Что такое особая точка
Что такое особая точка
Точка z0, принадлежащая области комплексных чисел, называется изолированной особой точкой функции f(z), если 
такая, что f(z) является однозначной аналитической функцией в 
(в самой точке аналитичность f(z) нарушается).
ПРИМЕР 1. Отыскание особых точек рациональной дроби.
ПРИМЕР 2. Определение типа особых точек.
ПРИМЕР 3. Определение типа особой точки.
Для того чтобы особая точка функции была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала конечное число членов.
Ряд Лорана функции f(z) в случае z0-полюс имеет вид:
(2)
если z0 принадлежит области комплексных чисел.
Номер старшего члена главной части ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности полюса называется порядком полюса.
Так, точка z0 является полюсом порядка n функции f(z), если в разложении (2) 
, Ck = 0 при k
Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter
Что такое особая точка
ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ
Точка а
С z называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f ( z ), если f ( z ) аналитическая и однозначная (регулярная) в кольце < z :0 z – a | r >, а в самой точке а не определена.
Бесконечно удаленная точка называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f ( z ), если f ( z ) регулярна в некоторой окрестности < R z | z= 
и функция 
имеет в точке x = 0 изолированную особую точку однозначного характера.
В зависимости от поведения функции f ( z ) вблизи точки а различают следующие три типа особых точек.
Изолированная особая точка а функции f ( z ) называется
а) устранимой особой точкой, если существует конечный предел
в) существенно особой точкой, если
Заметим, что типы особых точек z = функции f ( z ) и x = 0 функции j(x) совпадают, ибо
f ( a )= f ¢ ( a )=…= f ( m-1 ) ( a ) =0,
f (m) ( a ) 
0.
При т =1 точка а называется простым нулем функции f ( z ), при m >1-кратным.
Порядком (или кратностью) полюса функции g ( z ) в точке а называется кратность нуля в точке а регулярной функции
, где P ( z ) и Q ( z ) – полиномы, не имеющие общих корней, то корни полинома Q ( z ) (и только они) являются полюсами функции f ( z ).
Порядок полюса f ( z ) совпадает с кратностью соответствующих корней полинома Q ( z ).
Точка z= называется нулем кратности m 
1 для функции f ( z ), регулярной в этой точке, если функция
имеет нуль кратности т в точке x =0.
Если z=а – изолированная особая точка однозначного характера для функции f ( z ), то f ( z ) регулярна в некотором кольце < z : 0 z-a | r >и ее можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в этом кольце,
.
Тип изолированной особой точки однозначного характера определяется видом лорановского разложения функции в проколотой окрестности этой точки.
2. Для того чтобы точка а была полюсом функции f ( z ), необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения функции f ( z ) в окрестности этой точки содержала лишь конечное число членов (причем полюсом порядка т ³ 1, если главная часть имеет вид
, где с т 0.
3. Точка а тогда и только тогда является существенно особой, когда главная часть лорановского разложения функции f ( z ) в окрестности этой точки содержит бесконечно много отличных от нуля членов.
Разложение функции f ( z ) в окрестности бесконечно удаленной точки в ряд Лорана имеет вид 
Опираясь на приведенные критерии типа особой точки и определение вычета в точке z = , рекомендуем читателю сформулировать соответствующие утверждения для точки z = .
Особая точка
Полезное
Смотреть что такое «Особая точка» в других словарях:
Особая точка — указывает сюда. См. также особая точка (дифференциальные уравнения). Особенность или сингулярность в математике это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например, точка в которой… … Википедия
ОСОБАЯ ТОЧКА — аналитической функции точка, в к рой нарушаются условия аналитичности. Если аналитическаяфункция f(z )задана в нек рой окрестности точки z0 всюду … Физическая энциклопедия
ОСОБАЯ ТОЧКА — аналитической функции точка, в которой нарушается аналитичность функции … Большой Энциклопедический словарь
особая точка — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999] Тематики электротехника, основные понятия EN singular point … Справочник технического переводчика
ОСОБАЯ ТОЧКА — 1) О. т. аналитической функции f(z) препятствие для аналитического продолжения элемента функции f(z) комплексного переменного zвдоль какого либо пути на плоскости этого переменного. Пусть аналитическая функция f(z) определена некоторым… … Математическая энциклопедия
особая точка — аналитической функции, точка, в которой нарушается аналитичность функции. * * * ОСОБАЯ ТОЧКА ОСОБАЯ ТОЧКА аналитической функции, точка, в которой нарушается аналитичность функции … Энциклопедический словарь
особая точка — ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. singular point vok. singulärer Punkt, m rus. особая точка, f pranc. point particulier, m; point singulier, m … Automatikos terminų žodynas
особая точка — ypatingasis taškas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. singular point vok. singulärer Punkt, m rus. особая точка, f pranc. point singulier, m … Fizikos terminų žodynas
Особая точка функции — Особая точка указывает сюда. См. также особая точка (дифференциальные уравнения). Особенность или сингулярность в математике это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например,… … Википедия
Особая точка дифференциального уравнения — У термина «особая точка» существуют и другие значения. В математике, особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Траектория соответствующего автономного обыкновенного дифференциального уравнения,… … Википедия
Особая точка (дифференциальные уравнения)
В математике особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Особая точка векторного поля является положением равновесия или точкой покоя динамической системы, определяемой данным векторным полем: фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая представляет собой прямую, параллельную оси времени.
В любой малой окрестности фазового пространства, не содержащей особых точек, векторное поле можно выпрямить подходящей заменой координат — тем самым, поведение системы вне особых точек устроено очень просто. Напротив, в окрестности особой точки система может обладать очень сложной динамикой. Говоря о свойствах особых точек векторных полей, обычно подразумевают свойства соответствующей системы в малой окрестности особой точки.
