Что такое основная функция

Основная функция

Обобщённая фу́нкция, или распределе́ние, — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах.

Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д.

С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в малых окрестностях данной точки. Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Математика начала XX века не имела нужных строгих формализмов для оперирования с новым классом зависимостей величин, открытых в физике.

Содержание

Определение [ | ]

Простейшими примерами обобщённых функций являются функционалы, порождаемые локально суммируемыми функциями

Примеры [ | ]

Операции [ | ]

Линейные операции над обобщёнными функциями вводятся как расширение соответствующих операций над основными функциями.

Замена переменных [ | ]

Произведение [ | ]

Чаще всего определяется произведение обобщённых функций на обычные, а произведение обобщённых функций остается неопределенным.

Однако эта операция произведения, вообще говоря, не допускает распространения на любые обобщённые функции так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной.

Действительно, в противном случае получилось бы противоречие:

Дифференцирование [ | ]

Свойства [ | ]

Примеры [ | ]

Дельта-функция получается при вычислении интеграла Фурье от константы:

Источник

Основные элементарные функции: их свойства и графики

Основные элементарные функции, присущие им свойства и соответствующие графики – одни из азов математических знаний, схожих по степени важности с таблицей умножения. Элементарные функции являются базой, опорой для изучения всех теоретических вопросов.

Статья ниже дает ключевой материал по теме основных элементарных функций. Мы введем термины, дадим им определения; подробно изучим каждый вид элементарных функций, разберем их свойства.

Выделяют следующие виды основных элементарных функций:

Постоянная функция

Свойства постоянных функций:

Корень n-й степени

Данная элементарная функция определяется формулой y = x n ( n – натуральное число больше единицы).

Рассмотрим две вариации функции.

Похожий вид у графиков функции четной степени при иных значениях показателя.

Свойства функции корень n-ой степени, n – четное число

Иные нечетные значения показателя корня функции y = x n дадут график аналогичного вида.

Свойства функции корень n-ой степени, n – нечетное число

Степенная функция

Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.

Степенная функция при нечетном положительном показателе

Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный положительный

Степенная функция при четном положительном показателе

Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный положительный:

Степенная функция при нечетном отрицательном показателе

Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный отрицательный:

Степенная функция при четном отрицательном показателе степени

Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный отрицательный:

Степенная функция при рациональном или иррациональном показателе (значение больше нуля и меньше единицы)

Иные значения показателя степени a (при условии 0 a 1 ) дадут аналогичный вид графика.

Свойства степенной функции при 0 a 1 :

Степенная функция при нецелом рациональном или иррациональном показателе степени (больше единицы)

Иные значения показателя степени а при условии a > 1 дадут похожий вид графика.

Свойства степенной функции при a > 1 :

Степенная функция при действительном показателе степени (больше минус единицы и меньше нуля)

Степенная функция при нецелом действительном показателе степени (меньше минус единицы)

Показательная функция

Сначала разберем ситуацию, когда основание показательной функции имеет значение от нуля до единицы ( 0 a 1 ) . Наглядным примером послужат графики функций при a = 1 2 (синий цвет кривой) и a = 5 6 (красный цвет кривой).

Свойства показательной функции, когда основание меньше единицы:

Проиллюстрируем этот частный случай графиком показательных функций y = 3 2 x (синий цвет кривой) и y = e x (красный цвет графика).

Иные значения основания, большие единицы, дадут аналогичный вид графика показательной функции.

Свойства показательной функции, когда основание больше единицы:

Логарифмическая функция

График логарифмической функции имеет различный вид, исходя из значения основания а.

Иные значения основания, не большие единицы, дадут аналогичный вид графика.

Свойства логарифмической функции, когда основание меньше единицы:

Теперь разберем частный случай, когда основание логарифмической функции больше единицы: а > 1 . На чертеже ниже – графики логарифмических функций y = log 3 2 x и y = ln x (синий и красный цвета графиков соответственно).

Иные значения основания больше единицы дадут аналогичный вид графика.

Свойства логарифмической функции, когда основание больше единицы:

Тригонометрические функции, их свойства и графики

Тригонометрические функции – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Разберем свойства каждой из них и соответствующие графики.

В общем для всех тригонометрических функций характерно свойство периодичности, т.е. когда значения функций повторяются при разных значениях аргумента, отличающихся друг от друга на величину периода f ( x + T ) = f ( x ) ( T – период). Таким образом, в списке свойств тригонометрических функций добавляется пункт «наименьший положительный период». Помимо этого, будем указывать такие значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в нуль.

