Что такое отрезок числового ряда
Конспект урока «Отрезок натурального ряда» (программа Занкова, 1 класс
Технологическая карта изучения темы
урок открытия нового знания
Технология построения урока
отрезок натурального ряда чисел (знакомство)
создание условий для овладения обучающимися знаниями об отрезке натурального ряда, о видах линий, счете предметов и обозначении числа цифрой; для овладения пространственными представлениями; для формирования УУД обучающихся (познавательных, регулятивных, коммуникативных;
Основные термины, понятия
геометрические фигуры (треугольник, прямоугольник, круг, квадрат, луч), число, цифра, натуральный ряд чисел, отрезок, отрезок натурального ряда чисел,
иметь представление о понятиях «натуральный ряд чисел», «отрезок», «отрезок натурального ряда чисел»;
уметь записывать в тетради отрезок натурального ряда чисел заданной величины;
уметь обозначать число цифрой;
уметь различать и называть геометрические фигуры и их характерные признаки;
уметь выполнять сравнение однозначных чисел, сложение и вычитание в пределах 10.
устанавливать связь между целью учебной деятельности и ее мотивом;
определять общие для всех правила поведения ;
определять правила работы в группах;
оценивать усваиваемое содержание (исходя личностных ценностей);
устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом.
определять и формулировать цель деятельности на уроке;
проговаривать последовательность действий на уроке;
работать по плану, инструкции;
высказывать свое предположение на основе учебного материала;
отличать верно выполненное задание от неверного;
совместно с учителем и одноклассниками давать оценку деятельности на уроке.
ориентироваться в учебнике, тетради;
ориентироваться в своей системе знаний (определять границы знания/незнания);
находить ответы на вопросы в тексте, иллюстрациях, используя свой жизненный опыт;
проводить анализ учебного материала;
проводить классификацию, указывая на основание классификации;
проводить сравнение, объясняя критерии сравнения.
слушать и понимать речь других;
уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли;
владеть диалогической формой речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка.
И. И. Аргинская, Е. П. Бененсон, Л. С. Итина. Математика. 1 класс. Часть 1.
Технические средства обучения:
Экранно – звуковые пособия:
Презентация в Power Point «Корабль», физминутка «Две руки», гимнастика для глаз.
Дидактические задачи этапов урока
Подготовка учащихся к работе на уроке: выработка на личностно значимом уровне внутренней готовности выполнения нормативных требований учебной деятельности.
Актуализация опорных знаний и умений
Активизация соответствующих мыслительных операций (анализ, обобщение, классификация и т.д.) и познавательных процессов (внимание, память).
Постановка учебной проблемы
Обеспечение мотивации для принятия обучающимися цели учебно-познавательной деятельности.
Формулирование проблемы, планирование деятельности
Открытие нового знания
Обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания знаний, связей и отношений в объекте изучения.
Первичная проверка понимания
Установление правильности и осознанности усвоения учебного материала, выявление пробелов, неверных представлений, их коррекция.
Применение новых знаний
Обеспечение усвоения новых знаний и способов действий на уровне применения в измененной ситуации.
Рефлексия учебной деятельности
Анализ и оценка успешности достижения цели; выявление качества и уровня овладения знаниями.
Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения
Данная статья представляет собой структурированную и подробную информацию, которая может пригодиться во время разбора упражнений и задач. Мы рассмотрим тему числовых рядов.
Данная статья начинается с основных определений и понятий. Далее мы стандартные варианты и изучим основные формулы. Для того, чтобы закрепить материал, в статье приведены основные примеры и задачи.
Базовые тезисы
a k является общим или k –ым членом ряда.
Определения, рассмотренные выше, помогут вам для решения большинства примеров и задач.
Для того, чтобы дополнить определения, необходимо доказать определенные уравнения.
Мы доказали, что числовой ряд сходится.
Мы доказали, что числовой ряд расходится.
Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знакопеременный, так как в нем множество чисел, отрицательных и положительных.
Второй вариант ряд – это частный случай третьего варианта.
Приведем примеры для каждого случая соответственно:
Для третьего варианта также можно определить абсолютную и условную сходимость.
Знакочередующийся ряд ∑ k = 1 ∞ b k абсолютно сходится в том случае, когда ∑ k = 1 ∞ b k также считается сходящимся.
