух фиксированных взаимно перпендикулярных прямых — осей. В этом случае каждой точке плоскости будет соответствовать не одно число, а пара чисел. Соответствие между точками и парами чисел задается на плоскости: выбирают прямую, называемую осью Ох, вводят на ней систему координат. На оси Ох рисуют стрелку, чтобы указать ее положительное направление. Эта ось называется также осью абсцисс.

Проводят прямую Оу, перпендикулярную оси Ох и проходящую через точку О прямой Ох, имеющую координату 0, и вводят на прямой Оу систему координат так, чтобы точка с координатой 0 совпадала с точкой О. Прямая Оу называется осью Оу или осью ординат. Положительное направление на оси Оу также указывается стрелкой. Точка О пересечения прямых Ох и Оу (осей координат) называется началом координат (рис. 2.445).

На рисунке 2.446 изображена построенная прямоугольная система координат. Если дана точка Р, то из нее опускают перпендикуляр на ось Ох. Пусть основанием перпендикуляра будет точка М и х — координата точки М на прямой Ох (рис. 2.446). Тогда число х называют абсциссой точки Р. На рисунке 2.446 .

Затем опускают из точки Р перпендикуляр на ось Оу. Пусть основанием этого перпендикуляра будет точка N и у — координата точки N на прямой Оу. Тогда число у называют ординатой точки Р. На рисунке 2.446 . Для краткости указываем, что точка Р имеет координаты х и у, так: Р(х, у). В нашем случае .

Порядок, в котором записываются координаты точки, очень существенен. Координаты (1, 3) имеет точка , а координаты (3, 1) — отличная от нее точка (рис. 2.447). Нельзя сказать, где находится точка, если неизвестно, какое число в паре чисел (х, у) стоит первым.

Ниже приводится определение координат точки на плоскости.

Определение. Абсциссой точки Р называют координату основания перпендикуляра, опущенного из точки Р на ось Ох; ординатой точки Р называют координату основания перпендикуляра, опущенного из точки Р на ось Оу.

Если прямая разбивает плоскость на две полуплоскости, то две оси координат разбивают плоскость на четыре части, называемые четвертями. Четыре четверти нумеруются в порядке, изображенном на рисунке 2.448.

Таким образом, между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел имеется взаимооднозначное соответствие. Такое соответствие называют прямоугольной системой координат.

Декартовы координаты в пространстве

Построим горизонтальную плоскость и введем на ней декартову систему координат хОу (рис. 2.449).

Если ввести также координатную прямую Oz, перпендикулярную плоскости хОу в точке О, то тем самым будет введена система координат в пространстве. Точка О будет началом этой системы координат.

Стрелки осей Ох, Оу и Oz на рисунках указывают положительное направление каждой оси.

В декартовой системе координат в пространстве мы имеем три оси: Ох — ось абсцисс, Оу — ось ординат, Oz — ось аппликат. Плоскости, проходящие через оси Ох и Оу, Оу и Oz, Ох и Oz — координатные плоскости. Их обозначают соответственно: ху, yz, xz (рис. 2.450). Координатные плоскости разбивают все пространство на восемь частей — октантов.

Если задана такая система координат, то каждой точке пространства можно поставить в соответствие упорядоченную тройку действительных чисел, а каждой тройке чисел — единственную точку.

На рисунке 2.452: точка Р лежит в плоскости хОу, так что ее проекция на ось Ог есть 0. Ее проекция на ось Ох совпадает с точкой, имеющей координату 2, а на ось Оу — с точкой, имеющей координату 3. Поэтому пишут Р(2, 3, 0).

Таким образом, нахождение координат точки в пространстве сводится к построению соответствующего прямоугольного параллелепипеда (иногда его воспроизводят частично, чтобы были видны координаты точки (рис. 2.453)).

Порядок записи этих трех чисел также существенен. На рисунке 2.452 изображены точки имеющие своими координатами числа 2, 3 и 0, записанные в разном порядке.

Можно иначе находить координаты точки пространства. Пусть дана точка М. Спроектируем точку М на оси Ох, Оу, Ог в точки соответственно (рис. 2.454). Координаты точек на осях сопоставляются точке М как ее координаты х, у, г. Таким образом, координатами точки в пространстве называют координаты ее проекций на оси координат.

Если есть три координаты — три числа то для них найдется соответствующая точка пространства. На рисунке 2.455 три числа на осях координат отмечены тремя точками Пусть отрезки — ребра прямоугольного параллелепипеда с вершиной в точке О (рис. 2.456). Получили точку Р с координатами —

Прямоугольная система координат носит имя Рене Декарта (1596—1650). В 1637 г. вышла книга с длинным по обычаю времен названием «Рассуждение о методе, позволяющем направлять разум и отыскивать истину в науках. Кроме того, Диоптрика, Метеоры и Геометрия, которые являются приложениями этого метода», с ней в науку вошел метод координат. Со времен Декарта алгебра и геометрия стали сотрудничать между собой к выгоде обеих дисциплин. Введенную систему координат с тех пор стали называть декартовой.

Координаты середины отрезка

Рассмотрим отрезок , принадлежащий оси Ох. Пусть Р — середина этого отрезка и пусть наши три точки имеют соответственно координаты (рис. 2.457). Выразим х через и .

1. (дано) (рис. 2.457).

2. (запись отрезка в координатах на прямой).

3. (1, 2).

Эта формула годится и в случае, когда

Рассмотрим случай, когда отрезок произвольно расположен на плоскости (рис. 2.458).

1. Точка Р является серединой отрезка (дано) (рис. 2.458).

2. Построим проекции точек на ось Ох, получим точки (построение).

3. Точка М является серединой отрезка .

4. (3, формула середины отрезка на прямой).

Аналогично можно получить, что . Все это можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема 1. Даны точки Серединой отрезка является точка

Формула расстояния между точками

Пусть мы знаем координаты двух точек на плоскости (рис. 2.459). Имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Расстояние между точками находится по формуле

Например, если то из полученной формулы следует, что

Формула расстояния между точками верна и в пространстве. Пусть даны две точки и Расстояние между точками Р и Q находится по формуле

Пример:

Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин.

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. , его стороны обозначим через

3. CD = AD (требуется доказать).

Мы хотим применить для решения задачи декартову систему координат, а значит, надо удачно выбрать расположение этой системы.

4. Для данной задачи удачный выбор системы координат показан на рисунке 2.460. Начало координат помещено в точку А, а оси проведены через точки Б и С так, чтобы эти точки лежали на положительных лучах осей (построение).

5. Точка В имеет координаты (, 0), точка С — (0, ) (1, 4).

6. Середина отрезка СВ точка D имеет координаты (1, формула середины отрезка).

7. (4, 6 формула расстояния между точками).

8. (5, 6, формула расстояния между точками).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник