Что такое основы математической обработки информации

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ

Описание презентации по отдельным слайдам:

Описание слайда:

Лекция 1-2,4. Основы математической обработки информации. Компьютерные методы
Составила: Курганова Н.А.

Описание слайда:

Описание слайда:

Определения
Вся продуктивная деятельность человека так или иначе связана с обработкой информации. Процесс развития общества неотделим от становления все более полных и эффективных методов обработки информации. Каждая область науки и в большой степени различные отрасли деятельности (образование, экономика, экология, добывающие отрасли, транспорт, связь, медицинская диагностика, управление и т.д.) представляют собой совокупность идей и методов, предназначенных для целенаправленной и эффективной обработки той информации, за которую ответственна данная область.

Описание слайда:

Определения
Основу методов обработки информации составляют вычислительная математика, теория информации и математическая статистика.

Описание слайда:

Определения
Обработка информации состоит в получении одних «информационных объектов» из других «информационных объектов» путем выполнения некоторых алгоритмов и является одной из основных операций, осуществляемых над информацией.
Можно выделить числовую и нечисловую обработку информации.

Описание слайда:

Описание слайда:

Основные методы
1. Компьютерные методы
2. Метод построения математических моделей.
3. Статистические методы.
4. Графические методы.

Описание слайда:

1. Компьютерные методы
Компьютер значительно расширяет возможности в обработке математических данных.

Описание слайда:

1. Компьютерные методы
Использование табличных процессоров (Excel и др.), специализированных математических пакетов (MathCad, Maple и др. ), статистических пакетов http://denisvolkov.com/wp-content/uploads/2011/03/KMOD-0.pdf позволяет решать математические задачи различного уровня сложности, тем самым позволяя осуществить математическую обработку информации.

Описание слайда:

Примеры задач:
работа с матрицами и определителями;
работа с системами линейных уравнений и неравенств;
построение и исследование графиков функций;
построение диаграмм, гистограмм;
математическая обработка экспериментальных данных;
др.

Описание слайда:

Решение линейной системы методом Гаусса в MathCad
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно разделить на точные и приближенные.
Метод решения задачи относят к классу точных, если в предположении отсутствия округления с его помощью можно найти решение в результате конечного числа арифметических и логических операций.

Описание слайда:

Решение линейной системы методом Гаусса в MathCad
Метод Гаусса – точный метод решения невырожденной системы линейных алгебраических уравнений.
В MathCad прямой и обратный ходы выполняет функция rreff(A).

Описание слайда:

Моделирование
Основной путь исследования системы – это построение модели. Моделирование – процесс, посредством которого исследователь стремится понять определенные аспекты реальной жизни. Модель не является точной копией реальности, а представляет собой упрощенный ее вариант, согласованный с задачами исследователя. Один и тот же объект в зависимости от целей исследования может иметь разные модели.

Описание слайда:

Описание слайда:

Моделирование
Моделирование – это прежде всего умение выделить главное. Модели должны быть по возможности простыми, од­нако они должны включать все самые важные части исследуе­мой системы (оригинала), самые важные функции и самые важ­ные связи, внутрисистемные и внешние. Но таких элементов, выбранных для последующего детального исследования, долж­но быть ограниченное, небольшое количество, иначе будет трудно вести анализ.

Описание слайда:

Моделирование
Для того чтобы найти главные части и связи системы, следует сосредоточить внимание на трех важных моментах:
Определить главную цель системы, ответив на вопросы о том, зачем существует система и какие главные функции она выполняет.
Понять работу системы и определить главные части (подсистемы), участвующие в выполнении главной функции.
Установить важные связи между этими частями.
При этом связи и части системы будут действительно важными, если после их исключения из нее система «рассыпается». И наоборот, если мы исключили какую-то часть или связь и ничего не изменилось, то это не главная часть или, соответствен­но, не важная связь.

Описание слайда:

Советы
Научиться моделированию, ограничившись только формаль­ным усвоением каких-то правил, конечно, невозможно. Но все же есть со­веты, к которым стоит прислушаться. Например, к советам ака­демика Ю.И. Неймарка. Они достаточно общие и не могут служить непосредственным указанием к действию, но дают разумные подсказки, что и как следует делать:
Чем проще модель, тем меньше возможность ошибочных выводов.
Модель должна быть простой, но не проще, чем это воз­можно.
Пренебрегать можно чем угодно, нужно только знать, как это повлияет на решение.
Модель должна быть грубой: малые поправки не должны кардинально менять ее поведение.
Модель и расчет не должны быть точнее исходных данных.

Описание слайда:

Основные принципы построения матема­тической модели
Необходимо соизмерять точность и подробность модели, во-первых, с точностью тех исходных данных, которыми располагает исследователь, и, во-вторых, с теми результатами, которые требуется получить.
Математическая модель должна отражать существенные черты иссле­дуемого явления и при этом не должна его сильно упрощать.
Математическая модель не может быть полностью адекватна реально­му явлению, поэтому для его исследования лучше использовать не­сколько моделей, для построения которых применены разные матема­тические методы. Если при этом получаются сходные результаты, то исследование заканчивается. Если результаты сильно различаются, то следует пересмотреть постановку задачи.
Любая сложная система всегда подвергается малым внешним и внут­ренним воздействиям, следовательно, математическая модель должна быть устойчивой, т.е. сохранять свои свойства и структуру при этих воздействиях.

Описание слайда:

Метод построения математических моделей
Приближённое описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. М. м. — мощный метод познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления. Анализ М. м. позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений.

Описание слайда:

Этапы
Процесс математического моделирования, то есть изучения явления с помощью М. м., можно подразделить на 4 этапа.

Описание слайда:

Первый этап
формулирование законов, связывающих основные объекты модели. Этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качеств, представлений о связях между объектами модели.

Описание слайда:

Второй этап
исследование математических задач, к которым приводят М. м. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, то есть получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений. На этом этапе важную роль приобретают математический аппарат, необходимый для анализа М. м., и вычислительная техника — мощное средство для получения количеств, выходной информации как результата решения сложных математических задач. Часто математические задачи, возникающие на основе М. м. различных явлений, бывают одинаковыми (например, основная задача линейного программирования (См. Линейное программирование) отражает ситуации различной природы). Это даёт основание рассматривать такие типичные математические задачи как самостоятельный объект, абстрагируясь от изучаемых явлений.

Описание слайда:

Третий этап
выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики, то есть выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена — все параметры её были заданы, — то определение уклонений теоретических следствий от наблюдений даёт решения прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении модели некоторые её характеристики остаются не определёнными. Задачи, в которых определяются характеристики модели (параметрические, функциональные) таким образом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точности наблюдений с результатами наблюдений изучаемых явлений, называются обратными задачами. Если М. м. такова, что ни при каком выборе характеристик этим условиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых явлений. Применение критерия практики к оценке М. м. позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению (гипотетической) модели. Этот метод является единственным методом изучения недоступных нам непосредственно явлений макро- и микромира.

Описание слайда:

Четвертый этап
последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели. В процессе развития науки и техники данные об изучаемых явлениях всё более и более уточняются и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании существующей М. м., не соответствуют нашим знаниям о явлении. Т. о., возникает необходимость построения новой, более совершенной М. м.

Описание слайда:

Классификация М.м.
Однокритериальные модели
Многокритериальные модели
Математические
модели
Детерминированные
модели
Стохастические
модели
Модели с элементами неопределенности
Линейные
модели

Модели стохастического программирования
Модели
теории игр
игр
Нелинейные
модели
Модели теории случайных процессов
Имитационные
модели
Динамические модели
Модели теории массового
обслуживания
Графические модели

Описание слайда:

Примеры
Модель Солнечной системы. Наблюдения звёздного неба начались в глубокой древности. Первичный анализ этих наблюдений позволил выделить планеты из всего многообразия небесных светил. Таким образом, первым шагом было выделение объектов изучения. Вторым шагом явилось определение закономерностей их движений. (Вообще определения объектов и их взаимосвязей являются исходными положениями — «аксиомами» — гипотетической модели.) Модели Солнечной системы в процессе своего развития прошли через ряд последовательных усовершенствований. Первой была модель Птолемея (2 век н. э.), исходившая из положения, что планеты и Солнце совершают движения вокруг Земли (геоцентрическая модель), и описывавшая эти движения с помощью правил (формул), многократно усложнявшихся по накоплении наблюдений.
Другие примеры http://mat.1september.ru/2003/14/no14_1.htm

Описание слайда:

Примеры
Экономико-математические модели: функции полезности; кривые безразличия; функции спроса; уравнение Слуцкого; Кривые «доход –потребление»; кривые «цены – потребление»; коэффициент эластичности; материальные балансы; функции выпуска продукции; производственные функции затрат ресурсов; модели поведения фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции; модели общего экономического равновесия; модель Эрроу – Гурвица; статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса; общие модели развития экономики

Описание слайда:

Вывод
Метод математического моделирования, сводящий исследование явлений внешнего мира к математическим задачам, занимает ведущее место среди других методов исследования, особенно в связи с появлением ЭВМ. Он позволяет проектировать новые технические средства, работающие в оптимальных режимах, для решения сложных задач науки и техники; проектировать новые явления. М. м. проявили себя как важное средство управления. Они применяются в самых различных областях знания, стали необходимым аппаратом в области экономического планирования и являются важным элементом автоматизированных систем управления.

Описание слайда:

Графические методы
К графическим методам обработки информации можно отнести:
Графики
Диаграммы
Графы

Описание слайда:

Графики
Современную науку невозможно представить без применения графиков. Они стали средством научного анализа и обобщения. Такие свойства графиков, как выразительность, доходчивость, лаконичность, универсальность, смысловая однозначность, интернациональность, легкость кодирования, а также обозримость графических изображений сделали их незаменимыми в исследовательской и практической работе и в сопоставлениях как в технических вопросах, так и в вопросах социал

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Метричность и наглядность. Метричность, т.е. использование в графиках масштабных шкал и условных обозначений, позволяет определить отдельные показатели, уровни и размеры изучаемых явлений. Представление информации в виде графика более наглядно и доступно, чем табличное, оно позволяет лучше осмыслить результаты наблюдения, правильно их истолковать, получить новое знание о предмете исследования, обобщая исходную информацию.
Особенности графического языка

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Направленные диаграммы
Разновидностью столбиковых (ленточных) диаграмм являются направленные диаграммы. Они отличаются от них двусторонним расположением столбиков или полос и имеют начало отсчета по масштабу в середине. Обычно такие диаграммы применяются для изображения величин противоположного качественного значения. Сравнение между собой столбиков (полос), направленных в разные стороны, менее эффективно, чем расположенных рядом в одном направлении. Несмотря на это, анализ направленных диаграмм позволяет делать достаточно содержательные выводы, так как особое расположение придает графику яркость изображения

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Диаграммы в виде графического изображения одной геометрической фигуры в другой
К рассматриваемому виду диаграмм относится графическое изображение, полученное путем построения одной в другой различных геометрических фигур (квадратов, кругов, прямоугольников и др.) с различной заштриховкой или закраской. При этом в случае построения диаграмм в виде кругов один в другом сравниваются не диаметры окружностей, а угловые размеры секторов.Такие диаграммы позволяют сравнивать между собой ряд исследуемых величин.