Особые точки векторных полей на плоскости
Простейшими примерами особых точек являются особые точки линейных векторных полей на плоскости. С понятием векторного поля на плоскости можно связать линейную систему дифференциальных уравнений вида:
,
где 
— точка на плоскости, 
— матрица 
. Очевидно, точка 
в случае невырожденной матрицы является единственной особой точкой такого уравнения.
В зависимости от собственных значений матрицы , различают четыре типа невырожденных особых точек линейных систем: узел, седло, фокус, центр.
| Тип собственных значений | Тип особой точки | Тип фазовых траекторий | Вид фазовых траекторий |
|---|---|---|---|
| Чисто мнимые | Центр | окружности, эллипсы |  |
| Комплексные с отрицательной действительной частью | Устойчивый фокус | Логарифмические спирали |  |
| Комплексные с положительной действительной частью | Неустойчивый фокус | Логарифмические спирали |  |
| Действительные отрицательные | Устойчивый узел | параболы |  |
| Действительные положительные | Неустойчивый узел | параболы |  |
| Действительные разных знаков | Седло | гиперболы |  |
 |
Полезное
Смотреть что такое «Особая точка (дифференциальные уравнения)» в других словарях:
Особая точка — указывает сюда. См. также особая точка (дифференциальные уравнения). Особенность или сингулярность в математике это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например, точка в которой… … Википедия
Особая точка функции — Особая точка указывает сюда. См. также особая точка (дифференциальные уравнения). Особенность или сингулярность в математике это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например,… … Википедия
Особая точка — в математике. 1) Особая точка кривой, заданной уравнением F (x, у) = 0, точка М0(х0, y0), в которой обе частные производные функции F (x, у) обращаются в нуль: Если при этом не все вторые частные производные… … Большая советская энциклопедия
Дифференциальные уравнения — I Дифференциальные уравнения уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория Д. у. возникла в конце 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин,… … Большая советская энциклопедия
Дифференциальные уравнения — I Дифференциальные уравнения уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория Д. у. возникла в конце 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин,… … Большая советская энциклопедия
ОСОБАЯ ТОЧКА — 1) О. т. аналитической функции f(z) препятствие для аналитического продолжения элемента функции f(z) комплексного переменного zвдоль какого либо пути на плоскости этого переменного. Пусть аналитическая функция f(z) определена некоторым… … Математическая энциклопедия
Фуксова особая точка — В теории дифференциальных уравнений с комплексным временем, точка называется фуксовой особой точкой линейного дифференциального уравнения если матрица системы A(t) имеет в ней полюс первого порядка. Это простейшая возможная особенность… … Википедия
Седловая точка — функции z=x2 y2 (обозначена красным) … Википедия
Особенность — Особая точка указывает сюда. См. также особая точка (дифференциальные уравнения). См. также Критическая точка (математика). У этого термина существуют и другие значения, см. Сингулярность. Особенность, или сингулярность в математике это точка, в… … Википедия
Математическая сингулярность — Особая точка указывает сюда. См. также особая точка (дифференциальные уравнения). Особенность или сингулярность в математике это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например,… … Википедия
Особая точка
Особенность или сингулярность в математике это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например, точка в которой функция недифференцируема).
Особенности в комплексном анализе
Комплексный анализ рассматривает особенности голоморфных (более общо: аналитических) функций — точки комплексной плоскости, в которой эта функция не определена, её предел бесконечен либо предела не существует вовсе. В случае точек ветвления аналитических функций функция в особой точке может быть определена и непрерывна, но не являться аналитичной.
Особенности в действительном анализе
Полезное
Смотреть что такое «Особая точка» в других словарях:
ОСОБАЯ ТОЧКА — аналитической функции точка, в к рой нарушаются условия аналитичности. Если аналитическаяфункция f(z )задана в нек рой окрестности точки z0 всюду … Физическая энциклопедия
ОСОБАЯ ТОЧКА — аналитической функции точка, в которой нарушается аналитичность функции … Большой Энциклопедический словарь
особая точка — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999] Тематики электротехника, основные понятия EN singular point … Справочник технического переводчика
Особая точка — в математике. 1) Особая точка кривой, заданной уравнением F (x, у) = 0, точка М0(х0, y0), в которой обе частные производные функции F (x, у) обращаются в нуль: Если при этом не все вторые частные производные… … Большая советская энциклопедия
ОСОБАЯ ТОЧКА — 1) О. т. аналитической функции f(z) препятствие для аналитического продолжения элемента функции f(z) комплексного переменного zвдоль какого либо пути на плоскости этого переменного. Пусть аналитическая функция f(z) определена некоторым… … Математическая энциклопедия
особая точка — аналитической функции, точка, в которой нарушается аналитичность функции. * * * ОСОБАЯ ТОЧКА ОСОБАЯ ТОЧКА аналитической функции, точка, в которой нарушается аналитичность функции … Энциклопедический словарь
особая точка — ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. singular point vok. singulärer Punkt, m rus. особая точка, f pranc. point particulier, m; point singulier, m … Automatikos terminų žodynas
особая точка — ypatingasis taškas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. singular point vok. singulärer Punkt, m rus. особая точка, f pranc. point singulier, m … Fizikos terminų žodynas
Особая точка функции — Особая точка указывает сюда. См. также особая точка (дифференциальные уравнения). Особенность или сингулярность в математике это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например,… … Википедия
Особая точка дифференциального уравнения — У термина «особая точка» существуют и другие значения. В математике, особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Траектория соответствующего автономного обыкновенного дифференциального уравнения,… … Википедия