Подробно разберем несколько характерных вариантов
Знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается условно сходящимся в том случае, если ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, а ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается сходящимся.
Особенности сходящихся рядов
Проанализируем свойства для определенных случаев
Разложим исходный вариант:
Необходимое условие для определения, является ли ряд сходящимся
Проверим исходное выражение на выполнение условия lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0
Как определить сходимость знакоположительного ряда.
Если постоянно пользоваться указанными признаками, придется постоянно вычислять пределы. Данный раздел поможет избежать сложностей во время решения примеров и задач. Для того, чтобы определить сходимость знакоположительного ряда, существует определенное условие.
Как сравнивать ряды
Существует несколько признаков сравнения рядов. Мы сравниваем ряд, сходимость которого предлагается определить, с тем рядом, сходимость которого известна.
Первый признак
Для того, чтобы закрепить полученный материал, детально рассмотрим пару типичных вариантов.
Второй признак
Согласно второму признаку можно определить, что сходящийся ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 означается, что первоначальный вариант также сходится.
Согласно приведенным выше тезисам, расходящийся ряд влечет собой расходимость исходного ряда.
Третий признак
Рассмотрим третий признак сравнения.
Признак Даламбера
Признак Даламбера справедлив в том случае, если предел бесконечен.
Определить, является ряд сходящимся или расходящимся ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k по признаку Даламбера.
Необходимо проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости. Вычислим предел, воспользовавшись правилом Лопиталя: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = » open=» ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 ‘ 2 k ‘ = lim k → + ∞ 2 2 k · ln 2 = 2 + ∞ · ln 2 = 0
Мы можем увидеть, что условие выполняется. Воспользуемся признаком Даламбера: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 ( k + 1 ) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2 1
Ряд является сходящимся.
Следовательно, ряд является расходящимся.
Радикальный признак Коши
Данный признак может быть использован в примерах, которые легко определить. Случай будет характерным тогда, когда член числового ряда – это показательно степенное выражение.
Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько характерных примеров.
Определить, является ли знакоположительный ряд ∑ k = 1 ∞ 1 ( 2 k + 1 ) k на сходящимся.
Интегральный признак Коши
, то в случае, если несобственный интеграл ∫ a + ∞ f ( x ) d x является сходящимся, то рассматриваемый ряд также сходится. Если же он расходится, то в рассматриваемом примере ряд тоже расходится.
При проверке убывания функции можно использовать материал, рассмотренный на предыдущих уроках.
Рассмотреть пример ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k на сходимость.
Согласно полученным результатам, исходный пример расходится, так как несобственный интеграл является расходящимся.
Признак Раабе
Данный способ определения можно использовать в том случае, если описанные выше техники не дают видимых результатов.
Исследование на абсолютную сходимость
Расходимость знакопеременных рядов
Если ряд ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, то соответствующий знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k либо расходящийся, либо условно сходящийся.
Признаки для условной сходимости
Признак Лейбница
Ряд условно сходится.
Признак Абеля-Дирихле
∑ k = 1 + ∞ u k · v k сходится в том случае, если < u k >не возрастает, а последовательность ∑ k = 1 + ∞ v k ограничена.
Отрезок натурального ряда. Присчитывание и отсчитывание по 1
Замена слов-числительных (один, два, три и т. д.), названных в определенной последовательности, математическими знаками (цифрами 1, 2, 3, 4 и т. д.) позволяет познакомить школьников с отрезком натурального ряда.
Изучение этого понятия в начальных классах сводится к усвоению учащимися той закономерности, которая лежит в основе построения натурального ряда: каждое число в натуральном ряду больше предшествующего и меньше следующего на 1.
В соответствии с этим подходом последовательно рассматриваются отрезки натурального ряда чисел: 1, 2; 1, 2, 3; 1, 2, 3, 4; 1, 2, 3, 4, 5; и т. д. до 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. При этом на каждом отрезке натурального ряда выполняются однотипные упражнения. Например, «при изучении чисел 1-4 проводится такая работа:
— Положите 2 круга, ниже положите столько же треугольников, придвиньте еще 1 треугольник. Сколько стало всего треугольников? Как получили 3 треугольника? Каких фигур больше: треугольников или кругов? На сколько больше?