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Источник

Пособие на тему «Основы математической обработки информации»

ФГАОУ ВО «КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского» ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ (ФИЛИАЛ) В Г. ЯЛТЕ

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

Бубнова А.А., Кочегурная М.Ю.

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ

Рекомендовано ученым совета Гуманитарно-педагогической академии (филиал) «Крымский федеральный университет им. В.И. Вернадского» от «_»______2015 года (протокол № )

Бубнова А.А., Кочегурная М.Ю.

Б 90 Математика. / Бубнова А.А., Кочегурная М.Ю.:

Методическое пособие. – Ялта: РИО ГПА, 2015. – 55с.

Данное пособие предназначено для студентов математических и экономических специальностей, для учащихся старших классов, учителей школ и преподавателей вузов. Пособие содержит программный материал по математике. Может быть использовано для подготовки к экзамену по математике и единому государственному экзамену.

Орлов В.Н., доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики, теории и методики обучения математике Гуманитарно-педагогической академии (филиал) в г. Ялте «Крымского федерального университета им. В.И. Вернадского».

Овчинникова М.Ю., кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики, теории и методики обучения математике Гуманитарно-педагогической академии (филиал) в г. Ялте «Крымского федерального университета им. В.И. Вернадского».

© Бубнова А.А., Кочегурная М.Ю., 2015 г.

© Гуманитарно-педагогическая академия (г. Ялта), 2015 г.

1. ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ 5

— Различные числовые множества. Метод математической индукции 5

— Действия над действительными числами 12

— Модуль числа. Числовая прямая 16

— Отношения. Пропорция. Проценты 18

— Определение, виды и свойства функций 20

— Построение графиков элементарных функций 20

3. КОМБИНАТОРИКА 34

— Перестановки, размещения и сочетания без повторений 34

— Перестановки, размещения и сочетания с повторениями 35

— Сбор информации для статистики 37

— Вариационный ряд. Распределение ряда 37

— Математические параметры статистического распределения 38

5. ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ДИСТАНЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ОБУЧЕНИЯ

6.СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ 41

7.ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 42

8. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. ВАРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 53

Дисциплина «Основы математической обработки информации» является одной из базовых дисциплин в программе Высшей школы. Целями этой учебной дисциплины являются:

— формирование у студентов представления об общих математических понятиях;

— приобретение студентами теоретических знаний, практических умений и навыков, необходимых для осуществления в будущем педагогической деятельности на высоком профессиональном уровне.

Данное пособие написано в соответствии с программой курса «Математика» и состоит из восьми разделов: «Числовые системы», «Функции», «Комбинаторика», «Статистика», «Педагогические средства использования технологии дистанционного обучения», «Справочный материал», «Задания для самостоятельной работы», «Вопросы к экзамену и вариант контрольной работы».

Раздел «Числовые системы» освещает вопросы: понятия различных числовых множеств, арифметические действия над действительными числами и их свойств; понятия процента и решения задач на проценты.

Раздел «Функции» рассматривает: различные виды функций их свойств и построение их графиков.

В раздел «Комбинаторика», «Статистика» рассматриваются определения и формул различных комбинаций, формула бинома Ньютона, методы статистических.

В пособии предложены задания для самостоятельной работы, а также темы для подготовки к экзамену по дисциплине «Математика».

В пособии имеются индивидуальные задания, позволяющие студентам привести свои знания по теме в систему и приобрести практические умения в ходе решения поставленных перед ними конкретных методических задач.

Пособие снабжено электронным приложением, в котором есть 30 видеоуроков, 50 презентаций по разделам математики. Читатели свои знания могут проверить с помощью 44 тестов. В приложении есть наглядный справочный материал в таблицах и графиках.

Пособием могут пользоваться студенты как заочного, так и дневного обучения. Преподаватель может использовать материал пособия для составления дидактического материала. Ученики старших классов могут по этому пособию готовиться к олимпиадам, а так же к единому государственному экзамену.

1. ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ

Различные числовые множества

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство. ) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравнения х 2 +2х+2=0, о множестве всех натуральных чисел и т. д.

Если элемент х принадлежит множеству X, то записывают х ÎX; запись хÏХ или х Î X означает, что элемент х не принадлежит множеству X.

Например, запись А= <1,3,15>означает, что множество А состоит из трех чисел 1, 3 и 15; запись А= <х:0≤х≤2>означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству 0 ≤ х ≤ 2.

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Символически это обозначают так АÌВ («А включено в В») или ВÉА («множество В включает в себя множество А»).

Объединением (или суммой) множеств A и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают AUВ (или А+В). Кратко можно записать АUВ=<х:хєА или хєВ>.

Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В. Пересечение (произведение) множеств обозначают А∩В (или А*В). Кратко можно записать А∩В=

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые простейшие логические символы:

ΑÞ ß — означает «из предложения α следует предложение ß»;

ΑÛ ß — «предложения α и ß равносильны», т. е. из α следует ß и из ß следует α;

» — означает «для любого», «для всякого»;

: — «имеет место», «такое что»;

Например:
1) запись » xÎ А:α означает: «для всякого элемента хÎ А имеет место предложение α»;
2) (х єA U В) (х є А или х є В); эта запись определяет объединение множеств А и В.

Числа вида N = называются натуральным и. Натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов

Из чисел с помощью знаков арифметических действий и скобок составляются числовые выражения. Если в числовом выражении выполнить указанные действия, соблюдая принятый порядок, то получиться число, которое называется значением выражения.

Порядок арифметических действий: сначала выполняются действия в скобках; внутри любых скобок сначала выполняют умножение и деление, а потом сложение и вычитание.

Если число имеет только два делителя (само число и единица), то оно называется простым: если число имеет более двух делителей, то оно называется составным.

Любое составное натуральное число можно разложить на простые множители, и только одним способом. При разложении чисел на простые множители используют признаки делимости.

Для любых заданных натуральных чисел a и b можно найти наибольший общий делитель. Он обозначается D(a,b). Если числа a и b таковы, что D(a,b) = 1, то числа a и b называются взаимно простыми.

Для любых заданных натуральных чисел a и b можно найти наименьшее общее кратное. Оно обозначается K(a,b). Любое общее кратное чисел a и b делится на K(a,b).

Если числа a и b взаимно простые, т.е. D(a,b) = 1, то K(a,b) = ab .

Каждое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Дробь n/m называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или раен ему.

Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби.

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

Если числитель и знаменатель дроби взаимно простые числа, то дробь называется несократимой.

Последовательно повторяющаяся группа цифр после запятой в десятичной записи числа называется периодом, а бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической. Если период начинается сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической; если же между запятой м периодом есть другие десятичные знаки, то дробь называется смешанной периодической.

Числа не являющиеся целыми или дробными называются иррациональными.

Каждое иррациональное число представляется в виде непериодической бесконечной десятичной дробью

Множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей называется множеством действительных чисел : рациональных и иррациональных

Действительные числа

Действительные числа. объединение рациональных и иррациональных чисел называют действительными числами. Множество действительных чисел обозначают символом R.RQZN

Натуральных чисел:

Целых чисел:

Рациональных чисел:

Действительных(вещественных) чисел:

Отрезок (замкнутый промежуток, сегмент):

Интервал (открытый промежуток):

Бесконечные числовые промежутки (лучи, полупрямые):

Числовая прямая:

Замечание. Наряду с приведенными используются и обозначения — для интервала; — для полуинтервалов; — для лучей; — для числовой прямой.

Метод математической индукции

Метод математической индукции является важным способом доказательства предложений (утверждений), зависящих от натурального аргумента.

Метод математической индукции состоит в следующем:

P (1) является истинным предложением (утверждением);

Таким образом метод математической индукции предполагает два этапа:

Этап проверки: проверяется, истинно ли предложение (утверждение) P (1).

Этап доказательства: предполагается, что предложение P ( n ) истинно, и доказывается истинность предложения P ( n + 1) ( n увеличено на единицу).

Замечание 1. В некоторых случаях метод математической индукции используется в следующей форме:

В дальнейшем рассмотрим примеры применения метода математической индукции.

Пример 1. Доказать следующие равенства

Решение. a) При n = 1 равенство примет вид 1=1, следовательно, P (1) истинно. Предположим, что данное равенство справедливо, то есть, имеет место

.

Следует проверить (доказать), что P ( n + 1), то есть

истинно. Поскольку (используется предположение индукции)

c) При n = 1 равенство истинно: 1=1. Допустим, что истинно равенство

и покажем, что

то есть истинность P ( n ) влечет истинность P ( n + 1). Действительно,

и, так как 2 n 2 + 7 n + 6 = (2 n + 3)( n + 2), получим

d) При n = 1 равенство справедливо: 1=1. Допустим, что имеет место

e) Утверждение P (1) справедливо: 2=2. Допустим, что равенство

справедливо, и докажем, что оно влечет равенство

.

Покажем, что последнее равенство влечет следующее:

Действительно, учитывая, что P ( n ) имеет место, получим

Таким образом, равенство доказано.

Действия над действительными числами

Свойства сложения:

Свойства вычитания:

Свойства умножения:

Свойства деления:

Число a называется числителем дроби. Число b называется знаменателем дроби

Действия над дробями (ba и cd):

Если b = d, то bacd=bac

Если k целое число, то kba=bka или ba:k=abk

Две дроби можно умножать bacd=acbd или делить ba:cd=bcad

Сложение и вычитание десятичных дробей. Эти операции выполняются так же, как и сложение и вычитание целых чисел. Необходимо только записать соответствующие десятичные знаки один под другим.

Сумма чисел десятичных знаков в сомножителях равна: 3 + 4 = 7. Сумма цифр в произведении равна 6. Поэтому необходимо добавить один ноль слева: 0197056 и проставить перед ним десятичную точку: 0.0197056.