График данной функции называется синусоида.

Свойства функции синус:

График данной функции называется косинусоида.

Свойства функции косинус:

График данной функции называется тангенсоида.

Свойства функции тангенс:

График данной функции называется котангенсоида.

Свойства функции котангенс:

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

Обратные тригонометрические функции – это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Зачастую, в связи с наличием приставки «арк» в названии, обратные тригонометрические функции называют аркфункциями.

Свойства функции арксинус:

Свойства функции арккосинус:

Свойства функции арктангенс:

Свойства функции арккотангенс:

Источник

Что такое функция?

7 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Понятие функции

Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.

1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.

Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.

2. Функция — это определенное действие над переменной.

Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.

В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:

В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.

3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.

Например, в функции у = 2х каждому действительному числу х ставит в соответствие число в два раза большее, чем х.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида

область определения выглядит так:

И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.

Источник

Что такое основная функция

Функция в переводе с лат. означает «исполнение» — это способ проявления активности системы, устойчивые активные взаимоотношения вещей, при которых изменения одних объектов приводят к изменениям других. Понятие употребляется в самых различных значениях. Оно может означать способность к деятельности и саму деятельность, роль, свойство, значение, задачу, зависимость одной величины от другой и т.д.

Под функцией системы обычно понимают:

В теории систем понятие «функция» занимает очень важное место. Функции выражают поведение системы, причем это поведение при обозначении его функцией становится упорядоченным, закономерным и организованным. Поэтому функции представляют собой направления активности системы, которая взаимодействует со средой. Функция — это, прежде всего, проявление свойств системы. Можно согласиться с В. Г. Афанасьевым, который пишет: « Функция системы является проявлением свойств, качеств системы во взаимодействии с другими объектами системного и несистемного порядка, выражением определенной относительно устойчивой реакции системы на изменение ее внутреннего состояния и ее внешней среды, реакция на возмущающие воздействия изнутри и извне, своеобразным специфическим способом поведения системы, средством разрешения постоянного противоречия между системой и средой, ее окружением. Функции системы как целого определяют функции, которые выполняет в системе каждый из ее компонентов» [2, с. 133].

Ключевым положением теории систем, создающим условия для так называемого структурно-функционального анализа, является положение о том, что между структурой системы и ее функциями существует вполне определенная закономерная взаимосвязь. Это метко подметил Ю. Г. Марков: «Функции, какова бы ни была их природа, можно реализовать лишь в структуре» [13, с. 19]. На это обращает внимание и В. Г. Афанасьев: «Функции присущи системе и ее компонентам, причем функции системы есть интегрированный результат функционирования образующих ее компонентов» [2, с. 131].

Немаловажным положением теории систем выступает положение о функциональной зависимости в системе, которое предопределяет основные направления функционального анализа. Оно достаточно четко сформулировано В. Г. Афанасьевым: « Функциональная зависимость имеет место между отдельными компонентами данной системы; между компонентами и системой в целом; между системой в целом и другой, более широкой системой, компонентом которой она сама является» [2, с. 133]. По сути функциональный анализ сводится к определению этих видов функциональных зависимостей, которые демонстрируют и объясняют активность системы.

Типология функций системы представляет собой многоаспектное образование. На первый взгляд кажется, что функции так многообразны, что не поддаются какой-то классификации. На самом деле их не так много. Иллюзию бесконечного множества видов создает множество систем, которые придают функциям индивидуальную неповторимость.

Так, по степени воздействия на внешнюю среду и по характеру взаимодействия с другими системами функции бывают: пассивные, обслуживающие, противостояния, поглощения, преобразования, адаптивные; по составу — простые и сложные; по характеру проявления — явные и латентные; по содержанию — целевые, ролевые, деятельные; по характеру временной детерминации — временные, постоянные; по отношению к системе — внешние, внутренние; по характеру действия — непрерывные и дискретные; по последствиям для системы — позитивные, нейтральные и дисфункции; по траектории реализации — линейные и нелинейные; по количеству переменных — с одной переменной и с несколькими переменными (табл. 14).

Таблица 14 — Типология функций системы

Следует подчеркнуть, что каждая система родственна со всеми системами с точки зрения функций и одновременно индивидуально неповторима. Данная таблица может быть применена при построении функциональных описаний систем.