— Положите в следующий ряд столько квадратов, сколько у вас лежит треугольников. Что надо сделать, чтобы квадратов стало больше на 1? Сколько стало квадратов? Как получили 4 квадрата?
— А если к трем флажкам присоединить еще 1 флажок, сколько станет флажков? Если к 3 ученикам подойдет еще 1 ученик, сколько их всего будет? Если к числу 3 добавить число 1, какое число получится? Запишем это разрядными цифрами: 3+1=4.
— Положите 4 кружка, ниже положите столько же квадратов, уберите 1 квадрат. Сколько получилось квадратов? Как получили 3 квадрата? и т. д.»1.
5.В результате выполнения однообразных упражнений на каждом отрезке натурального ряда чисел, связанных с получением следующего и предыдущего числа (5+1 = б, 6-1 = 5, 6+1 = 7, 7-1 = 6), «дети убеждаются в том, что числа упорядочены по величине: после числа 1 называют при счете число 2, которое больше его на 1, после числа 2 идет число 3, которое больше его на 1, перед числом 4 называют число 3, которое меньше его на 1, и т. д. ».
Получая следующее число, учащиеся знакомятся с соответствующей цифрой. Одновременное введение нового числа в отрезке натурального ряда и цифры, его обозначающей, затрудняет осознание различий между понятиями «число» и «цифра».
Запись равенств выполняют по образцу и никак не соотносят их с понятиями арифметических действий сложения и вычитания.
Понятия «больше на», «меньше на» используются только для случаев присчитывания и отсчитывания по единице.
Рассмотрим другой подход, при котором дети переходят от счета предметов к записи цифр. В этом случае можно сначала научиться писать цифру 1, затем 4, 6, 9 и т. д., используя для определения количества счет. Составной частью этого подхода является целенаправленная работа по формированию у детей представлений о количественном и порядковом числе и сознательное освоение операции счета. После того, как они научатся писать все цифры от 1 до 9, им предлагается записать весь отрезок натурального ряда чисел от 1 до 9. Для этой цели детям дается задание:
— Посчитай слоников. Запиши цифрами числа, которые ты называешь.
— Проверь, получился ли у тебя такой ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
— Подумай, как ты получил каждое следующее число. Ответы детей могут быть различными: «Я считал слоников»,
Не следует вводить термин «отрезок натурального ряда». Записанный ряд чисел воспринимается ребенком как ряд, с помощью которого можно посчитать предметы. А приведенная характеристика получения следующего числа (еще один, еще один, еще один, еще один. ) отражает на предметном уровне то существенное, что связано с его построением.
Математическую основу действий учащихся при изучении отрезка натурального ряда от 1 до 9 составляет связь чисел с конечными множествами. Для усвоения натурального ряда чисел и принципа его образования они постоянно обращаются к действиям с предметами, рассматривая различные ситуации.
Например. На доске изображена туча. Она скрывает звезды на небе, и дети сначала их не видят. Но вот подул ветер и туча начала двигаться. На небе появилась первая звездочка.
— Сколько звездочек на небе? (Одна.)
— Какой цифрой обозначается это число? (Ученики поднимают карточку с цифрой 1.)
— А теперь на небе сколько звездочек? (Две.)
— Какой цифрой обозначается это число? (Учащиеся поднимают карточку с цифрой 2.) Затем появляется еще одна звездочка, затем еще одна и т. д. Учитель каждый раз выясняет, сколько звездочек стало видно на небе и какой цифрой обозначается их число.
Выкладывая на парте карточки, ученики получили ряд чисел:
— Кто обратил внимание на то, как появились звездочки на небе? (Сначала одна, потом еще одна.)
— Сколько получилось? (Две.)
— А как стало 3 звездочки? (Было 2, затем появилась еще одна.)
В журнале «Начальная школа» Г.Г. Микулина описывает интересную игровую ситуацию, которую она использует при обучении младших школьников для обобщения принципа образования натурального ряда чисел. Эта ситуация переносит детей в сказочную школу, где все числа, кроме 1, обозначаются необычными знаками, но принцип получения каждого следующего числа в ряду остается таким же, как в натуральном.
Свой рассказ учитель начинает так: «Приснился мне однажды сон, будто попала я в сказочную школу. Иду и вдруг нахожу полоску бумаги, на которой написаны какие-то непонятные знаки:
Подхожу я к сказочному мальчику и спрашиваю:
— Это числа, написанные по порядку.