Деление десятичных дробей

Р е ш е н и е :

I. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

Примеры.

II. Если нужно сложить дроби с разными знаменателями, то сначала дроби приводят к наименьшему общему знаменателю, а затем складывают дроби с одинаковыми знаменателями.

Примеры.

III. Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, а знаменатель оставляют тот же.

Примеры.

IV. Если нужно выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, то их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Примеры.

V. При выполнении действий сложения или вычитания смешанных чисел эти действия выполняют отдельно для целых частей и для дробных частей, а затем результат записывают в виде смешанного числа.

Примеры.

Да, складывать нужно отдельно целые части и отдельно дробные части смешанного числа.

Нет, не нужно расписывать целые и дробные части смешанных чисел по отдельности.

Важно: не начинайте выполнять сложение, пока не приведете дробные части данных смешанных чисел к наименьшему общему знаменателю (НОЗ).

Помним, что единицу можно представить в виде обыкновенной дроби, числитель и знаменатель которой, являются любыми равными друг другу числами.

Важно: не начинайте выполнять вычитание, пока не приведете дробные части данных смешанных чисел к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) и не убедитесь, что из числителя первой дроби можно вычесть числитель второй дроби. А если нельзя вычесть?

Тогда «занимаете» у целой части уменьшаемого одну целую единицу, представляете ее в виде неправильной дроби с таким же знаменателем (НОЗ), и добавляете эту неправильную дробь (раздробленную единицу) к дробной части уменьшаемого.

Модуль числа и числовая прямая

Модуль действительного числа — это абсолютная величина этого числа.

Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак.

Модуль числа a обозначается |a|. Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: |a|≥ 0.

|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45

Определение модуля

Геометрический смысл модуля

Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа.

Например, |-5| = 5. То есть расстояние от точки -5 до нуля равно 5.

|x — 3| = 4.

Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки до точки равно . С помощью графического метода можно определить, что уравнение имеет два решения: и .

Решим неравенство: |x + 7|

Решим неравенство: |10 — x| ≥ 7.

Расстояние от точки 10 до точки больше или равно семи. Ответ: (-∞; 3]υ [17, +∞)

Отношения. Пропорция. Процент

Крайние члены пропорции : 12 и 5 в первой пропорции; a и d – во второй.

Средние члены пропорции : 20 и 3 в первой пропорции; b и с – во второй.

Масса любого вещества пропорциональна его объёму. Например, 2 литра ртути весят 27.2 кг, 5 литров весят 68 кг, 7 литров весят 95.2 кг. Отношение массы ртути к её объёму ( коэффициент пропорциональности )будет равно:

Таким образом, коэффициентом пропорциональности в данном примере является плотность.

Процентом называется сотая часть от числа, т.е. 1%А = 0,01А

Основные типы задач.

Сколько процентов составляет число А от числа В?

Решение: x=ВА100%

Число А увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшилось на 25%. Как, в итоге, изменилось исходное число?

Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%?

Решение: 1)t=SV 2) t1=SV1=S125V=1125SV=08SV=80%t. Ответ: уменьшится на 20%.

Основные задачи на проценты

Замечание. Для того чтобы записать проценты десятичной дробью или натуральным числом, нужно число, которое стоит перед знаком %, разделить на 100.

Например: 1) 24% = 24 : 100 = 0,24 ; 2) 700% = 700 : 100 = 7

Основные типы задач на проценты.

Задача 1. Нахождение процента p% от числа b

Если число a составляет p% от числа b, то эти числа связаны равенством 100%a=p%b или b100=pa или a=bp100

Задача 2. Нахождение числа a по данному проценту p%

Если p% какого нубудь числа a равно b, то эти числа связаны равенством a=b:p100=p100b

Задача 3. Нахождение прцентного отношения чисел a и b

Число a составляет ba100% от числа b

Задача 4. Увеличения на p%

Если число a увеличено на p%, то оно увеличено в 1+p100 раз, то получится число a1+p100 .

Задача 5. Уменьшение на q%

Задача 6. Начисление простых процентов

.Задача 7. Начисление сложных процентов

2.ФУНКЦИИ

Определения, виды и свойства функций

Функцией называется соответствие между множествами , кога каждому значению соответствует неболее один .

Основные элементарные функции:

степенная ;

показательная ;

логарифмическая ;

тригонометрические ;

обратные тригонометрическим

(Смотри видеоурок 1, 2, 5, 9)

Пример1. Найти область определения функции

Так как функция представляет собой сумму функций, то область определения функции будет состоять из всех тех значений х, которые принадлежат одновременно области определения функций и . Поэтому область определения заданной функции определяется как совокупность значений х,при которых одновременно выполняются неравенства Это будет интервал (1,2).

Пример2. Доказать, что функция — нечетная.

Область определения функции:

Следовательно, функция нечетная.

Построение графиков элементарных функций

Графики элементарных функций

Я не претендую на полноту и научную основательность материалов, упор будет сделан, прежде всего, на практике – тех вещах, с которыми приходится сталкиваться буквально на каждом шагу, в любой теме высшей математики .

Как правильно построить координатные оси?

На практике контрольные работы почти всегда оформляются студентами в отдельных тетрадях, разлинованных в клетку. Зачем нужна клетчатая разметка? Ведь работу, в принципе, можно сделать и на листах А4. А клетка необходима как раз для качественного и точного оформления чертежей.