Особое внимание обратим на внутренние и внешние функции системы. Вопрос о взаимодействии и взаимообусловленности этих функций представляется одним из ключевых положений теории систем. Он объясняет практически все основные проблемы не только функционирования, но и развития систем. Наличие этих функций обусловлено тем, что для любой системы характерна внешняя и внутренняя среда, поэтому свойственны внутренние и внешние функции.

Внешние и внутренние функции

Внешние функции — это активные, направленные воздействия системы на окружающую среду для достижения поставленных целей. Внешние функции обеспечивают внешние результаты системы. Они представляют собой устойчивые реакции системы на среду и устойчивые связи системы со средой. Поэтому для них характерны:

Внешние функции могут быть нескольких видов.

Функция системы — это ее свойство в динамике, приводящее к достижению цели, т.е. в процессе функционирования система меняет состояния. При этом она переходит из одного состояния в другое или сохраняет какое-либо состояние. Состояния изображаются в виде точек пространства состояний. Отсюда функционирование системы представляется в виде некоторой траектории в пространстве состояний.

Поскольку достижение цели или целевого состояния может быть обеспечено посредством движения по некоторым траекториям, возникает вопрос о предпочтительной или оптимальной траектории.

Оптимальным называется функционирование системы, при котором она удовлетворяет: во-первых, ограничениям, накладываемым внешней средой; во-вторых, критериям качества самой траектории.

Внутренние функции системы определяются тем, что выполнение системой внешней работы неизбежно приводит к мобилизации системы. В ней происходят различные корреляции целей, вещества, энергии, информации. Налаживание обмена с окружающей средой требует постоянного регулирования элементов, взаимосвязей между ними и т.п.

Поэтому под внутренней функцией следует понимать важнейшее условие внешнего функционирования, при котором проявление целого обеспечивается проявлением и существованием его частей, т. е. это способ взаимодействия частей внутри целого. Разновидности внутренних функций:

Обратим внимание на то, что реализация внутренних функций обеспечивается природой системы. Если это живой организм, то происходит его биологическая внутренняя саморегуляция. Если производственная организация, то в ней работают цели, мотивы, ценности, установки людей. Важнейшая роль внутренних функций заключается в том, что они обеспечивают необходимую для внешнего функционирования внутреннюю динамику системы.

Источник

ФУНКЦИЯ

Смотреть больше слов в « Словаре терминов »

Смотреть что такое ФУНКЦИЯ в других словарях:

ФУНКЦИЯ

(мат.). — В ст. Дифференциальное исчисление уже объяснено, что такое Ф. и какие Ф. называются явными и неявными, однозначными и многозначными. В ст. Тр. смотреть

ФУНКЦИЯ

ФУНКЦИЯ

функция 1. ж. Зависимая переменная величина (в математике). 2. ж. Проявление жизнедеятельности организма, тканей, клеток и т.п. (в физиологии). 3. ж. 1) Явление, зависящее от другого, основного явления и служащее формой его проявления или осуществления. 2) а) перен. Обязанность, круг деятельности, подлежащая исполнению работа. б) Значение, назначение, роль.

ФУНКЦИЯ

функция ж. (в разн. знач.)function явная функция мат. — explicit function неявная функция мат. — implicit function обратная функция мат. — inverse func. смотреть

ФУНКЦИЯ

ФУНКЦИЯ

ФУНКЦИЯ, одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Если величины х п у связаны так, что каждому. смотреть

ФУНКЦИЯ

ФУНКЦИЯ

ФУНКЦИЯ в языкознании, способность языковой формы к выполнению того или иного назначения (нередко синоним терминам «значение» и «назначение» языковой. смотреть

ФУНКЦИЯ

Функция (мат.). — В ст. Дифференциальное исчисление уже объяснено, что такое Ф. и какие Ф. называются явными и неявными, однозначными и многозначными. смотреть

ФУНКЦИЯ

2.1 функция (function): Реализация в программе алгоритма, по которому пользователь или программа могут частично или полностью выполнять решаемую зада. смотреть

ФУНКЦИЯ

ФУНКЦИЯ (лат. functio – исполнение)обязанность, круг деятельности. «Функция – это существование, мыслимое нами в действии» (Гёте). Наука о функциях. смотреть

ФУНКЦИЯ

function, functionality* * *фу́нкция ж.functionфу́нкция A перехо́дит в фу́нкцию B — (the) function A goes into (the) function B воспроизводи́ть фу́нк. смотреть

ФУНКЦИЯ

ФУНКЦИЯ

ж.functionфункция аналитична в окрестности точки Z — the function is analytical in the neighborhood of point Zв функции x — as a function of xразложить. смотреть

Источник