— Как это, по порядку?
— А вот так, каждое число в этом ряду на 1 больше предыдущего и на 1 меньше следующего.
Решила я посмотреть, какие же задания предлагает учитель детям в сказочной школе. Может быть, и вы, ребята, справитесь с этими заданиями?»
Учитель выставляет на наборное полотно карточки со «сказочными цифрами» и предлагает такие задания:
— Как вы думаете, кто из них нашел грибов больше и на сколько?
2. Шла я по сказочному лесу и нашла «вот столько» грибов. (Над одним из чисел сказочного ряда помещается карточка со стрелкой.) Иду домой, навстречу мне гномик. Посмотрел он в мою корзинку и подарил мне еще один белый гриб. Сколько же грибов у меня стало?
3. Отправилась Красная Шапочка в гости к бабушке и понесла ей «вот столько» пирожков. Встретился ей ежик по дороге. Красная Шапочка была доброй девочкой и угостила ежика пирожками. А бабушке она принесла «вот столько» пирожков.
— Как вы думаете, сколько пирожков она дала ежику?
Отвечая на поставленный вопрос и двигаясь то вправо, то влево, в зависимости от ситуации, по отрезку сказочного ряда чисел, дети осознают в общем виде принцип его построения, учатся рассуждать и обосновывать свой ответ.
Осознание принципа построения натурального ряда чисел позволяет детям выполнять присчитывание и отсчитывание по единице.
В отличие от счета, особенность этих операций заключается в том. что одно из предметных множеств представлено натуральным числом.
Учитель может предложить детям такую ситуацию:
Операция присчитывания осваивается детьми значительно легче, чем операция отсчитывания. В этом немаловажную роль играет усвоение порядка чисел при счете. И дело не только в том, что дети больше упражняются в назывании слов-числительных отрезка натурального ряда, и многие из них уже приходят в школу, владея этим умением. Гораздо важнее то, что с помощью отрезка натурального ряда они определяют количество предметов, сравнивают их, строят новую совокупность предметов и т. д. Другими словами, последовательность чисел натурального ряда применяется ими для решения практических задач, что способствует лучшему усвоению самого числового ряда.
На доске 9 домиков. Каждому из них нужно дать номер. Это делается в процессе счета. Учитель обыгрывает ситуацию. Зайцу-почтальону нужно отнести письмо в дом № 8. Как он может попасть в этот дом? Выясняется, что он может прибежать к началу улицы и посчитать дома от первого, но может считать их и с конца улицы. Конечно, второй вариант рациональнее.
В другой ситуации часть предметов скрыта от глаз, поэтому счет осуществить невозможно.
Например: а) У доски несколько учеников выстраиваются по росту. Их пересчитывают (от большого к маленькому). Каждому (на карточке) дается порядковый номер, и они садятся на место. Теперь нужно снова построиться, но так, чтобы карточки с цифрами были расположены в обратном порядке (от маленького к большому).
б) На доске нарисованы спинки стульев. Часть ряда спрятана за шторкой. Представим себе, что мы в кинотеатре, где уже погасили свет и начала ряда не видно. Мы стоим у десятого места, нам нужно шестое. Найди его. (Приведенные ситуации взяты из статьи Г.Г. Микулиной, «Начальная школа», 1987, № 9).
Сравнение чисел
Для установления отношений «больше», «меньше», «равно» между числами младшие школьники могут использовать предметные, графические и символические модели.
В качестве математической основы действий на предметном уровне выступает установление взаимно-однозначного соответствия между элементами двух множеств:
Для записи отношений между числами учитель знакомит учащихся со знаками > (больше), 5, 5=5).
В качестве символической модели используется отрезок натурального ряда (ряд чисел, которым можно пользоваться при счете предметов: «5
Последнее изменение этой страницы: 2019-03-20; Просмотров: 1884; Нарушение авторского права страницы
Теоретический смысл темы: ОТРЕЗОК НАТУРАЛЬНОГО РЯДА. ПРИСЧИТЫВАНИЕ И ОТСЧИТЫВАНИЕ ПО 1.