Чертежи бывают двухмерными и трехмерными.

Сначала рассмотрим двухмерный случай декартовой прямоугольной системы координат :

График линейной функции

1) Линейная функция вида () называется прямой пропорциональностью. Например, . График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается – достаточно найти всего одну точку.

2) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции строится сразу, без нахождения всяких точек. То есть, запись следует понимать так: «игрек всегда равен –4, при любом значении икс».

3) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции также строится сразу. Запись следует понимать так: «икс всегда, при любом значении игрек, равен 1».

Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Так-то оно, может и так, только за годы практики я встретил добрый десяток студентов, которых ставила в тупик задача построения графика вроде или .

Построение прямой – самое распространенное действие при выполнении чертежей.

График квадратичной, кубической функции, график многочлена

Парабола. График квадратичной функции () представляет собой параболу. Рассмотрим знаменитый случай:

кубическая парабола

Кубическая парабола задается функцией . Вот знакомый со школы чертеж:

График функции

График гиперболы

Опять же вспоминаем тривиальную «школьную» гиперболу .

График показательной функции

В данном параграфе я сразу рассмотрю экспоненциальную функцию , поскольку в задачах высшей математики в 95% случаев встречается именно экспонента.

Напоминаю, что – это иррациональное число: , это потребуется при построении графика, который, собственно, я без церемоний и построю. Трёх точек, пожалуй, хватит:

График логарифмической функции

Рассмотрим функцию с натуральным логарифмом .
Выполним поточечный чертеж:

Тригонометрия

Основные тригонометрические формулы

Допустимые значения аргумента

Решение простых тригонометрических уравнений

Если — вещественных решений нет.

Если — решением является число вида

Если — вещественных решений нет.

Если — решением является число вида

Решением является число вида

Решением является число вида

Графики тригонометрических функций

Построим график функции

График косинуса

Построим график функции

Графики тангенса

Построим график функции

(Смотри видеоуроки 3, 4, 7, 10, 12, 14, 16, 17).

3. ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ДИСТАНЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ОБУЧЕНИЯ

Основы дистанционного обучения

Дистанционное обучение (ДО) — совокупность технологий, обеспечивающих доставку обучаемым основного объема изучаемого материала, интерактивное взаимодействие обучаемых и преподавателей в процессе обучения, предоставление обучаемым возможности самостоятельной работы по освоению изучаемого материала, а также в процессе обучения.

Современное дистанционное обучение строится на использовании следующих основных элементов:

среды передачи информации (почта, телевидение, радио, информационные коммуникационные сети),

методов, зависимых от технической среды обмена информацией.

В настоящее время перспективным является интерактивное взаимодействие с учащимся посредством информационных коммуникационных сетей, из которых массово выделяется среда интернет-пользователей.

Использование технологий дистанционного обучения позволяет:

снизить затраты на проведение обучения (не требуется затрат на аренду помещений, поездок к месту учебы, как учащихся, так и преподавателей и т. п.);

проводить обучение большого количества человек;

повысить качество обучения за счет применения современных средств, объемных электронных библиотек и т.д.

создать единую образовательную среду (особенно актуально для корпоративного обучения).

При дистанционном обучении могут использоваться разнообразные методы донесения учебной информации. Уже сменилось несколько поколений используемых технологий — от традиционных печатных изданий до самых современных компьютерных технологий (радио, телевидение, аудио/видеотрансляции, аудио/видеоконференции, E-Learning/online Learning, интернет-конференции, интернет-трансляции).

Не смотря на все достоинства ДО отметим его недостатки. Недостаточная компьютерная грамотность обучающих и обучаемых, отсутствие опыта дистанционного обучения, многое преподаватели и студенты еще не готовы к такому методу преподавания, отдавая предпочтение классическому образованию. Недостаточная развитость информационно-коммуникационных инфраструктуры в Украине. Обучающие программы и курсы могут быть недостаточно хорошо разработаны из-за того, что квалифицированных специалистов, способных создавать подобные учебные пособия, на сегодняшний день не так много. Мало методических материалов по подготовке и проведению дистанционного обучения. Слабое использование стандартов в дистанционном обучении. Неразвитость и несовершенство стандартов затрудняет повторное использование, обмен, многократное использование, совместимость учебных материалов. Проблема поиска специалистов, требуется высокая квалификация разработчиков, для создания качественных мультимедийных курсов нужна команда из специалиста предметной области, художника, программиста и т.д. Недостаточная интерактивность современных курсов дистанционного обучения. В настоящее время содержательную основу курсов составляют лекции в виде текстовых материалов и простейших графических объектов (рисунки, фото), блоки контроля знаний в виде тестовых заданий. Недостаточное качество предлагаем на рынке типовых решений как в качестве курсов, так и систем дистанционного обучения. Системы дистанционного обучения либо очень дороги, либо неудобны в использовании.

Развитие дистанционного обучения в системе украинского образования будет продолжаться и совершенствоваться по мере развития Интернет технологий и совершенствования методов дистанционного обучения.

Дистанционная форма обучения способствует массовому распространению образования, делая учебные курсы доступными по сравнению с традиционным очным образованием.

Широкое распространение дистанционного обучения в Украине получит тогда, когда в Украине появятся соответствующие технические возможности и хорошие телекоммуникации каналы.

Дистанционное образование позволяет реализовать два основных принципа современного образования – “образование для всех” и “образование через всю жизнь”

Moodle – это система управления содержимым сайта ( Content Management Sistem – CMS ), специально разработанная для создания онлайн-курсов преподавателями. В основу проекта положена теория социального конструктивизма и её использования для обучения. Moodle предлагает широкий спектр возможностей для полноценной поддержки процесса обучения в дистанционной среде – разнообразные способы представления учебного материала, проверки знаний и контроля успеваемости. В русскоязычной среде употребляется название «Мудл» и «Модус» (Модульная объективно-ориентированная динамическая управляющая среда).

Ниже отображается панель навигации, которая показывает место текущей страницы в иерархии сайта. Элементы этого меню являются ссылками, щелкая по которым можно возвращаться к страницам высших иерархических уровней:

Ниже панели навигации страница делится на три колонки. В колонках по краям страницы размещаются блоки, а среднюю широкую колонку страницы занимают разделы курса.

Блок – это группа ссылок и другие средства работы с курсом, объединённые общим признаком. Блоки обрамлены рамкой. Пользователь может свернуть или развернуть содержание блока с помощью кнопки, расположенной справа от названия. Название блока отображается всегда.

Внешний вид курса и навигация

Раздел курса – это фрагмент учебного курса в формате «структура» или «календарь», имеющий название и включающий ресурсы и элементы курса. Обычно раздел содержит материал по одной теме.

Разделы размещены в средней колонке между блоками курса. Их вид будет различаться в зависимости от заданного преподавателем формата курса. Чаще всего используется формат-структура. В разделах размещаются ресурсы и элементы курса. Ресурс типа Пояснение представляет собой текст и графику, которые размещаются непосредственно в рамке раздела. Остальные ресурсы и активные элементы представлены в разделе курса в виде ссылок, которые состоят из названия и графического обозначения, указывающего на тип ресурса или элемента. Щелчок на этих ссылках открывает соответствующий ресурс или задания курса. Каждый раздел отображается в отдельной рамке.

3. Глоссарий – это словарь терминов и понятий, используемых в курсе.

4. База данных – набор записей произвольной структуры

5. Тест включает различные типы заданий(выбрать один из предложенных ответов, вписать свой ответ, дать развёрнутый ответ). Проверка ответов происходит автоматически.

6. Задание. Задание предполагает ответ студента в виде текста, файла, нескольких файлов или вне сайта. После проверки задания преподаватель может выставить оценку или написать рецензию на работу.

7. Форум – это средство общения участников курса (преподавателей и студентов) при его изучении. Можно использовать несколько типов форумов.

8. Чат позволяет организовать синхронное взаимодействие между участниками в реальном времени через Интернет. Чаты можно использовать для проведения онлайновых консультаций.

9. Опрос может быть использован для голосования или сбора информации по какому-либо вопросу.

10. Wiki – это веб-страница, которая может редактироваться каждым, формируется коллективный документ.

11. Семинар – это вид занятий, где каждый участник не только выполняет собственную работу, а и оценивает результаты работы других. Итоговая оценка учитывает не только качество собственной работы, но и их деятельность в качестве рецензентов.

Ресурсы курса – это содержимое (контент), т. е. теоретические материалы для изучения, которые преподаватель размещает в разделах курса. Они могут быть представлены в виде файлов, которые загружаются в базу данных Moodle или в виде ссылок на внешние сайты. Система Moodle позволяет использовать в качестве ресурсов курса самые разнообразные форматы электронных документов.

Способы представления теоретического материала

Лекция в виде текстового файла

Веб-страница, ссылка на файл или веб-страницу

Лекция в виде презентации, аудио-, видио-лекция

Каталог изображений, аудио- и видиоматериалов

Студентам – как работать с курсом?

Работать с ресурсом достаточно просто – их необходимо освоить в сроки, установленные преподавателем – либо прочитать на экране, либо сохранить их на свой личный компьютер для дальнейшего ознакомления. Вы можете изучать материал курса в любом порядке, но желательно придерживаться заданной преподавателем последовательности, т. к. изучение некоторых материалов предполагает знание уже пройденных.

Загрузка файлов. Некоторые элементы курса требуют от слушателя загрузки своих материалов на сервер или отсылки файлов преподавателю.

— Для отправки файлов преподавателю вне сайта Вы можете использовать стандартную процедуру отправки прикреплённых файлов вашей почтовой программы.

— Ряд элементов курса, например, «Задание», предусматривает прикрепление ответов студентов в виде файлов непосредственно в элемент курса. Для этого в интерфейсе элемента «Задание» предусмотрено соответствующее окно для загрузки файла.

Журнал оценок студентов

1. Оценки. В системе Moodle реализована гибкая и довольно сложная система оценок за все выполненные задания (включая тесты), которые становятся доступны студенту непосредственно в разделе «Оценки» блока «Управление». Каждому студенту в этом журнале доступны только его оценки.

2. Рейтинги. В некоторых случаях преподаватели могут выстраивать рейтинги студентов, основываясь не только на их оценках за задания, но и принимая во внимание их активность в курсе в целом.

Для прохождения теста его нужно выбрать среди элементов курса.

Если курс содержит большое количество элементов, можно выбрать раздел тестов, щёлкнув на значке «Тесты» в меню «Элементы курса».