Цель темы «Отрезок натурального ряда»: усвоение учащимися места, которое занимает число в ряде чисел от 1 до 10; после какого числа и перед каким числом называют его при счёте.
Просмотр содержимого документа
«Теоретический смысл темы: ОТРЕЗОК НАТУРАЛЬНОГО РЯДА. ПРИСЧИТЫВАНИЕ И ОТСЧИТЫВАНИЕ ПО 1.»
ОТРЕЗОК НАТУРАЛЬНОГО РЯДА. ПРИСЧИТЫВАНИЕ И ОТСЧИТЫВАНИЕ ПО 1.
Цель темы «Отрезок натурального ряда»: усвоение учащимися места, которое занимает число в ряде чисел от 1 до 10; после какого числа и перед каким числом называют его при счёте.
Все те числа, о которых мы до сих пор с тобой говорили и ещё долго будем говорить, помогают считать предметы и отвечать на вопрос: сколько предметов? Эти числа называются натуральными.
Если выстроить их по порядку, только не просто, как игрушечных солдатиков, а от меньшего числа к большему, то получится натуральный ряд чисел:
Вот что тебе нужно знать о натуральном ряде:
1. Натуральный ряд чисел начинается с числа 1.
2. Каждое следующее натуральное число на 1 больше предыдущего.
3. Натуральный ряд чисел бесконечен, как прямая линия, потому что к любому числу всегда можно прибавить ещё единицу.
4. Если взять несколько любых чисел из натурального ряда по порядку, то у нас получится отрезок натурального ряда.
5, 6, 7, 8, 9 — это отрезок натурального ряда чисел.
5, 7, 8, 9 — это не отрезок натурального ряда чисел, потому что пропущено число 6.
5, 9, 6, 7, 8 — это не отрезок натурального ряда чисел, потому что числа стоят не по порядку.
Числа бывают чётные и нечётные. В натуральном ряде нечётные и чётные числа чередуются между собой.
Чётные числа делятся на 2.
Нечётные числа НЕ делятся на 2.
Это ряд нечётных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.
А это ряд чётных чисел: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16.
В начальных классах, изучение понятия «отрезок натурального ряда» сводится к усвоению той закономерности, которая положена в основу построения натурального ряда чисел: каждое число в натуральном ряду больше предшествующего и меньше предыдущего на 1.
На каждом отрезке выполняется однотипная работа по добавлению/убавлению совокупности предметов на 1.
После того, как научились писать все цифры от 1 до 9, им предлагается записать весть отрезок натурального ряда чисел от 1 до 9 (посчитай слоников, запиши цифрами все числа, которые ты называешь; проверь, получился ли у тебя такой ряд чисел:
1,2,3,…,9; подумай, как ты получил каждое следующее число). Таким образом, дети получают отрезок натурального ряда чисел.
Осознание принципа построения натурального ряда чисел позволяет выполнить присчитывание и отсчитывание по 1. В отличие от счёта, особенность этих операций заключается в том, что одно из предметных множеств представлено натуральным числом.
Операция присчитывания осваивается легче, в этом немаловажную роль играет усвоение порядка чисел при счёте. Иначе обстоит дело с усвоением обратной последовательности чисел
Задание 1. Запиши номера ступенек, которые пропустил колобок, поднимаясь вверх.
Задание 2. Найди и обведи по порядку числа от 1 до 10.
Задание 3. Найди соседей чисел:
Задание 4. Сосчитай кружки и запиши числа, которые ты назвал.
Задание 5. Я буду надевать кольца на пирамиду, а вы выкладывайте карточку с цифрами, которые будут означать число колец.
Задание 6. Расположите данные числа сначала в том порядке, в каком они идут при счёте, а потом в обратном порядке.
2, 8, 4, 10, 1, 5, 3, 9, 6, 7.
Задание 7. Сколько звёздочек на небе? Какой цифрой обозначается это число? Покажите карточку.(1)
А теперь на небе сколько звёздочек? Покажите.(2) Как получилось две звёздочки? (появилась ещё одна)
А теперь, сколько звёздочек на небе? Покажите.(3) Как получилось 3 звёздочки?
Это числа, записанные по порядку, каждое число в этом ряду на один больше предыдущего и на один меньше следующего.
Обозначьте каждый символ цифрой.
Задание 9. Разгадай правило и закончи рисунок.