В этом случае из всех элементов курса будут отображены только тесты, из которых Вы можете выбрать нужный

Для того, чтобы приступить к прохождению теста, необходимо нажать кнопку «Начать тестирование». Если тест имеет ограничение по времени или количества попыток, то система выдаст предупреждение.

После прохождения теста Вам становятся доступны к результатам, в которых отображаются набранные баллы, число попыток, затраченное время и отзыв преподавателя.

Основные понятия и формулы

Какое-либо упорядоченное множество, которое состоит из элементов, называется перестановкой из элементов, и обозначается

Формула перестановки

Размещением из элементов по , называется некоторое упорядоченное подмножество из элементов множества из элементов.

Формула размещений

Сочетанием из по называется некое подмножество из элементов некоторого множества из .

Формула сочетаний

1.

2.

3.

4.

Перестановки с повторением, если среди n элементов есть одинаковые, и если среди них — первого типа, — другого типа и т. д., то получаем формулу для перестановок с повторением.

Формула перестановки с повторением

Размещение с повторением – это упорядоченное подмножество, дге элементы не обязательно должны быть разными.

Формула размещение с повторением: .

Сочетания с повторением – это подмножество, элементы которого не обязательно должны быть разными.

Формула сочетания с повторением:

Пример 1. Сколько трехзначных чисел можно записать цифрами 0,1,2,3,4?

Первая цифра в трехзначном числе может быть выбрана 4 способами (0 не выбирается), другая цифра 5 способами, третья тоже 5 способами. По правилу произведения все три цифры можно выбрать

Пример 2. Сколькими способами 7 человек могут встать в очередь в кассу?

Число равно числу перестановок из 7 элементов.

Пример 3. Сколькими способами можно из 7 человек выбрать комиссию из 3 человек?

Поскольку порядок среди выбранных в комиссию человек не важен, то число способов равно сочетанию из 7 по 3.

Пример 4. Сколько разных слов можно образовать перестановками букв в слове «математика»?

Пример 5. Автомобильный номер состоит из двух букв и 4 цифр. Какое число номеров можно составить, если буквы выбирают из 33 букв украинского алфавита?

Найдем отдельно комбинации для букв и отдельно для чисел.

Для букв используем размещения с повторением:

Для цифр: Тогда

Пример 6. Сколькими способами можно выбрать 6 одинаковых или разных пирожных в кондитерской, где есть 11 разных сортов пирожных?

Используем сочетания с повторениями:

Бином (двучлен) – выражение вида .

Формула бинома Ньютона:

.

Правая часть этой формулы называется разложением бинома.

Свойства разложения бинома:

1.Количество членов разложения бинома на единицу больше показателя степени;

2.Все члены разложения имеют одну и ту же степень равную n ;

3.Сумма биноминальных коэффициентов равна ;

4.Формула члена разложения имеет вид: .

Пример 1. В разложении четвертый член равен 0,96. Найти значение если сумма биноминальных коэффициентов равна 1024.

Так как сумма биноминальных коэффициентов равна то Теперь используем формулу члена разложения:

По условию

Пример 2. При каких значениях возможно равенство:

?

Из второг уравнения имеем , тогда Из второго находим .

Так как . Второй корень не подходит, тогда

(Смотри видеуроки 22, 24, 25).

Основные характеристики выборки

Статистика – это наука, изучающая, обрабатывающая и анализирующая количественные данные о разнообразнейших массовых явлений в жизни.

Экономическая статистика изучает изменение цен, спроса и предложения товаров, прогнозирует рост и падение производства и потребления.

Математическая статистика – это раздел математики, изучающий математические методы обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Генеральная совокупность – это вся совокупность однородных объектов, которую изучают относительно некоторого признака, который характеризует эти объекты.

Выборкой называют совокупность случайно выбранных объектов из генеральной выборки.

Статистическим распределением называют перечисление вариант и соответствующих им частот.

Эмпирической функцией распределения называют функцию , которая определяет для каждого х относительную частоту , то есть где — число вариант меньших х, — объем выборки.

Основные числовые характеристики выборки:

Медиана – это так называемое среднее значение упорядоченного ряда значений случайной величины:

Мода – это вариант, который имеет большую частоту, встречается чаще других.

Размах выборки – это разность между наибольшим и наименьшим значениями случайной величины выборки.

Подобно тому, как графики всех парабол можно получить с помощью геометрических преобразований одной параболы , так и все кривые нормальных распределений можно получить с помощью геометрических преобразований одной кривой. Эту кривую называют кривой нормального распределения, или гауссовой кривой: .

68% (или приблизительно ) всех значений нормального распределения случайной величины Х имеют отклонение от среднего значения, по абсолютной величине не превышающее среднее квадратичное отклонение , а 96% всех значений – не превышающее . Почти все значения (точнее, 99,7 всех значений) имеют отклонение от среднего, не превышающего по абсолютной величине утроенное среднее квадратичное отклонение .

Пример 1. Найдите размах, моду, медиану и среднее значение ряда данных некоторой случайной величины 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5. Постройте полигон частот значений случайной величины . Укажите на рисунке размах, моду, медиану заданного ряда данных.

Решение. Размах выборки: .

Среднее значение: .

Мода выборки: , так как число 2 повторяется чаще всего.

Медиана: , так как именно это число стоит в центре ряда.

Постоим полигон частот.

Пример 2. Выигрыши (в грн.), которые приходятся на один билет в каждой их двух лотерей, имеют следующие законы распределения:

Источник